i find the prob 33 interesting , so i posted it here in case anyone has a better proof than me
about problem 34 , i think we juzt have to notice the lemma known as if $n = \prod\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{p_i}$ , with $k = \prod\limits_{i=1}^{n}(p_i+1)$ ( srr , i dont know how to type in Tex the function about the number of divisor)
then $\prod\limits_{d|n} d = n^{\dfrac{k}{2}}$
hoang tuan anh nội dung
Có 1000 mục bởi hoang tuan anh (Tìm giới hạn từ 22-05-2020)
#164662 SMO 2004 (junior section)
Đã gửi bởi
on 27-08-2007 - 13:52
trong
Tài liệu - Đề thi
#164660 Smo
Đã gửi bởi
on 27-08-2007 - 13:49
trong
Số học
cho S là tập hợp gồm các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 2004 thỏa mãn điều kiện : Không một phần tử nào trong S có giá trị gấp đôi 1 phần tử khác trong S . Tìm max của số các phần tử trong S
#164657 ĐỀ THI VÀO THPT CHUYÊN HANOI-AMSTERDAM
Đã gửi bởi
on 27-08-2007 - 13:25
trong
Tài liệu - Đề thi
mình làm bằng cách kéo dài AO cắt đường tròn tại điểm thứ 2 T , ta có AG vuông góc với FE và GT nên FEGT là hình thang cân
viết tổng các bình phương của các cạnh tứ giác AEGF ra rồi thay FT=EG ; ET=FG
viết tổng các bình phương của các cạnh tứ giác AEGF ra rồi thay FT=EG ; ET=FG
#164655 3 biến
Đã gửi bởi
on 27-08-2007 - 13:17
trong
Bất đẳng thức và cực trị
hint ^^
$(a+b-c)(b+c-a)+(b+c-a)(a+c-b)+(a+c-b)(a+b-c)=2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)$
$(a+b-c)(b+c-a)+(b+c-a)(a+c-b)+(a+c-b)(a+b-c)=2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)$
#164570 giải pt
Đã gửi bởi
on 26-08-2007 - 20:30
trong
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
từ đề bài ta có $x \geq 1$Nếu $a;b;c;d$ nguyên thì không giải được hệ này đâu
Do $bd=(-1)$ nên trong 2 số này có một số bằng 1 và số còn lại bằng (-1)
Điều đó chứng tỏ $b+d=0$; kết hợp với dòng 2 ta có $ac=0$; do $a+c=0$ nên $a=c=0$; do đó không thể có dòng 3....
xét về mặt lí thuyết thì đa thức này vẫn chưa bất khả qui
Có lẽ nên phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất và một đa thức bậc 3; sau đó giải phương trình bậc 3
viết lại thành $x^3 = 2+\dfrac{1}{x}$
ta thấy VT là hàm tăng và VP hàm giảm với x \geq 1 , nên nếu pt có nghiệm thì chỉ có nghiệm duy nhất , nên ko thể làm như em hungnd đề xuất ^^ ,
thực ra pt $x^3 = 2+\dfrac{1}{x}$ có thể giải dễ dàng = tin học , nhưng toán học thì mình chưa nghĩ ra
#164569 Bất đẳng thúc Schur
Đã gửi bởi
on 26-08-2007 - 20:15
trong
Bất đẳng thức và cực trị
bạn có thể tham khảo bài viết sau
Hình gửi kèm
#164097 Đáng để các bạn suy ngẫm!
Đã gửi bởi
on 23-08-2007 - 12:17
trong
Số học
bài này tôi đưa cho thằng em tôi đang học lớp 5 , sau 2 giây nó viết liền tù tì lời giải cho tôi như sau
"do $x<69 $ nên $y<15 z <9$ Ta có $x \equiv y \equiv z (mod 9)$ ;do đó $3z \equiv 69 (mod 9) ;$
do đó $z \equiv 2;5;8 (mod 9)$ --> z=2;5;8 ( do z<9)
, nếu $z=2 -> x+y = 67 --> 2y \equiv 4 (mod 9)$ ; $y \equiv 2 (mod 9)$ , do y<15 nên y=11 ; y=2
thử vào ta có x=56
nếu $z=5 --> x+y = 64 --> 2y \equiv 1(mod 9) $; $y \equiv 5 (mod 9)$ y <15 nên y=5 thử vào loại
nếu $z=8 --> x+y=61 --> 2y \equiv 7 (mod 9$) ; $y \equiv 8 (mod 9)$ y <15 nên y=8 -->x=53
vậy ta có x=53 ; 56"
"do $x<69 $ nên $y<15 z <9$ Ta có $x \equiv y \equiv z (mod 9)$ ;do đó $3z \equiv 69 (mod 9) ;$
do đó $z \equiv 2;5;8 (mod 9)$ --> z=2;5;8 ( do z<9)
, nếu $z=2 -> x+y = 67 --> 2y \equiv 4 (mod 9)$ ; $y \equiv 2 (mod 9)$ , do y<15 nên y=11 ; y=2
thử vào ta có x=56
nếu $z=5 --> x+y = 64 --> 2y \equiv 1(mod 9) $; $y \equiv 5 (mod 9)$ y <15 nên y=5 thử vào loại
nếu $z=8 --> x+y=61 --> 2y \equiv 7 (mod 9$) ; $y \equiv 8 (mod 9)$ y <15 nên y=8 -->x=53
vậy ta có x=53 ; 56"
#163471 Thu xem sao
Đã gửi bởi
on 18-08-2007 - 22:03
trong
Số học
mình làm thế này
$A=(n+1)(n+2)...2n=\dfrac{1.2.3....n.(n+1)(n+2)...2n}{n!} = \dfrac{(2.4.6.8 ....2n)(1.3.5....(2n-1)}{n!} = \dfrac{2^n(1.2.3...n ).(1.3.5....(2n-1))}{n!}= 2^n.(1.3.5....(2n-1))$
$A=(n+1)(n+2)...2n=\dfrac{1.2.3....n.(n+1)(n+2)...2n}{n!} = \dfrac{(2.4.6.8 ....2n)(1.3.5....(2n-1)}{n!} = \dfrac{2^n(1.2.3...n ).(1.3.5....(2n-1))}{n!}= 2^n.(1.3.5....(2n-1))$
#163382 giúp mình lẹ lẹ...
Đã gửi bởi
on 18-08-2007 - 11:38
trong
Số học
a+1 chia hết cho [3;4;5;6;7;8] nên a+1 chia hết cho 840 , vậy a chia 840 dư 839
#163344 $\sum \dfrac{x^4}{x+7y} > \dfrac{1}{8}(x+y+z+3xyz)$
Đã gửi bởi
on 17-08-2007 - 23:37
trong
Bất đẳng thức và cực trị
1) Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $xyz=1$, chứng minh rằng
$$\sum \dfrac{x}{z^3(x+11z)} +\dfrac{1}{12} \geq \dfrac{1}{24}(x+y)(y+z)(z+x)$$
2) Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $xyz=1$, chứng minh rằng
$$\sum \dfrac{x}{z^3(x(x-y)+(x+z)(y+z))} +1 \geq \dfrac{1}{8}(x+y)(y+z)(z+x) + \dfrac{1}{4}(x+y+z)$$
3) Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx+1$. Chứng minh rằng:
$$\sum \dfrac{x^4}{x+7y} > \dfrac{1}{8}(x+y+z+3xyz)$$
#163186 1 vài BDT
Đã gửi bởi
on 16-08-2007 - 18:03
trong
Bất đẳng thức và cực trị
bài 1
$VT=3- \sum \dfrac{a^2+a}{a^2+a+1} \geq 3- \sum\dfrac{a^2+a}{3a} = 3-2 =1$
bài 2 , hướng của mình , trước tiên chứng minh BDT đúng với mũ $\dfrac{1}{2}$ bằng đánh giá đại diện sau đó thay bộ 3 biến a,b,c thành bộ 3 biến $\alpha , \beta \gamma$ , sao cho
$\sqrt[3]{\dfrac{c}{a^2+a+1}} \geq \sqrt{\dfrac{c}{a^2+a+1}}$
$VT=3- \sum \dfrac{a^2+a}{a^2+a+1} \geq 3- \sum\dfrac{a^2+a}{3a} = 3-2 =1$
bài 2 , hướng của mình , trước tiên chứng minh BDT đúng với mũ $\dfrac{1}{2}$ bằng đánh giá đại diện sau đó thay bộ 3 biến a,b,c thành bộ 3 biến $\alpha , \beta \gamma$ , sao cho
$\sqrt[3]{\dfrac{c}{a^2+a+1}} \geq \sqrt{\dfrac{c}{a^2+a+1}}$
#163000 hình học
Đã gửi bởi
on 14-08-2007 - 12:07
trong
Tài nguyên Olympic toán
ai có cuốn sách hình học của thầy Nguyễn Minh Hà ko ? , nhất là phần dành cho lớp 9 về đường tròn , rất cảm ơn ^^
#162677 Chứng minh bất đẳng thức...
Đã gửi bởi
on 10-08-2007 - 21:26
trong
Bất đẳng thức và cực trị
sak , ai ngờ nó ..... ^^ ngượng quá
xin đưa ra mấy kiểu "khoác áo khoác"
$a,b,c > 0$ CMR
$\sum \dfrac{b(b+2a)}{a(a+b)^2} \geq \dfrac{3}{4}(\sum \dfrac{1}{a})$
(kiểu này bậc âm)
nói chung là cái ẩn phụ kia nó ứng dụng trong cái bậc âm với mấy cái quy từ BDt tham số ko đối xứng
ngoài ra có mấy bài quy từ tham số cũng tạm ( bài tập về nhà của thầy em là phải bịa ra 20 bài )
$a,b,c > 0$ CMR $\sum \dfrac{b^2c}{a(a^2c+b^2c+1)} \geq \dfrac{ab+bc+ac}{1+2abc}$
$a,b,c > 0$ CMR
$\dfrac{a^4b}{(a^2+b)(b^2+c)} +\dfrac{b^4a}{(ab+c)(a+bc)}+\dfrac{c^3ab}{(1+c)(1+a)} \geq \dfrac{ab(a+b+c)}{(1+a)(1+b) $
xin đưa ra mấy kiểu "khoác áo khoác"
$a,b,c > 0$ CMR
$\sum \dfrac{b(b+2a)}{a(a+b)^2} \geq \dfrac{3}{4}(\sum \dfrac{1}{a})$
(kiểu này bậc âm)
nói chung là cái ẩn phụ kia nó ứng dụng trong cái bậc âm với mấy cái quy từ BDt tham số ko đối xứng
ngoài ra có mấy bài quy từ tham số cũng tạm ( bài tập về nhà của thầy em là phải bịa ra 20 bài )
$a,b,c > 0$ CMR $\sum \dfrac{b^2c}{a(a^2c+b^2c+1)} \geq \dfrac{ab+bc+ac}{1+2abc}$
$a,b,c > 0$ CMR
$\dfrac{a^4b}{(a^2+b)(b^2+c)} +\dfrac{b^4a}{(ab+c)(a+bc)}+\dfrac{c^3ab}{(1+c)(1+a)} \geq \dfrac{ab(a+b+c)}{(1+a)(1+b) $
#162668 1 dạng nên biết ^^
Đã gửi bởi
on 10-08-2007 - 20:20
trong
Bất đẳng thức và cực trị
tìm min và max của hàm số
1/$y = x+ \sqrt{2-x^2} + 4x\sqrt{2-x^2}$
2/ $ k= \sqrt{1-x} + \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x^2}$
1/$y = x+ \sqrt{2-x^2} + 4x\sqrt{2-x^2}$
2/ $ k= \sqrt{1-x} + \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x^2}$
#162667 Chứng minh bất đẳng thức...
Đã gửi bởi
on 10-08-2007 - 20:16
trong
Bất đẳng thức và cực trị
đối với những bài bậc âm 2 vế , nên quy về bậc dương thông qua cách đặt ẩn phụ
$x= \dfrac{1}{a} ; y = \dfrac{1}{b} ; z= \dfrac{1}{c}$
ta có $Vt = \dfrac{yz}{x} + \dfrac{xz}{y} + \dfrac{xy}{z} \geq x+y+z$
điều này đúng vì
$VT = xyz(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2} \geq xyz ( \dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}) = x+y+z$
$x= \dfrac{1}{a} ; y = \dfrac{1}{b} ; z= \dfrac{1}{c}$
ta có $Vt = \dfrac{yz}{x} + \dfrac{xz}{y} + \dfrac{xy}{z} \geq x+y+z$
điều này đúng vì
$VT = xyz(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2} \geq xyz ( \dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}) = x+y+z$
#162600 Mệnh đề tương đương
Đã gửi bởi
on 09-08-2007 - 23:17
trong
Đại số
1/ đặt $\sqrt{x-2007}=t$ ; quy y theo t ta có pt bậc 2 ẩn t
2/$\dfrac{x}{1+x+xy} = \dfrac{xz}{z+xz+1}$
$\dfrac{y}{1+y+yz} = \dfrac{1}{z+xz+1}$
2/$\dfrac{x}{1+x+xy} = \dfrac{xz}{z+xz+1}$
$\dfrac{y}{1+y+yz} = \dfrac{1}{z+xz+1}$
#162599 tồn tại n
Đã gửi bởi
on 09-08-2007 - 23:08
trong
Bất đẳng thức và cực trị
bài này có 2 ý hay ; ý đó mới là ý ^^
#162577 tồn tại n
Đã gửi bởi
on 09-08-2007 - 19:17
trong
Bất đẳng thức và cực trị
cho $a,b,c >0$ sao cho $\dfrac{a^{101}}{b^{100}} + \dfrac{b^{101}}{c^{100}} +\dfrac{c^{101}}{a^{100}} =1$ và a khác b khác c
chứng minh rằng , tồn tại $1 \leq n \leq 100 , n \in N $ , sao cho
$|\dfrac{a^{n+1}}{b^{n}} + \dfrac{b^{n+1}}{c^{n}} +\dfrac{c^{n+1}}{a^{n}} - (\dfrac{a^{n}}{b^{n-1}} + \dfrac{b^{n}}{c^{n-1}} +\dfrac{c^{n}}{a^{n-1}})| \leq \dfrac{1}{100}$
chứng minh rằng , tồn tại $1 \leq n \leq 100 , n \in N $ , sao cho
$|\dfrac{a^{n+1}}{b^{n}} + \dfrac{b^{n+1}}{c^{n}} +\dfrac{c^{n+1}}{a^{n}} - (\dfrac{a^{n}}{b^{n-1}} + \dfrac{b^{n}}{c^{n-1}} +\dfrac{c^{n}}{a^{n-1}})| \leq \dfrac{1}{100}$
#162511 ý tưởng hay
Đã gửi bởi
on 08-08-2007 - 22:27
trong
Bất đẳng thức và cực trị
cho $h_a ; h_b ; h_c$ là độ dài 3 đường cao của tam giác
CMR : $\dfrac{1}{\dfrac{1}{\dfrac{1}{h_a}+\dfrac{1}{h_b}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}}} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{\dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{h_c}+\dfrac{1}{h_a}}} > \dfrac{1}{\dfrac{1}{h_c+h_a}+\dfrac{1}{h_a+h_b}}$
CMR : $\dfrac{1}{\dfrac{1}{\dfrac{1}{h_a}+\dfrac{1}{h_b}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}}} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{\dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{h_c}+\dfrac{1}{h_a}}} > \dfrac{1}{\dfrac{1}{h_c+h_a}+\dfrac{1}{h_a+h_b}}$
#162508 đừng nên nghĩ nhiều ^^
Đã gửi bởi
on 08-08-2007 - 22:19
trong
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
cho $ f(x)=ax^2+bx+c$ ( a khác 0)
và pt $f(x)=x$ vô nghiệm , tìm 1 ngh của pt $f(f(f(x)))=x$
và pt $f(x)=x$ vô nghiệm , tìm 1 ngh của pt $f(f(f(x)))=x$
#162420 1 bài hay dùng
Đã gửi bởi
on 07-08-2007 - 23:06
trong
Hình học
cho chùm điều hòa $(OA;OB;OC;OD) $ cơ sở $k$ ; 1 đường thẳng $\delta $ bất kỳ cắt chùm tại $A';B';C';D' $ ; chứng minh rằng $A';B';C';D' $ tạo thành hàng đ' điều hòa , tìm hệ số điều hòa của $(A';B';C';D')$
#162229 Đồng dư thức
Đã gửi bởi
on 06-08-2007 - 08:58
trong
Số học
khi tổng $S=\sum\limits_{i=0}^{n-1} a^{i}b^{n-1-i}$ ko chia hết cho m
#162006 bài toán quyết định
Đã gửi bởi
on 02-08-2007 - 23:13
trong
Các dạng toán khác
mình ko rõ toán xác suất lắm nhưng mình thấy ở VD 1 , nếu ta chơi 37 lần thì trên lý thuyết sẽ có 1 lần thắng , như vậy ta đc 36 euros , nhưng nếu ta ko chơi cả 37 lần thì ta đc 37 euros , như vậy tốt nhất là ko chơi
(nhưng mà nếu đúng là {0... 37} thì nó có 38 số ko phải 37 ^^)
(nhưng mà nếu đúng là {0... 37} thì nó có 38 số ko phải 37 ^^)
#162004 new mem !
Đã gửi bởi
on 02-08-2007 - 22:59
trong
Số học
a)$(x-2)(x+3)$
g)$(x-1)^2(x^2+x+1)$
h)$(a-b)(x^2+y)$
c)$(x+2)(x-1)$
b)$x(x+1)(x^2-x+2)$
e)$(x^2+x+1)(x^6-x^5+x^3-x^2+1)$
f)$(x^2+y)(y^2+z)$
d)$yz(x+7)(x-2)$
g)$(x-1)^2(x^2+x+1)$
h)$(a-b)(x^2+y)$
c)$(x+2)(x-1)$
b)$x(x+1)(x^2-x+2)$
e)$(x^2+x+1)(x^6-x^5+x^3-x^2+1)$
f)$(x^2+y)(y^2+z)$
d)$yz(x+7)(x-2)$
#162000 Giúp em bài này nhanh nhé
Đã gửi bởi
on 02-08-2007 - 22:40
trong
Số học
chắc là thế này
$y=x-1+\dfrac{1}{x-1}+1 \geq 2\sqrt{(x-1)\dfrac{1}{x-1}} +1 =3$
đẳng thức khi x=2 ^^
áp dụng bất đẳng thức $Côsi a+b \geq 2\sqrt{ab}$ để tìm min
$y=x+ \dfrac{1}{x-1}$ (điều kiện là x>1)
$y=x-1+\dfrac{1}{x-1}+1 \geq 2\sqrt{(x-1)\dfrac{1}{x-1}} +1 =3$
đẳng thức khi x=2 ^^
