\[2\left[ {\sin 3x.\sin x + \sin \left( {3x + \frac{{5\pi }}{2}} \right).\sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)} \right] = 1\,\,\,\,\left( { - \pi  < x < \pi } \right)\]

Giải

Phương trình ban đầu tương đương: 

$2 \left [ \sin{3x} \sin{x} + \cos{3x}\cos{x} \right ] = 1$

$\Leftrightarrow 2.\cos{2x} = 1 \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi}{6} + k\pi \, (k \in Z)$

Do $- \pi < x < \pi$ nên $x = \dfrac{\pi}{6}; \dfrac{-\pi}{6}; \dfrac{5\pi}{6}; \dfrac{-5\pi}{6}$

\[\cos 2x + \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + \sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\]

Giải

Phương trình ban đầu tương đương:
$\cos{2x} + 2\sin{2x}\cos{\dfrac{\pi}{3}} = \sqrt{2}\sin{\left ( x - \dfrac{\pi}{3}\right )}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}(\sin{2x} + \cos{2x}) = \sin{\left ( x - \dfrac{\pi}{3}\right )}$

$\Leftrightarrow \sin{\left (2x + \dfrac{\pi}{4} \right )} = \sin{\left ( x - \dfrac{\pi}{3}\right )}$

Phương trình lượng giác cơ bản.

Em chưa học Toán 11 nên chưa học phần arc. Nhưng em nghĩ là $\tan{x} = \pm 1 \Rightarrow \sin{x} = \pm \cos{x}$
Thế vào $\cos^2{x} + \sin^2{x} = 1$ thì ta được các nghiệm nói trên

Bài 3

Giải

ĐK: $x \geq 0$

Phương trình tương đương:
$(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{x})^3 = (\sqrt[6]{3x + 1})^2 + (\sqrt[6]{3x + 1})^3$

Đặt $a = \sqrt{x}; b = \sqrt[6]{3x +1} \, (a\geq 0, b > 0)$, ta được:
$a^2 + a^3 = b^2 + b^3 \Leftrightarrow (a - b)\left (a + b + a^2 + ab + b^2\right ) = 0 \Leftrightarrow a = b$
$\Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt[6]{3x + 1} \Leftrightarrow x^3 = 3x + 1$

Đặt $x = 2\cos{\alpha}$. Phương trình nói trên có 3 nghiệm là: $x = 2\cos{\left (\dfrac{\pi}{9} \right )}$, $x = 2\cos{\left (\dfrac{5\pi}{9} \right )}$ và $x = 2\cos{\left (\dfrac{7\pi}{9} \right )}$

Do $x \geq 0$ nên $x = 2\cos{\left (\dfrac{\pi}{9} \right )}$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Giải

ĐK: $- \sqrt[3]{2} \leq x \leq \sqrt[3]{2}$

Do $\left [- \sqrt[3]{2}; \sqrt[3]{2}\right ] \subset \left [- \sqrt{2}; \sqrt{2}\right ]$

Vì vậy: $x^2 - 2 < 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x^2 - 2} < 0 < \sqrt{2 - x^3}$

Phương trình đã cho vô nghiệm.

Nhận xét rằng:
$2\cos{\dfrac{\pi}{3}} = 2\cos{3.\dfrac{\pi}{9}} = 8\cos^3{\dfrac{\pi}{9}} - 6\cos{\dfrac{\pi}{9}}$

Vì vậy: $2\cos{\dfrac{\pi}{9}}$ là nghiệm của phương trình: $x^3 - 3x - 1 = 0$

Chứng minh tương tự với $2\cos{\dfrac{5\pi}{9}}$ và $2\cos{\dfrac{7\pi}{9}}$

Giải

Giải

Giải

P/S: Đề thi 150 phút. không được sử dụng máy tính cầm tay trong phòng thi.

Giải

Giải

ĐK: $y \neq 0$

Hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{matrix}2x^2 + x - \dfrac{1}{y} = 2\\\dfrac{1}{y} - x - 2 = \dfrac{-2}{y^2}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x^2 + x - \dfrac{1}{y} = 2\\\dfrac{2}{y^2} + \dfrac{1}{y} - x = 2\end{matrix}\right.$

Đặt $\dfrac{1}{y} = a$, ta được: $\left\{\begin{matrix}2x^2 + x - a = 2\\2a^2 + a - x = 2\end{matrix}\right. $

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}2x^2 + 2x - (2a^2 + 2a) = 0\\2x^2 + x - a = 2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x - a)(x + a + 1) = 0\\2x^2 + x - a = 2\end{matrix}\right.$

Còn lại bạn tự giải

ĐỀ THI CHỌN HSG TRƯỜNG THPT KỲ LÂM NĂM 2011 - 2012

Môn thi: Toán 10 - Thời gian: 150 phút

Bài 1 có thể biến đổi như sau:

Giải

Phương trình ban đầu tương đương:

$x^2 + \dfrac{(9x)^2}{(x + 9)^2} = 40$

$\Leftrightarrow \left ( x - \dfrac{9x}{x + 9}\right )^2 + 18\dfrac{x^2}{x + 9} = 40$

$\Leftrightarrow \dfrac{x^4}{(x + 9)^2} + 18\dfrac{x^2}{x + 9} - 40 = 0$

Đặt $t = \dfrac{x^2}{x + 9}$, ta được: $a^2 + 18a - 40 = 0$
 

Giải

Giải

Cho hệ: $\left\{\begin{matrix}mx+2my=m+1 \, \, \,(1)& \\ x+(m+1)y=2 \, \, \,(2)& \end{matrix}\right.$

a) Chứng minh rằng : nếu hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì M(x; y) luôn thuộc một đường thẳng cố định

b) Xác định m để M(x; y) thuộc góc phần tư thứ nhất

c)  Xác định m để M(x; y) $\in (O;\sqrt{5})$

Giải

a) Lấy (1) - (2) vế theo vế, ta có: $(m - 1)x + (m - 1)y = m - 1$

- Nếu m = 1, hệ có vô số nghiệm (mâu thuẫn với giả thiết).

- Nếu $m \neq 1$, chia cả 2 vế cho (m - 1), khi đó nếu hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì M(x; y) thuộc đường thẳng cố định: $x + y = 1$

b) M(x; y) thuộc góc phần tư thứ nhất khi và chỉ khi $x > 0, y > 0$
Khi đó:

$x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{m - 1}{m} > 0$

$y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{1}{m} > 0$

Suy ra: $m > 1$

c) Vì M(x; y) luôn thuộc d: $x + y = 1$

Do đó, nếu $M \in (O; \sqrt{5})$ thì $M = (O) \cap d$

Tức là tọa độ M thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x + y = 1& \\ x^2 + y^2 = 5& \end{matrix}\right.$

Giải hệ nói trên, sau đó thay vào phương trình ban đầu để tìm m.

P/S: Em tính lại kết quả nhé! Anh không biết là có sai chỗ nào không nữa

Anh ơi, D là cái gì ?

 

$D = a_1b_2 - a_2b_1$
$Dx = c_1b_2 - c_2b_1$
$Dy = a_1c_2 - a_2c_1$

Giải

$$sin2x-12(sinx-cosx)+12=0$$

Giải