Cho $x, y, z >0$ sao cho $xyz= 3$. Chứng minh
$x^{\frac{1}{x}}y^{\frac{1}{y}}z^{\frac{1}{z}} \leq 3^{\frac{xy+yz+xz}{9}}$

Cho x,y,z>0, a $\geq \frac{3}{2}$. Chứng minh

$(\frac{x}{y+z})^a +(\frac{y}{x+z})^a + (\frac{z}{x+y})^a \geq \frac{3}{2^a}$

Định m để phương trình có nghiệm
$\frac{1}{sin^2x} +3tan^2x +m(tanx + cotx) -1 = 0$

Bài 3: gpt : $\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}=\frac{1}{2}(2x-1)^2$

$D=[\frac{-1}{2} ; \frac{3}{2}]$

$-> 2\sqrt{2x+1} -(2x+1) + 2\sqrt{3-2x} -(3-2x) = 4x^2-4x-3$

$-> \frac{(2x+1)(3-2x)}{2\sqrt{2x+1} + (2x+1)} +\frac{(2x+1)(3-2x)}{2\sqrt{3-2x} + (3-2x)} = (2x+1)(2x-3)$

$-> (2x+1)(3-2x).[\frac{1}{2\sqrt{2x+1} + (2x+1)} + \frac{1}{2\sqrt{3-2x} + (3-2x)} + 1=0$

$-> x= -\frac{1}{2} v x=\frac{3}{2}$ (so với đk ta dễ thấy vế sau vô nghiệm)

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x^2+xy+2y=2y^2+2x & \\ y\sqrt{x-y+1}+x=2 & \end{matrix}\right.$

Phương trình đầu tách thành $(x-y)(x+2y-2)=0$ thế vào nhé bạn.

Đặt : $b=2x;c=3y(x;y> 0)\Rightarrow ax+xy+ay=1$
$\Rightarrow P=\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}=\sum \frac{1}{ax+xy+ay+a^{2}}=\sum \frac{1}{(a+x)(a+y)}=\frac{2(a+x+y)}{(a+x)(a+y)(x+y)}\leq \frac{2(a+x+y)}{\frac{8}{9}(a+x+y)(ax+xy+ay)}=\frac{9}{4}$
Vậy :
$MaxP=\frac{9}{4}\Leftrightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{3};b=\frac{2\sqrt{3}}{3};c=\sqrt{3}$

Phương pháp bạn làm bài này là gì vậy ah? Nhất là ở chỗ Đặt : $b=2x;c=3y$ , làm cách nào để có thể có hướng đặt được như vậy ah?

Áp dụng BĐT Cauchy :
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=(\frac{1}{a}+\frac{9}{16}a)+(\frac{1}{b}+\frac{9}{16}b)+(\frac{1}{c}+\frac{9}{16}c)-\frac{9}{16}(a+b+c)\geq \frac{3}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\frac{9}{4}=\frac{9}{4}$
$GTNN=\frac{9}{4}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{4}{3}$

Làm phương pháp nào mà có thể biến đổi và cộng những lượng như vậy hả bạn?

Đề bài cho pt đầu của hệ là $2x^{2}+x-\frac{1}{y}=2$
sau đó bạn biến đổi tương đương thành $x(x+2)-\frac{1}{y}=2$
Có phải không ổn không bạn???

Ừ nhỉ, có 1 sự nhầm ko nhẹ ở đây ~~ tks đã phát hiện giúp nhé

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}2x^{2}+ x - \frac{1}{y}=2 & \\ y-y^{2}x-2y^{2}=-2& \end{matrix}\right.$

$ \left\{\begin{matrix} x(x+2) - \frac{1}{y} = 2 & \\ -y^2(x+2) + y = -2& \end{matrix}\right.$
Xét thấy x=0 và y= 0 không là nghiệm của hệ nên ta nhân pt (1) cho $y^2$ và pt(2) cho x, ta được:

Hệ $ \left\{\begin{matrix} xy^2(x+2) - y = 2y^2 & \\ -y^2x(x+2) + xy = -2x& \end{matrix}\right.$

Cộng 2 pt cho nhau ta được:

$ xy-y = 2y^2-2x$

$ (x-y)(y+2)=0$
.....
$ S = {(1;1) ; (-1;-1)} $

Giải các phương trình sau 
$\boxed{1}$ $4\sqrt{x^2+2}+\sqrt{22-3x}=x^2+8$
 
$\boxed{2}$ $\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}=x^3-4x+6$

Bài 2: Đk : $x \in [\frac{3}{2};\frac{5}{2}]$
Theo BCS: $VT \leq 2$ ( có thể đạo hàm )
Sử dụng đạo hàm trên khoảng $\in [\frac{3}{2};\frac{5}{2}]$ ta có $VP \geq \frac{27}{8}$
Nên PTVN. Bạn xem thử coi hợp lý không nhé.

Bài 1- trong căn thứ nhất, thì là x hay là $x^2$ thế bạn? Bạn xem lại giùm mình cái đề

Ta có: $\large a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2}\Rightarrow \frac{a^{2}}{a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\geq \frac{2a^{2}}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$
Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng theo vế ta được: 
$\large A\geq \frac{2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$
Mặt khác: $\large 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{2}\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{3}$
Do đó: $\large A\geq \frac{2}{3}$
Dấu = xảy ra khi a=b=c
p/s: Mình sai mất rồi!

$\large a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2}$
Dòng này hình như bị sai chiều bđt, mình nghĩ phải là như vầy..
$\large a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2}$
Nên bài của bạn có vẻ không ổn cho mấy nhỉ ^^

Đây là một bài tương tự vậy, bạn xem thử nhé, ở ví dụ 6
http://diendantoanho...án-khoảng-cách/

1/ Cho x,y,z thuộc R, $x \geq y, x \geq z$, cm:
$\frac{x}{y} + 2\sqrt{1+\frac{y}{z}} + 3\sqrt[3]{1+\frac{z}{x}}$
2/ Cho 0 < a,b,c < 1, x,y,z > 0, $a^x=bc, b^y=ca, c^z=ab$, cm:
$\frac{1}{x+2} + \frac{1}{y+2} + \frac{1}{z+2} \leq \frac{3}{4}$

1/ Cho x,y,z thuộc R, $x \geq y, x \geq z$, cm:
$\frac{x}{y} + 2\sqrt{1+\frac{y}{z}} + 3\sqrt[3]{1+\frac{z}{x}}$
2/ Cho 0 < a,b,c < 1, x,y,z > 0, $a^x=bc, b^y=ca, c^z=ab$, cm:
$\frac{1}{x+2} + \frac{1}{y+2} + \frac{1}{z+2} \leq \frac{3}{4}$

Mình chưa hiểu rõ đoạn này lắm, bạn chỉ mình với.

Áp dụng bđt BCS :
$\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x} \leq \sqrt{(1+1)(2x-3 +5-2x)} = 2$

Vì mình thấy BĐT 2 ''trâu'' quá nên mình trình bày cách khác như sau:

Đặt $a = \dfrac{x}{y}, b = \dfrac{y}{z}, c = \dfrac{z}{x}$ với x, y, z > 0
Ta cần chứng minh:
$\dfrac{x^3}{2yz^2 + yx^2} + \dfrac{y^3}{2zx^2 + y^2z} + \dfrac{z^3}{2xy^2 + xz^2} \geq 1$
Theo BĐT Schwarz:
$\dfrac{x^3}{2yz^2 + yx^2} + \dfrac{y^3}{2zx^2 + y^2z} + \dfrac{z^3}{2xy^2 + xz^2}$

$= \dfrac{x^4}{2xyz^2 + x^3y} + \dfrac{y^4}{2yzx^2 + y^3z} + \dfrac{z^4}{2xzy^2 + z^3x}$
$\geq \dfrac{(x^2 + y^2 + z^2)^2}{2xyz(x + y + z) + x^3y + y^3z + z^3x}$
Ta sẽ chứng minh $(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\geq 2xyz(x+y+z)+x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x (*)$

Thật vậy, dễ thấy $x^{4}+y^{4}+z^{4}\geq x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x$
$2(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2})\geq 2xyz(x+y+z)$

Cộng vế theo vế 2 bđt trên, ta được bđt (*).

Ta có ĐPCM.

Chỗ nào chứng minh sao vậy bạn?
$x^{4}+y^{4}+z^{4}\geq x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x$

$\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}+4x-x^2-6=0$
Chỉ em cách giải với ạ.

Phương trình trên tương đương với
$\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}=x^2-4x+6$
$VT \leq \sqrt{2.2}= 2$
$VT = (x-2)^2+2 \geq 2$
Dấu bằng xảy ra x=2 (nhận)

Cho a,b,c >0, $\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} =3$
Chứng minh $abc \geq \frac{a+b+c}{3}$

Đặt $a=2x$, pt trở thành
$\frac{1}{1+cosa} + \frac{1}{1+cos2a} + \frac{1}{1-cos3a} = 2$
$\Leftrightarrow \frac{1}{1+cosa} + \frac{1}{2cos^2a}+\frac{1}{-4cos^3a+3cosa+1}=2$
Đặt $cosa=X$, ta được $\Leftrightarrow \frac{1}{1+X} + \frac{1}{2X^2}+\frac{1}{-4X^3+3X+1}=2$
Tự giải tiếp nhá!

Cảm ơn anh ạ! Nhưng mà nếu a giải được pt ẩn X trên thì giúp e nốt ạ! ^^ pt bậc 6 nhìn xấu quá...

Giải phương trình
$\frac{1}{1+cos2x} + \frac{1}{1+cos4x} + \frac{1}{1-cos6x} = 2$

Các bạn nhớ 1 bài toán biến đổi đồng nhất như sau. CHo a,b,c là các số dương có tích bằng 1. CMR
$\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1}=1$

Anh có thể làm rõ ra giùm e được không, cảm ơn anh!

Ta có
$$\sum \frac{1}{(a+1)^2+b^2+1} =\sum \frac{1}{(a^2+b^2+2a+2}\le \sum \frac{1}{(2(ab+a+1)}=\frac{1}{2}$$

2 cái cuối, tại sao lại được như vậy ah? $\sum \frac{1}{(2(ab+a+1)}=\frac{1}{2}$

Cho a,b,c > 0, abc=1, chứng minh:
$ \frac{1}{(a+1)^2 + b^2 + 1} + \frac{1}{(c+1)^2 + a^2 + 1} + \frac{1}{(b+1)^2 + c^2 + 1} \leq \frac{1}{2}$