Cho hai số nguyên dưong phân biệt $p,q$ nguyên tố cùng nhau. Dãy $\left ( x_{n} \right )$ xác định như sau:  $x_{0}=0$;  $x_{k+1}=x_{k}-q$ nếu $x_{k}-q> 0$ và chưa xuất hiện trong dãy; trong trường hợp ngược lại thì $x_{k+1}=x_{k}+p$. Chứng minh: Mỗi số tự nhiên xuất hiện đúng 1 lần trong dãy

Trên vòng tròn cho n điểm $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ theo chiều kim đồng hồ. Viết vào đỉnh $A_{i}$ số nguyên dương $a_{i}$. Sau đó thay số ở đỉnh  $A_{i}$ thành số $b_{i}=\left [ \frac{a_{i-1}+1}{2} \right ]+\left [ \frac{a_{i}+1}{2} \right ]$. Tiếp tục làm tương tự như trên. CMR: Sau hữu hạn bước, các số trên các n đỉnh sẽ bằng nhau

Ta có thể sử dụng định lý Cauchy-Davenport để giải bài này. Xét ba tập $A= \left \{ ax^2 \mid x < \tfrac p2 \right \}, A= \left \{ by^2 \mid y < \tfrac p2 \right \}, C= A= \left \{ cz^2 \mid z < \tfrac p2 \right \}$.

Do các số $x,y,z$ không thể đồng thời chia hết cho $p$ nên theo định lý thì $$\mid A+B+C \mid \ge \min \left \{ \frac{p+1}{2}+\frac{p+1}{2}+ \frac{p-1}{2}-2,p \right \}=p.$$

Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh.

Bạn có cách giải nào sơ cấp hơn không

CMR: Với  mỗi số nguyên dương n, tồn tại số nguyên tố p sao cho $p-1$ và $p+1$ có ít nhất n thừa số nguyên tố trong khai triển

CMR: Với mỗi số nguyên dương n, tồn tại số nguyên tố có dạng $p=k.6^{n}+2.3^{2^{n-1}}-1$

Cho a, b, c là các số nguyên và p là 1 số nguyên tố. CMR: Tồn tại các số nguyên x, y, z không đồng thời chia hết cho p sao cho $p \mid ax^{2}+by^{2}+cz^{2}$

Cho tam giác ABC, nội tiếp (O), ngoại tiếp (I). đương thẳng qua I vuông góc với OI cắt tiếp tuyến của (I) cắt tiếp tuyến song song với BC tại M và OI cắt tiếp tuyến đó tại N. CMR A,M,N,O cùng thuộc 1 đường tròn

Chứng minh: Với mọi dãy $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ luôn chọn được $k\leq n$ sao cho $\left | \left ( a_{1} +...+a_{k}\right )-\left ( a_{k+1}+...+a_{n} \right ) \right |\leq max\left \{ a_{1},...,a_{n} \right \}$

Bài 1 : Giả sử $n-1\leq k\leq \frac{n\left ( n-1 \right )}{2}$. Chứng minh: Tồn tại n điểm  trên 1 đường thẳng mà tập hợp các khoảng cách giữa chúng có đung k phần tử

Bài 2 : Giả sử $\left [ \frac{n}{2} \right ]\leq k\leq \frac{n\left ( n-1 \right )}{2}$. Chứng minh: Tồn tại n điểm trên mặt phẳng mà tập hợp các khoảng cách giữa chúng có đúng k phần tử

Cho các số hữu tỉ không âm $x_{1};x_{2};...;x_{n}$ thỏa mãn $\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}+...+\sqrt{x_{n}}\in \mathbb{Q}$. Chứng minh: $\sqrt{x_{1}};\sqrt{x_{2}};...;\sqrt{x_{n}}$ là các số hữu tỉ

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho nếu a, b là các số nguyên dương thỏa mãn $a^{2}b+1\vdots n$ thì ta cũng có $a^{2}+b\vdots n$

Cho 2 đoạn thẳng AB và CD có độ dài khác nhau và 1 đường thẳng d không chứa 2 đoạn thẳng AB và CD. Hãy dựng điểm M nằm trên đường thẳng d sao cho 2 tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau.

Chia tập $\left \{ 1;2;3;...;2n \right \}$ thành 2 tập con $\left \{ a_{1};a_{2};...;a_{n} \right \}$ và $\left \{ b_{1} ;b_{2};...;b_{n}\right \}$ thoả mãn $a_{1}< a_{2}< ...< a_{n}$ và $b_{1}> b_{2}> ...> b_{n}$. Chứng minh: $\sum_{i=1}^{n}\left | a_{i}-b_{i} \right |= n^{2}$

Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2$. Tìm giá trị lớn nhất:

$A= \left ( \left | a-b \right | +\sqrt{6}\right )\left ( \left | b-c \right |+\sqrt{6} \right )\left ( \left | c-a \right |+\sqrt{6} \right )$

Bạn nào có tài liệu về các phương pháp đếm nâng cao có thể cho mình xin được không? Cảm ơn nhiều!

Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh: $\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-2}+\frac{8abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}\geq 2$

Mỗi điểm trong mặt phẳng được tô bởi 1 trong n màu. Vẽ $2^{n}-1$ đường tròn phân biệt $\left ( C_{i} \right ) \left ( 1\leq i\leq 2^{n}-1 \right )$ có cùng tâm O. Kẻ các bán kính tương ứng $OA_{i}\left ( 1\leq i\leq 2^{n} -1\right )$ của các đường tròn sao cho 2 bán kính bất kì không có điểm chung nào khác O. Chứng minh: Tồn tại chỉ số k $\left ( 1\leq k\leq 2^{n} -1\right )$ sao cho trên đường tròn $\left ( C_{k} \right )$ và trên đoạn $OA_{k}$ tồn tại 2 điểm $X_{k}, Y_{k}$ tương ứng thoả mãn 2 điểm đó cùng màu $\left ( Y_{k}\neq O, Y_{k}\neq A_{k} \right )$

Cho 1 tam giác được đặt hoàn toàn trong 1 hình vuông cạnh bằng 1 sao cho tâm của hình vuông nằm ngoài tam giác. Chứng minh: Tồn tại 1 cạnh của tam giác có độ dài nhỏ hơn 1

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $\left ( O;R \right )$ có trọng tâm G. $BC=a, AC=b,AB=c$. Chứng minh: $GA + GB + GC \geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3R}$

Cho $a_{i}\in \left \{ 1,2,...,n \right \}$ đôi một khác nhau ($i=\overline{1,n}$). Tìm giá trị lớn nhất:

$A=\sum_{i=1}^{n}\left | a_{i}-i \right |$

Tồn tại hay không các số nguyên dương x,y,z lớn hơn $10^{10}$, đôi một nguyên tố cùng nhau thoả mãn $x^{8}+y^{8}+z^{8}\vdots x^{4}+y^{4}+z^{4}$

Điền các số tự nhiên từ 1 đến 49 vào bảng ô vuông 7x7, mỗi số chỉ được điền 1 lần. Bạn An tính tích các số theo hàng ngang. Bạn Bình tính tích các số theo cột dọc. Hỏi có tồn tại cách điền số sao cho các bộ số của An và Bình giống hệt nhau hay không?

Bài 2. Cho các số thực dương $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện $$ab+ac+ad+bc+bd+cd=6.$$ Chứng minh rằng $$\frac{1}{a^2+1}+ \frac{1}{b^2+1}+ \frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1} \ge 2$$

(Gặp gỡ Toán học lần V năm 2013 - Lớp 12)

Mình nghĩ bài này chỉ cần sử dụng đánh giá sau: $\frac{1}{1+x^{2}}\geq 1-\frac{x}{2}$ với $x> 0$

Cho mình hỏi là các "bộ số" ở đây có nghĩa gì nhỉ , có phải là các bộ ở đây có nghĩa là tổng ở các hàng hay ở các cột đúng không, ví dụ như tổng ở cột 1 là 21 thì số 21 là một "số" của "bộ số" của Bình ????

Đúng rồi đó bạn à

Điền các số tự nhiên từ 1 đến 49 vào bảng ô vuông 7x7, mỗi số chỉ được điền 1 lần. Bạn An tính tổng các số theo hàng ngang. Bạn Bình tính tổng các số theo cột dọc. Hỏi có tồn tại cách điền số sao cho các bộ số của An và Bình giống hệt nhau hay không?