Cho số n nguyên dương cho trước, chứng minh rằng 

đa thức $f(x)=1+\prod_{i=1}^{n}(x^{2}+i^{2})$ không thể

phân tích thành 2 đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 

Cho 2 số dương x₀, x₁ và dãy số (x_n) thoả mãn 

$x_{n+1}=\frac{4max(4,x_{n}) }{x_{n-1}}$ với $n\geq 1$

Chứng minh rằng $x_{n}=x_{n+5}$ với $n\geq 1$

Cho các số dương a,b,A,B và dãy số sau:

$x_{1}=a; x_{2}=b; x_{n+1}=Ax_{n}^{\frac{2}{3}}+Bx_{n-1}^{\frac{2}{3}} \forall n\geq 2$

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm giới hạn đó

Cho hàm $f:\mathbb{R}+\rightarrow \mathbb{R}+$ sao cho $(f(x))^{2}\geq f(x+y)(f(x)+y)$ với mọi x,y>0

Chứng minh rằng hàm f không tồn tại

Xét đa thức P(x) sao cho $P(x)=1; (P(x))^{2}=1+x+x^{100}Q(x)$ trong đó Q(x) cũng là một đa thức. Chứng minh rằng trong đa thức 

$(P(x)+1)^{100}$ thì hệ số của $x^{99}$ là 0

Cho a,b,c dương thoả mãn $\frac{1}{c^{2}}=\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}$

Chứng minh rằng $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\geq \frac{5}{3}$

  Giả sử tồn tại hàm f thoả mãn đề bài

$x=0=>f(f(y))=2y$ với mọi $y\in \mathbb{R}$ => f(x) song ánh

SUYRA $f(f(0))=0$

$x=1;y=0=>f(1+f(0))=f(0)=>1+f(0)=0=>f(0)=-1$ (1)

nên $f(-1)=f(f(0))=0$

$y=-1;x=0=>f(0)=-2$ (2)

  Từ (1) và (2) ta thầy điều mâu thuẫn

   Vậy không tồn tại hàm f thoả mãn đề bài

Cho các số thực không âm a,b,c trong đó không có 2 số nào đồng thời bằng 0

Chứng minh rằng $\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+bc}\geq 2$

Cho hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}+$ thoả mãn:

  $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2y^{2}$ với mọi $x, y\in \mathbb{R}$

Tìm f

Tìm tất cả các hàm f(x): $[1;+\infty )\rightarrow [1;+\infty )$

      1 ) $x\leq f(x)\leq 2x+2$

      2) $xf(x+1)=(f(x)^{2})-1$     

ê, đề đâu mọi người    

someone solves the exercise 4, please

Vì $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ nên có liên tục trên $\mathbb{R}$

à, tờ không để ý, nhưng nếu không có đạo hàm thì kết quả vẫn không đổi

Năm nay thi quá sớm...  và có sự kì lạ là nó mang tính Hình thức cao !  Không công bố điểm ... ( độ bí mật và nguy hiểm cao) 

 

sakura.PDF

có ai giải được bài 4 không

Bài 2. Lấy $x=y=0$ ta được $f(0)=0$. Ta có:

$f'(x)=\lim\limits_{y\to 0}\dfrac{f(x+y)-f(x)}{y}=\lim\limits_{y\to 0}\dfrac{f(y)+2xy}{y}=f'(0)+2x$

Đặt $a=f'(0)$ thì ta có $f'(x)=2x+a\Rightarrow f(x)=x^2+ax+b$

Kết hợp với $f(0)=0$ cho ta $f(x)=x^2+ax$

Hàm f đâu có liên tục mà bạn lại lấy đạo hàm

Cách giải của tôi:

Đặt  $g(x)=f(x)-x^{2}$    thay vào ta có: $g(x+y)=g(x)+g(y)$ => $g(x)=ax$ (theo phương trình hàm Cauchy)=> $f(x)=ax+x^{2}$. Thử lại thấy đúng

Vậy ta có f(x)

bạn đăng luôn cách giải đi

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} (2x+y-1)(\sqrt{x+3}+\sqrt{xy}+\sqrt{x})=8\sqrt{x} & & \\ 2x^{2}+2\sqrt{xy(x+3)}+2xy+3-11x=0& & \end{matrix}\right.$

Để giải bài toán này ta sử dụng tính chất sau

Với một số nguyên tố $p$ bất kì, luôn tồn tại một số $a$ sao cho $p-1$ là số $x$ nhỏ nhất thoả mãn $a^{x}-1$ chia hết cho $p$

Dễ dàng chứng minh kết quả này bằng cách để ý số nghiệm của phương trình không vượt quá số mũ.

 

Nhận thấy với mọi $a$ thì $a^{25}-a$ đều chia hết cho $p$ với $p=2,3,5,7,13$ và sử dụng kết quả trên thì ngoài các số nguyên tố này sẽ không còn số nào là ước của tất cả các số dạng $a^{25}-a$ nữa.

 

Mặt khác với $a=p$ thì $a^{25}-a$ không chia hết cho $p^2$, do đó số phần tử của $S$ là $2^{5}=32$

tớ thấy không ổn, với a=2015! chẳng hạn

hàm f(x)=x cũng thỏa mãn mà bạn, Bạn xem lại giúp mình với ạ.

ừ bạn chờ tí nhé

Tìm hàm liên tục từ $R$ đến $R$ thỏa mãn $f(0)=0$ và $x-f(x)+f(x-f(x))=0$

Không cần đến gt hàm liên tục và f(0)=0

đặt x-f(x)=g(x) Khi đó g(g(x))= g(x)-f(g(x))

 Mà f(g(x))= -g(x) theo gt nên g(g(x))=2g(x)

Xét với mỗi $x\in \mathbb{R}$ ta có dãy sau

a₀=x ;

a₁=g(x) ;

a₂= g(g(x)) ;

........

a_n= g_n(x) ; (kí hiệu này tự hiểu nhé)

 Khi đó a_n+1=2a_n => a_n+1=2ⁿ⁺¹a_0. Thay n=0 suy ra  a₁=2a₀ hay g(x)=2x => f(x)=x-g(x)= -x

 Vậy  f(x)= -x

Bài 1 :  

 

a.  Với $a=0$ thì dãy viết lại như sau :         $\left\{\begin{matrix} u_{1}=3 & \\ u_{n+1}=\frac{1}{2}u_{n}+\frac{1}{4}\sqrt{u^{2}_{n}+3} & \end{matrix}\right.$

 

     Th1:   $$u_{n}\in \begin{bmatrix} 1;\infty \end{bmatrix}$$  (**)

 

Xét  $u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{4}\sqrt{u^{2}_{n}+3}-\frac{u_{n}}{2}$ (*)

 

Giả sử $u_{n}$  là hàm tăng thì (*) $\Leftrightarrow \sqrt{u^{2}_{n}+3} >  2u_{n}\Leftrightarrow u_{n}<1$  ( vô lý ) 

 

nên $u_{n}$ là hàm giảm  mà kết hợp với (**) nên $u_{n}$ có giới hạn hữu hạn .   

 

Gọi    $lim u_{n}=L$   ,  chuyển qua giới hạn ta có :    $L=1$  nên    $lim u_{n}=1$

 

  Hiển nhiên ta có $u_{n}>0$ 

 

 Th2 :        $0< u_{n}\leq 1$ (***)  ,  tương tự như trên ta cũng chứng minh được  $u_{n}$ là hàm số tăng mà kết hợp với  (***)

 

ta được  $u_{n}$ tăng và bị chặn trên nên    $lim u_{n}=1$

 

b.         Th1 :   $u_{n}\in \begin{bmatrix} 1;\infty \end{bmatrix}$  ,  chứng minh tương tự câu a  nên dãy có giới hạn hữu hạn 

 

            Th2 :   $0 < u_{n}\leq 1 $  ta cũng sẽ chứng minh $u_{n}$ là hàm tăng như sau :      

 

Xét :  $u_{n+1}-u_{n}=\frac{n^{2}}{4n^{2}+a}\sqrt{u^{2}_{n}+3}-\frac{1}{2}u_{n}$

 

Sau đó sử dụng đánh giá  :   $a <1$  rồi đưa về biểu thức sau :   $u^{2}_{n}=\frac{12n^{4}}{12n^{4}+8n^{2}+1}<1 \rightarrow u_{n}<1$  (đúng )

 

nên $u_{n}$  tăng và bị chặn trên nên  $u_{n}$ có giới hạn hữu hạn 

Câu a của cậu cũng sai luôn rồi!!! Có đến mấy chỗ cậu ngộ nhận luôn. Làm gì có chuyện hàm không tăng thì là hàm giảm??? Nếu như xét TH như vậy thì đang còn thiếu TH, lỡ dãy nãy đánh võng quanh số 1 thì cậu làm sao???

Bài 1   :    $\left\{\begin{matrix} f_{0}(x)=2 , f_{1}(x)=3x & \\ f_{n}(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^{2})f_{n-2}(x) & \end{matrix}\right.$  

 

Áp dụng phương pháp sai phân bậc 2 ta tìm được công thức tổng quát :   

 

                                              $f_{n}(x)=(2x-1)^{n}+(x+1)^{n}$   
 

Khai triển rồi nhóm lại ta được :   

 

        $f_{n}(x)=x^{n}.(2^{n}+1)+...+(-1)^{n}+1^{n}$  (*)

 

 Để (*) chia hết cho  $x^{3}-x^{2}+x$  thì $n$ là một số lẻ và được viết dưới dạng sau :  

 

$x(x^{2}-x+1)(x^{n-3}.C_{1}+....+x.C_{n-3}+C_{n-2})$

 

Xét đa thức $g(x)=x^{n-1}(2^{n}+1 )+...+C^{n-1}_{n}$ 

                    

                     $h(x)=x^{3}.C_{1}+...+C_{n-2}$

 

Ta có :  Tổng các hệ số của đa thức $g(x)$ bằng tổng hệ số của đa thức $h(x)$ (  $h(x)$ là đa thức thương của $g(x)$ với $x^{2}-x+1$ 

 

Ta xác định được :   $C_{1}=2^{n}+1$ 

                                 $C_{n-2}=C^{n-1}_{n}$

 

Tới đây bước tính toán của em hơi khủng !!!!! 

 

$C_{3}=C^{2}_{n}(2^{n-2}-1)+C^{1}_{n}(2^{n-1}+1)$ 

$C_{4}=C^{3}_{n}(2^{n-3}-1)+C^{2}_{n}(2^{n-2}+1)-2^{n}-1$

 

Cứ tiếp tục như thế  (  Khúc sau khủng quá nên lười ghi )

 

Cuối cùng cân bằng hệ số giữa  $C_{n-2}$  trong khai triển trên với $C_{n-2}$ trong đa thức $g(x)$

 

Ta tìm được :  $n=3$ thỏa đề bài .  

 

P/s : Cái khúc tính toán để em xem lại nhé ! ( Dấu $+$ , $-$  loạn xạ ) 

sai rồi bạn ơi!!! n là số lẻ chia hết cho 3, bài này dùng hằng đẳng thức đáng nhớ

bạn khanghaxuan làm sai rồi, đáp số là n lẻ và là bội của 3

chứng minh rằng $\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{zx+1}+\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{3}{xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}}}\geq 2$

với mọi x, y, z dương thỏa mãn $xyz=1$