Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn:$a+b+c\geq ab+bc+ca$

ab+bc+ca+abc=4

Chứng minh rằng:

$a+b+c\geq ab+bc+ca$

Không hiểu cái đề 

Xem lời giải tại đây

Câu 3 
$x^3+y^3=x-y> x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)= > 1> x^2+y^2+xy> x^2+y^2$

Thử lại đi bạn, không thừa đâu

Uhm mình nhầm!

Cách này dài

 

Ta có $Pt\Leftrightarrow (z-1)(z+1)=2^x3^y\Rightarrow$ đặt $\left\{\begin{matrix} z-1=2^m3^n & \\ z+1=2^t3^k & \end{matrix}\right.$

 

( với $m,n,t,k\in \mathbb{N}$)

 

$\Rightarrow 1=2^{t-1}.3^k-2^{m-1}.3^n$ lẻ nên tồn tại $1$ trong $2$ số hạng lẻ do đó $m-1$ hoặc $t-1$ bằng $0$

 

TH1: Nếu $m-1=0$ suy ra $\left\{\begin{matrix} z-1=2.3^n & \\ z+1=2^t.3^k & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2=2^t.3^k-2.3^n$ không chia hết cho $3$ nên $n=0$ hoặc $k=0$.

 

+ $n=0$ suy ra $z=3$ suy ra $2^t.3^k=4$ do đó $k=0;t=2$. Khi đó $n+k=y$ không là số nguyên dương (loại)

 

+ $k=0$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} z-1=2.3^n & \\ z+1=2^t & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2^{t-1}=3^n+1$ (trừ theo vế)

 

 Thử $t-1=0;1;2$ ta thu được $t-1=2$ thỏa mãn tức $t=3$ suy ra $n=1$

 

 Hay $(x,y,z)=(4;1;7)$

 

Với $t-1>2$ thì $3^n+1\vdots 8$. Xét $n$ chẵn, lẻ ta thấy k thỏa mãn nên loại

 

TH2: Nếu $t-1=0$ xét tương tự TH1 suy ra

 

 $\left\{\begin{matrix} z-1=2^m & \\ z+1=2.3^k & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2^{m-1}=3^k-1$

 

+ $m-1=0;1;2;3$ thu được $m-1=1;m-1=3$ thỏa mãn suy ra $x=3;5$ và $y=k=1;2$. Khi đó 

$(x;y;z)=(3;1;5);(5;2;17)$ 

 

+ $m-1>3$ suy ra $3^k-1\vdots 16$. Xét $k$ theo modun $4$ ta thấy k thỏa mãn nên lọa.

 

Vậy $(x;y;z)\in \left \{ (3;1;5);(4;1;7);(5;2;17) \right \}$

Thừa một cặp nghiệm xem lại nhé 

PT$\Leftrightarrow (z-1)(z+1)=2^{x}.3^{y}\Rightarrow (z-1)(z+1)\vdots 3^{y}$

Rõ ràng chỉ tồn tại 1 số trong z-1 và z+1 chia hết cho 3 

+$z-1\vdots 3\Rightarrow z-1=3^{y}\Rightarrow z=3^{y}+1$

THay vao pt rút gọn

$3^{y}+2=2^{x}$            (vô nghiệm)

+$z+1\vdots 3\Rightarrow z=3^{y}-1$

$\Rightarrow 3^{y}-2=2^{x}$

NGhiệm là y=1, x=0

+y=0$\Rightarrow 1+2^{x}=z^{2}\Rightarrow (z-1)(z+1)=2^{x}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}z-1=2^{a} \\z+1=2^{b} \end{matrix}\right.$

pt có nghiệm duy nhất là x=3

Vậy pt có nghiệm (x;y)=(0;1),(3;0)

Hướng giải của bạn đúng rồi nhưng bạn tìm nghiệm sai rồi.

bài này có 2 nghiệm là $(x,y,z)=(3;1;5),(4;1;7)$

Đây là Romanian IMO Team Selection Test, 1984

2. Nếu a;b;c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện $a^{2}+b^{2}>5c^{2}$ thì c là cạnh nhỏ nhất ?

Ta giả sử điều ngược lại $c$ là cạnh lớn nhất. 

Khi đó $c\ge a$ và $c\ ge b$

Tức là $a^2+b^2 > 5c^2=3c^2+2c^2 \ge 3c^2+a^2+b^2$

<=> $3c^2<0$ ( vô lý) nên điều giả sử là sai ta có đpcm

Cho lục giác lồi $ABCDEF$ thỏa mãn điều kiện $AB=BC$, $CD=DE$,$EF=FA$ và tổng độ dài 3 cạnh $AC,CE,AE$ bằng 3.

Chứng minh rằng: $\dfrac{BC}{BE}+\dfrac{DE}{DA}+\dfrac{FA}{FC} \geq \dfrac{21}{16}+\dfrac{27(AC^3+CE^3+AE^2)}{16(AC+CE+AE)^3}$

Bài 27: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{3+2x^2y-x^4y^2}+x^2(1-2x^2)=y^4 & & \\ 1+\sqrt{1+(x-y)^2}=-x^2(x^4+1-2x^2-2xy^2) & & \end{matrix}\right.$

 

 

Topic vắng quá ak...          

Lời giải 

Hệ đã cho tương đương với $\left\{\begin{matrix} \sqrt{4-(1-x^2y)^2}=y^4-x^2+2x^4 &(1) & \\ -\sqrt{1+(x-y)^2}=1+x^6+x^2-2x^4-2x^3y^2 &(2) & \end{matrix}\right.$

Cộng $(1)$ và $(2)$ vế theo vế ta có: 

$\sqrt{4-(1-x^2y)^2}=\sqrt{1+(x-y)^2}+(x^3-y^2)^2+1(3)$

Ta thấy $0 \leq 4-(1-x^2y)^2 \leq 4 \Rightarrow \sqrt{4-(1-x^2y)^2} \leq 2$ $\Rightarrow \sqrt{1+(x-y)^2}+(x^3-y^2)^2+1 \ge 1+1=2 $

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$

Mình cũng bị lỗi như z khi đăng nhập = google nhưng iPad thì lại được đấy

hầu hết những lỗi này bị khi đăng nhập bằng google chrom.Mình đăng nhập bằng Cốc Cốc thì vào được bình thường !

Tìm số nguyên x biết rằng:

x² -4xy +5y² +20x -22y +12=0

Lời giải 

Phương trình $\Leftrightarrow x^2-2x(2y-10)+5y^2-22y+12$

$\Delta '=4y^2+100-40y-5y^2+22y-12=-y^2-18y+88$

Ta có đề phương trình trên có nghiệm nguyên thì $\Delta $ là một số chính phương 

$\Leftrightarrow y^2+18y +81 -169$ là một số chính phương 

$\Leftrightarrow (y+9)^2=169 +k^2$ ($k \in N*$)

Bạn tự làm tiếp nhé bài này có 5 nghiệm $(x,y)=[(-57;-51),(-54,-22),(-50,-14),(-47,-21),(-41,-9)]$

Đây là bài toán quen thuộc.Việc chứng minh EM là tiếp tuyến nhường lại phần cho bạn.

$OI=\sqrt{OM^2-MI^2}=\dfrac{R}{2}$

$OI.OE=R^2 \Rightarrow OE=2R$

$IE=OE-OI=\dfrac{3R}{2}$

$SI=\sqrt{SO^2-OI^2}=\dfrac{R\sqrt{15}}{2}$

$SM=SI-IM=\dfrac{R(\sqrt{15}-\sqrt{3})}{2}$

$S_{ESM}=\dfrac{1}{2}.EI.SM=\dfrac{3R^2(\sqrt{15}-\sqrt{3})}{8}$

Có một số mem sao ko đăng nhập được vào diễn đàn bằng google chrom..cả bạn em cũng vậy.(mấy ban đó có phản ánh lại với em trên facebook)

Mấy bạn đều gặp chung một lỗi là thế này '

Mong BQT khắc phục lỗi này sớm ! Em xin cảm ơn.

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau

$$1+2^{x}.3^{y}=z^2$$

Chứng minh rằng hệ sau  chỉ có một nghiêm duy nhất là $(x,y,z)=(1;1;1)$

$\left\{\begin{matrix} x+y^2+z^3=3 & & \\ y+z^2+x^3=3 & & \\ z+x^2+y^3=3 & & \end{matrix}\right.$

Lời giải: 

Trừ phương trình  $(1)$ cho phương trình (2) ta có: 

$$x(1-x^2)+y(y-1)+z^2(z-1)=0$$(3)

Trừ phương trình $(2)$ cho phương trình $(3)$ ta có:

$$y(1-y)^2+z(z-1)+x^2(x-1)=0$$(4)

Nhân phương trình (4) với $z$ rồi trừ cho phương trình $(3)$ ta có: 

$$x(x-1)(1+x+xz)=y(y-1)(1+z+yz)(*)$$

Một cách hoàn toàn tương tự ta cũng có: 

$$y(y-1)(1+y+yx)=z(z-1)(1+x+zx)(**)$$

Từ hai kết quả $(*)$ và $(**)$ ta suy ra rằng $x,y,z$ là các sô dương, $x,y,z$ bằng 1 hoặc bé hơn 1 hoặc lớn hơn 1.

Dễ dàng thấy $x,y,z<1$ hoặc $x,y,z>1$ không thỏa mãn.

Kết hợp $x+y^2+z^3=3$ ta có đpcm

Chứng minh rằng hệ sau  chỉ có một nghiêm duy nhất là $(x,y,z)=(1;1;1)$

$\left\{\begin{matrix} x+y^2+z^3=3 & & \\ y+z^2+x^3=3 & & \\ z+x^2+y^3=3 & & \end{matrix}\right.$

Bài 27: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{3+2x^2y-x^4y^2}+x^2(1-2x^2)=y^4 & & \\ 1+\sqrt{1+(x-y)^2}=-x^2(x^4+1-2x^2-2xy^2) & & \end{matrix}\right.$

Bài 28: $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=2 & & \\ |x+y+z-xyz|=2 & & \end{matrix}\right.$

Bài 29 : $\left\{\begin{matrix} 2x^4=4y-1 & & \\ 2y^4=4z-1 & & \\ 2z^4=4x-1 & & \end{matrix}\right.$

Bài 30 $\left\{\begin{matrix} x^4+y^2=\dfrac{698}{81} & & \\ x^2+y^2+xy-3x-4y+4=0 & & \end{matrix}\right.$

Cho $2n+2$ điểm nằm trên mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại 2 điểm trong $2n+2$ điểm mà đường thẳng đi qua 2 điểm này chia cách mặt phẳng thành 2 phần mỗi phần chứa $n$ điểm 

Bài 24: Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=1 & & \\ \dfrac{1}{x^2y^2}+\dfrac{1}{x^4+y^4}=6 & & \end{matrix}\right.$

Bài 25 $\left\{\begin{matrix} \dfrac{x^4}{y^2}+\dfrac{y^4}{z^2}+\dfrac{z^4}{x^2}=12 & & \\ x^2+y^2+z^2=12 & & \end{matrix}\right.$

Bài 26: $\left\{\begin{matrix} x+y+xy=a^2+2a & & \\ x^4+y^4=2a^4 & & \end{matrix}\right.$ ($a\ge 0$)

cho tam giác ABC , kẻ đường cao AH . biết BC = 25cm , AH = 12cm . Tính AB , AC

Xem lại đề nhé...đề như thế này thì ai mà làm được

Bài 21 : Giải Hệ Phương trình 

$\left\{\begin{matrix} xyz=1 & & \\ \dfrac{2}{x^2+2y^2+3}+\dfrac{2}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{2}{z^2+2x^2+3}=1 & & \end{matrix}\right.$

Bài 22 : Giải Hệ Phương trình 

$\left\{\begin{matrix} xyz=1 & & \\ x^3+y^3+z^3=x+y+z & & \end{matrix}\right.$ (với $x,y,z>0$)

Bài 23: Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt[4]{32-x}-y^2=-3 & & \\ \sqrt[4]{x}+\sqrt{32-x}+6y=24 & & \end{matrix}\right.$

 

Bài 3. Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh $\sum \left( a+ \frac 1b \right)^2 \ge 3(a+b+c+1)$.

 

Xem lời giải tại đây

 

Cho (O,R) dây cung AB<2R Tiếp tuyến Ax,By của (O) cắt nhau tại M . I là trung điểm của MA K là giao điểm của BI với (O); MK cắt (O) tại C

Chứng minh tam giác ABC cân tại A

 

Bạn xem lời giải của mình tại đây

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2} &  & \\   \sqrt{x}+\sqrt{y}=4&  &  \end{matrix}\right.$

Ta có 

 $(1)\Leftrightarrow \sqrt{2(x^2+y^2)}+2\sqrt{xy}=16$

 $(2)\Leftrightarrow x+y+2\sqrt{xy}=16\Rightarrow x+y=16-2\sqrt{xy}$

Kết hợp 2 điều trên ta có 

 $\sqrt{2(x^2+y^2)} =x+y \Rightarrow (x-y)^2=0\Rightarrow x=y$

Tới đây chắc dễ rồi !

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4 &  & \\   x+y-\sqrt{xy}=3&  &  \end{matrix}\right.$

Áp dụng BĐT Cauchy schwarzt cho phương trình (1) ta có 

$(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1})^2 \leq 2(x+y+2)$

$\Rightarrow x+y \geq 6$ (*)

Áp dụng BĐt Cauchy cho phương trình (2) ta có $\sqrt{xy} \leq \dfrac{x+y}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{x+y}{2} \leq 3 \Rightarrow x+y\leq 6$ (**)

Từ $(*);(**)$ $\Rightarrow x+y=3$

Thay vào phương trình (2)

Tới đây dễ rùi