Draconid nội dung
Có 41 mục bởi Draconid (Tìm giới hạn từ 27-04-2020)
#382589 Đề thi OLP toán sinh viên cấp trường đh Kinh tế quốc dân 2013
Đã gửi bởi Draconid on 01-01-2013 - 15:42 trong Thảo luận về các kì thi, các kì kiểm tra Toán sinh viên
Câu 1: Cho dãy số $\left \{ u_{n} \right \}$ xác định như sau $u_{1}= \sqrt{2}$ ; $u_{n+1}=u_{n} + \frac{u_{n^{2}}}{2011\sqrt{2}}$ $\forall n=1,2,...$
Tìm $\lim_{n\rightarrow \infty }$ $(\frac{u_{1}}{u_{2}}+\frac{u_{2}}{u_{3}}+...+\frac{u_{n}}{u_{n+1}})$
Câu 2: Cho f : [0,1] $\rightarrow$ [0,1] là hàm số liên tục sao cho f(0)=0; f(1)=1
Đặt $f_{k}= \overset{\underbrace{f\circ f\circ f\circ ...\circ f}}{k}$
Giả sử rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho $f_{n}\left ( x \right )=x; \forall x\epsilon [0,1]$
Chứng minh rằng $f(x)=x, \forall x\epsilon [0,1]$
Câu 3:Cho $f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm khả vi. có đạo hàm cấp 2 không âm.
Chứng minh rằng $f(x+f^{'}(x))\geq f(x), \forall x\epsilon \mathbb{R}$
Câu 4: Tìm hàm số $f :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(xf(y)+x)=xy+f(x), \forall x,y \epsilon \mathbb{R}$
Câu 5:
a) Tính tích phân $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{(e^{x}+1)(x^{2}+1)}$
b) Giả sử $f(x)$ là hàm liên tục trên [a,b] và thỏa mãn điều kiện
$f\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2} \right )\leq \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$
Chứng minh rằng $f\left ( \frac{a+b}{2} \right )\left ( b-a \right )\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq \frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)$
Câu 6: cho $f :[a,b]\rightarrow (a,b)$ là hàm liên tục. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n tồn tại số dương $\alpha$ và $c\epsilon (a,b)$ sao cho
$f( c)+f(c+\alpha )+...+f(c+n\alpha )=(n+1)(c+\frac{n}{2}\alpha )$
----------------------------------------------------------
Hết
#377151 bài giảng giải tích của thày Nguyễn Duy Tiến
Đã gửi bởi Draconid on 12-12-2012 - 21:44 trong Tài nguyên Olympic toán
http://www.mediafire...l2b74ftu7d1udd5
#337486 Chứng minh $ab^{2} \leq \frac{1}{8...
Đã gửi bởi Draconid on 19-07-2012 - 08:59 trong Bất đẳng thức và cực trị
Nên bđt tương đương: $ab^{2}\leq \frac{1}{8}$
$\frac{b-b^{2}}{2}\leq \frac{1}{8}$
<=> $(2b-1)^{2}\geq 0$ (Luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=$\frac{1}{2}$
#337118 Tìm giới hạn: $$\lim_{x\rightarrow \infty }x^{2}(e^{...
Đã gửi bởi Draconid on 17-07-2012 - 22:49 trong Giải tích
I=$\lim_{x\rightarrow \infty }x^{2}(e^{\frac{1}{x}}+e^{-\frac{1}{x}}-2)$ = $\lim_{x\rightarrow \infty }x^{2}\frac{(e^{\frac{1}{x}}-1)^{2}}{e^{\frac{1}{x}}}$
I= $\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}})^{2}.\frac{1}{e^{\frac{1}{x}}}$ = 1 Do $\lim_{a\rightarrow 0}\frac{e^{a}-1}{a}=1$
#335827 Tính giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}...
Đã gửi bởi Draconid on 14-07-2012 - 23:47 trong Giải tích
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsin2x-2arcsinx}{x^{2}}$ = $\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{2}{x.\sqrt{1-4x^{2}}}-\frac{2}{x.\sqrt{1-x^{2}}})$ = $6\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{x}{\sqrt{1-4x^{2}}.\sqrt{1-x^{2}}.(\sqrt{1-4x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}})})$ = 0
(Có thể bạn thắc mắc vì $arcsin0$ =a thì a= $\pi$ hoặc a= 2.$\pi$)
#335300 Ý nghĩa của phép nhân ma trận
Đã gửi bởi Draconid on 13-07-2012 - 18:41 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
#334771 Giấy Mời Offline tại Hà Nội
Đã gửi bởi Draconid on 12-07-2012 - 11:43 trong Thông báo tổng quan
#334413 Tính đạo hàm riêng cấp 2 $$f(x,y) = \left\{ \begin{m...
Đã gửi bởi Draconid on 11-07-2012 - 15:48 trong Giải tích
Đầu tiên ta tính $f'_{x}(0,y)$ = $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x,y)-f(0,y)}{x-0}$ = $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{y.(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}=-y$
$f''_{xy}(0,0)=\lim_{y\rightarrow 0}(\frac{-y-0}{y-0})=-1$
Phần còn lại làm tương tự nhé
#334301 Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm $\sum_{n=2}^{\infty }\frac{...
Đã gửi bởi Draconid on 11-07-2012 - 09:50 trong Giải tích
$f'\left ( 0 \right )=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[]{1-e^{-x^{2}}}}{x}$
Xét $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\sqrt[]{1-e^{-x^{2}}}}{x}$=$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\sqrt{\frac{1-e^{-x^{2}}}{x^{2}}}=1$
$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}-\sqrt{\frac{1-e^{-x^{2}}}{x^{2}}}=-1$
Suy ra $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f'\left ( x \right )\neq \lim_{x\rightarrow 0^{-}}f'\left ( x \right )$
Hàm số ko có đạo hàm tại x=0
Câu 3: ví dụ nhé
$f'\left ( x,-1 \right )=\lim_{y\rightarrow -1}\frac{f(x,y)-f(x,-1)}{y+1}$
Khai triển ra ta được: $f'\left ( x,-1 \right )=\frac{-2x}{x^{2}+1}$
#325699 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn....
Đã gửi bởi Draconid on 15-06-2012 - 23:55 trong Hàm số - Đạo hàm
$sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC> 2\pi$
#324576 Tích phân suy rộng $ \int_{0}^{+ \infty } \frac{x^p dx}{1...
Đã gửi bởi Draconid on 12-06-2012 - 23:27 trong Giải tích
Nếu $p> q$ thì $p-q> 0$ nên$\lim_{x\rightarrow \infty }x^{p-q}=\infty$ => tích phân đã cho phân kỳ
#323156 Chứng minh rằng $MN//AD$
Đã gửi bởi Draconid on 07-06-2012 - 17:24 trong Hình học
Là sao???Cho hình thang $ABCD$ có 2 cạnh đáy là $AD$ và $BC$ ($BC>AD$). Trên tia đối của tia $CA$ lấy điểm $P$ tùy ý. Đường thẳng qua $B$ và trung điểm $I$ của $BC$ cắt $AB$ tại $M$, đường thẳng qua $P$ và trung điểm $J$ của $AD$ cắt $CD$ tại $N$. Chứng minh rằng $MN//AD$.
#322448 $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x^{3}-1}{x^{2}-7x+...
Đã gửi bởi Draconid on 04-06-2012 - 19:20 trong Giải tích
cho $f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{x^{3}-1}{x^{2}-7x+6} &,x<1 \\
e^{x-1}&,x\geq 1
\end{matrix}\right.$
tính $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)$
ta sẽ tính $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f\left ( x \right )$ và $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f\left ( x \right )$ Trong TH này $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f\left ( x \right )$ # $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f\left ( x \right )$ nên ko tồn tại giới hạn trên
#322061 Đề phần Giải tích 2 Khoa toán KTQD
Đã gửi bởi Draconid on 03-06-2012 - 16:27 trong Giải tích
$\mu \left ( x:f\left ( x \right )=0\veebar f\left ( x \right )$ = $\mu \left ( 0 \right )+\mu \left ( 1 \right )$ = $F\left ( 0^{+} \right )-F\left ( 0 \right )$ = 2
b) Do hàm số F ko liên tục tuyệt đối tại t=o và t=3 nên ta tách tích phân thành 5 miền như sau
$\int_{f< o}^{.}\left ( \frac{1}{2}t+1 \right )d\mu + \int_{f= 0}^{.}\left ( \frac{1}{2}f+1 \right )d\mu +\int_{0< f< 3}^{.}\left ( \frac{1}{2}t+1 \right )d\mu + \int_{f= 3}^{.}\left ( \frac{1}{2}t+1 \right )d\mu + \int_{f> 3}^{.}\left ( \frac{1}{2}t+1 \right )d\mu$ = $\int_{-\infty }^{0}\left ( \frac{1}{2}t+1 \right )d(2t) + 2 + \int_{0}^{3}\left ( \frac{1}{2}t+1 \right )d(t+2) \int_{3}^{+\infty } \left ( \frac{1}{2}t+1 \right )d(8)+ \frac{5}{2}.(8-5)$
$\int \left ( \frac{1}{2}f(t)+1 \right )d\mu$ = $\int_{-\infty }^{0}\left ( \frac{1}{2}t+1 \right)d(2t)$ $\frac{59}{4}$ = $\infty$
Vậy f(x) không khả tích Lebesgue =((
#321578 Đăng kí tham gia buổi offline của VMF 2012
Đã gửi bởi Draconid on 01-06-2012 - 21:10 trong Thông báo tổng quan
2. Nick trên Diễn đàn: Draconid
3. Ngày sinh: 4/11/1993
4. Nghề nghiệp: SV
5. Địa chỉ nhà:Bùi Thị Thiệu, Khu 2 thị trấn Vĩnh Tường, huyện Vĩnh Tường tỉnh Vĩnh Phúc
6. Mail/ Số điện thoại liên lạc:01686328770
7. Địa điểm đăng kí tham gia: Hà Nội
8. Bạn có muốn tham gia vào BTC không: Không
P/s:Secrets In Inequalities VP Em ở VP à, đi với anh
#321384 Đề phần Giải tích 2 Khoa toán KTQD
Đã gửi bởi Draconid on 01-06-2012 - 00:30 trong Giải tích
$d\left ( x,y \right )=d\left ( y,x \right )$
$d\left ( x,y \right )=0$ <=> x=y
$d(x,y)=\left | \frac{2}{x} -\frac{2}{y}\right |=\left | \frac{2}{x}-\frac{2}{z}+\frac{2}{z}-\frac{2}{y} \right |\leq \left | \frac{2}{x}-\frac{2}{z} \right |+\left |\frac{2}{z} -\frac{2}{y} \right |=d\left ( x,z \right )+d\left ( z,y \right )$ vậy d là 1 metric trên X
b) Ta có $\lim_{m,n \to \infty }d\left ( x_{m},x_{n} \right )=\lim_{m,n \to \infty }\left | \frac{2}{x_{m}}-\frac{2}{x_{n}} \right |=0$ => dãy $\left \{ x_{n}=n\in N \right \}$ là 1 dãy cauchy trong không gian metric (X,d)
Giả sử $\left \{ x_{n} \right \}$ hội tụ khi đó $\lim_{n \to \infty }x_{n}=x$ và $\lim_{n \to \infty }d\left ( x_{n},x \right )=0$ => $\left | \frac{2}{x_{n}}-\frac{2}{x} \right |\rightarrow 0$ => $0=\lim_{n \to \infty }\frac{2}{x_{n}}=\frac{2}{x}$ Vô lý do $\frac{2}{x}\neq 0$ Vậy dãy $\left \{ x\left ( n \right ) \right \}$ không hội tụ nên (X,d) không là không gian đủ
Câu 5: A= $\left ( 0,1 \right )*(0,1)$ = $\left \{ \left ( x,y \right ):-1< x,y< 1 \right \}$
Ta lấy X $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ $\in A$ , B(X,r) $\in A$
Dễ thấy $r=min\left \{ 1-\left | x \right |,1-\left | y \right | \right \}$
GọiY $\left ( x_{2},y_{2} \right )$ $\in B$ kihi đó:
$d\left ( X,Y \right )$ = $\sqrt{\left ( x_{1} -x_{2}\right )^{2}+\left ( y_{1}-y_{2} \right )^{2}}< r$ =>
$\left | x_{1}-x_{2} \right |< r$ , $\left | y_{1}-y_{2} \right |< r$
$\left | x_{1} \right |-\left | x_{2} \right |< r$, $\left | y_{1} \right |-\left | y_{2} \right |< r$
$\left | x_{1} \right |< r+\left | x_{2} \right |$ $< 1$ , $\left | y_{2} \right |< r+\left | y_{1} \right |$ $< 1$ Vậy Y $\in A$ nên mọi điểm trong A đều là điểm trong suy ra A là tập mở.
#321370 Đề phần Giải tích 2 Khoa toán KTQD
Đã gửi bởi Draconid on 31-05-2012 - 23:30 trong Giải tích
Câu 2: Đặt
$A_{0}$ = $\left \{ x:\left | f_{x} -g_{x}\right |> 0 \right \}=\left \{ x:f_{x}\neq g_{x} \right \}$
$A_{\delta }=\left \{ x:\left | f\left ( x \right )-g\left ( x \right ) \right |\geq \delta \right \}$ $\delta > 0$
$A_{k}=\left \{ x:\left | f\left ( x \right ) -g\left ( x \right )\right |\geq k \right \}$ k$k\in N^{*}$
$B_{n}=\left \{ x:\left |f_{n} \left ( x \right )-f\left ( x \right ) \right | \geq \frac{\delta }{2}\right \}$ $n\in N^{*}$
$C_{n}=\left \{ x:\left | f_{n} \left ( x \right )-g\left ( x \right )\right |\geq \frac{\delta }{2} \right \}$, $n\in N^{*}$
Ta có các tập hợp này đều đo đc do fn,f,g đo được trên A
Ta cần chứng minh $\mu \left ( A_{0} \right )=0$
Trước hết ta chứng minh $A_{0}=\bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}$ (1)
Lấy $x\in A_{0}$, ta có $x\in A$ và $\left | f\left ( x \right ) -g\left ( x \right )\right |> 0$
Theo tính chất trù mật của số thực sẽ tồn tại số tự nhiên $k_{0}$ sao cho $\left | f\left ( x \right ) -g\left ( x \right )\right |> \frac{1}{k_{0}}> 0$ suy ra $x\in A_{k_{0}}$ nên $x\in \bigcup_{1}^{\infty }A_{k}$
Ngược lại, lấy $x\in \bigcup_{1}^{\infty }A_{k}$ thì tồn tại số tự nhiên $k_{0}$ sao cho $x\in A_{k_{0}}$. Suy ra $x\in A$ và $\left | f\left ( x \right )-g\left ( x \right ) \right |\geq \frac{1}{k_{0}}$ nên $\left | f\left ( x \right )-g\left ( x \right ) \right |> 0$ do đó $x\in A_{0}$
Vậy (1) được chứng minh khi đó ta có $\mu \left ( A_{0} \right )\leq \sum_{1}^{\infty }\mu \left ( A_{k} \right )$ (2)
Bây giờ ta chứng minh $A_{\delta }\subset B_{n}\bigcup C_{n}$ hay $\left ( A_{\delta } \right )^{c}\supset \left ( B_{n}\bigcup C_{n} \right )^{c}$ (3)
Thật vậy lấy $x\in \left ( B_{n} \right )^{c}\bigcup \left ( C_{n} \right )^{c}$ ta có $x\in A$ và $\left | f_{n} \left ( x \right )-f\left ( x \right )\right |< \frac{\delta }{2} và \left | f_{n}\left ( x \right )-g\left ( x \right ) \right |< \frac{\delta }{2}$
Suy ra $\left | f\left ( x \right )-g\left ( x \right ) \right |=\left | f\left ( x \right )-f_{n}\left ( x \right )+f_{n} \left ( x \right )-g\left ( x \right )\right |\leq \left | f_{n}\left ( x \right ) -f\left ( x \right )\right |+\left | f_{n}\left ( x \right ) -g\left ( x \right )\right |< \frac{\delta }{2}+\frac{\delta }{2}=\delta$ Do đó $x\in \left ( A_{\delta } \right )^{c}$ Vậy (3) được chứng minh
Khi đó:
$\mu \left ( A_{\delta } \right )\leq \mu \left ( B_{n} \right )+\mu \left ( C_{n} \right )$ (4)
Mà $\lim_{n \to \infty }\mu \left ( B_{n} \right )=0$, $\lim_{n \to \infty }\mu \left (C_{n} \right )=0$
Vì$f_{n}\overset{hkn}{\rightarrow}f, f_{n}\overset{hkn}{\rightarrow}g$ trên A, nên lấy lim hai vế của (4) ta được $\mu \left ( A_{\delta } \right )=0$, $\forall \delta > 0$
Suy ra $\mu \left ( A_{k} \right )=0$ khi $\delta =\frac{1}{k}> 0$, $\forall k\in N^{*}$
từ (2) ta có $\mu \left ( A_{0} \right )=0$ (ĐPCM)
#321191 $f\left( z \right)$ và $g\left( z \right)...
Đã gửi bởi Draconid on 31-05-2012 - 11:23 trong Tôpô
$g_{m}\left ( x \right )\overset{hkn}{\rightarrow}g_{x}$ khi đó tồn tại tập A, B $\subset$ X Sao cho
$f_{m}\left ( x \right )\rightarrow f\left ( x \right )$ với mọi x $\epsilon$ X\A
$g_{m}\left ( x \right )\rightarrow g\left ( x \right )$ với mọi x$\in$ X\B
Vậy với mọi x $\in$ X \ $A\cup B$ thì $\lim_{m \to \infty }f_{m}\left ( x \right )$ = $f\left ( x \right )$ = $\lim_{m \to \infty }g_{m}\left ( x \right )$ = $g\left ( x \right )$
$f\left ( x \right )= g\left ( x \right )$ hkn
- Diễn đàn Toán học
- → Draconid nội dung