Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân. AB=2CD=2a. I,J,K là trung điểm  của AD, BC, SB.

a)Tìm giao tuyến của (SAB) với (SCD); (IJK) với (SAB).

b)Tìm điểm N là giao của DK và (SIJ)

c)Tính diện tích thiết diện của hình chóp với  (IJK) biết SA=SB=SC=SD=2AD=2a

cosx(1-tanx)(sinx+cosx)=sinx

Cho đường tròn tâm O đường kính AB=10cm. Điểm I nằm giữa A và O sao cho OI=$\frac{2}{3}$AI. Vẽ dây CD vuông góc với OA tại I. Nối AC, BC.

a)CMR $AC^{2}= AI.AB$.

b) Tính CD

c) Gọi H là trung điểm của IC. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với CO cắt CO tại M và cắt đường tròn (O) tại E, F.CMR AB là tiếp tuyến của đường tròn(C;CE)

Cho $\triangle ABC$ có góc B bằng 60 độ. Các hình chiếu vuông góc của AB, AC lên BC theo thứ tự bằng 12cm, 18cm.Tính các góc và đường cao trong $\triangle ABC$

$\triangle ABH$vuông tại H$\Rightarrow \widehat{HAC}= 30^{\circ}$

$\Rightarrow HB= \frac{1}{2}AB$

$\Rightarrow AB= 24cm$

Áp dụng định lí Py-ta-go,ta có

-$AH^{2}+HB^{2}=AB^{2}$

$\Rightarrow AH= \sqrt{AB^{2}-HB^{2}}$

$\Rightarrow AH=12\sqrt{3}$

-$AH^{2}+HC^{2}=AC^{2}$

$\Rightarrow AC=6\sqrt{21}$

Ta có:

sin ACB=$\frac{AH}{AC}= \frac{12\sqrt{3}}{6\sqrt{21}}= \frac{2}{\sqrt{7}}$

$\Rightarrow \widehat{ACB}\approx 49^{\circ}6'$

$\Rightarrow \widehat{BAC}\approx 70^{\circ}54'$

Cho $E\in AC$ của $\triangle$ đều ABC. Đường vuông góc với AB từ E cắt đường vuông góc với BC từ C tại D. Gọi K là trung điểm của AE. Gọi F đối xứng với D qua K. C/m:

a)AF song song DE.

b)$\triangle$ DEC cân

c)$\triangle BAF=\triangle BCD$

d) $\widehat{DBK}= 30^{\circ}$

Cho $\triangle ABC$ vuông tại $\widehat{A}$ (AC>AB) đường cao AH. Trong nửa mặt phẳng bờ AH chứa C, vẽ hình vuông AHKE.

a) C/m $\widehat{B}> 45^{\circ}$.

b) Gọi P là giao điểm của AC và KE. C/m $\triangle ABP$ vuông cân. 

c) Gọi Q là đỉnh thứ 4 của hình bình hành APQB, I là giao điểm của BP và AQ. C/m H,I,E thẳng hàng.

d C/m HE song song với QK

Vì $\triangle ADC=\triangle PCE$( câu b)

$\Rightarrow \widehat{EPC}=\widehat{ACD}$

Mà $\widehat{ACD}+\widehat{ACP}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{EPC}+\widehat{ACP}=90^{\circ}$

$\Rightarrow AC\perp ED$

Vì ABCD là hình bình hành

$\Rightarrow$AD=BC

Mà EC=BC

$\Rightarrow$EC=AD

Gọi $CE\cap AD=\left \{ M \right \}$ ta có:

Vì BC song song với $\Rightarrow \widehat{BCE}+\widehat{AME}= 180^{\circ}$

Mà  $\widehat{BCE}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{AME}=90^{\circ}$

Xét $\triangle$ MDC có 

$\widehat{DMC}=90^{\circ}$

Mà $\widehat{PCD}=\widehat{PCM}+\widehat{DCM}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{MDC}= \widehat{PCM}$

Xét $\triangle$ ADC và$\triangle$ PCE có

AD=EC(cmt)

$\widehat{MDC}= \widehat{PCM}$(cmt)

DC=PC(gt)

$\Rightarrow$ $\triangle$ ADC=$\triangle$ PCE(c.g.c)

a)Xét tứ giác EPFQ có:

CE=CF(gt)

CP=CQ(gt)

$\Rightarrow$ Tứ giác EPFQ là hình bình hành

Trên đoạn thẳng AB lấy C bất kì. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ $\triangle$ đều ACD và $\triangle$ đều BCE. Gọi M, N, P, Q, I lần lượt là trung điểm của AE, CD, BD, CE, DE.
b)Tứ giác MNPQ là hình gì?

Vì MQ là đường trung bình của $\triangle AEC$
$\Rightarrow$ MQ song song với AC
Tương tự
NP song song với CB
$\Rightarrow$ MQ song song Với NP
$\triangle$ DEC có:

DI=IE

DN=NC
$\Rightarrow$ IN là đường trung bình của $\triangle$ DEC

$\Rightarrow IN=\frac{1}{2}EC$

Tương tự $\Rightarrow IP=\frac{1}{2}EB$

Mà EC=EB

$\Rightarrow IP=IN $

$\Rightarrow \triangle INP$ cân tại I

$\Rightarrow \widehat{INP}=\widehat{IPN}$

$\Rightarrow$ MQPN là hình thang cân

Trên đoạn thẳng AB lấy C bất kì. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ $\triangle$ đều ACD và $\triangle$ đều BCE. Gọi M, N, P, Q, I lần lượt là trung điểm của AE, CD, BD, CE, DE.
a)Cm $\triangle IMQ$ đều

Xét $\triangle DEC$ có
DI=IE
EQ=QC
$\Rightarrow$ IQ là Đường trung bình của $\triangle DEC$
$\Rightarrow IQ= \frac{1}{2}DC$
Tương tự
$\Rightarrow MQ= \frac{1}{2}AC$; $IM= \frac{1}{2}DA$
Mà DA=AC=DC
$\Rightarrow $ IM=IQ=MQ
$\Rightarrow$ $\triangle IMQ$ đều

Tính:

a)$3\frac{1}{117}.\frac{1}{119}-\frac{4}{117}.5\frac{118}{119}-\frac{5}{117.119}+\frac{8}{39}$

 

b)$\frac{3}{229}.2\frac{1}{433}-\frac{1}{229}.\frac{432}{433}-\frac{4}{229.433}$

 

c)$2\frac{1}{315}.\frac{1}{651}-\frac{1}{105}.3\frac{650}{651}-\frac{4}{315.651}$

Tìm GTLN, GTNN của:

$B= 3\left | x^{2}-4 \right |-\left ( x-2 \right )^{2}+4$

CMR:

a)$5^{n}\left ( 5^{n}+1 \right )-6^{n}\left ( 3^{n}+2\right )\vdots 91$

b)$\left ( 3^{n+3}-2.3^{n}+2^{n+5}-7.2^{n}\right )\vdots 25$

Cho $a,b,c\in R$ và $a,b,c\neq 0$ thỏa mãn $b^{2}= ac$. CMR:
$\frac{a}{c}= \frac{\left ( a+2005b \right )^{2}}{\left ( b+2005c \right )^{2}}$

Biết $\frac{bz-cy}{a}= \frac{cx-az}{b}= \frac{ay-bx}{c}.CMR \frac{a}{x}= \frac{b}{y}= \frac{c}{z}$

Cho $\triangle ABC$ vuông cân tại A. Giả sử D là điểm bên trong $\triangle ABC$ sao cho $\triangle ABD$ cân và $\widehat{ADB}= 150^{\circ}$. Trên nửa mặt phẳng không chứa D có bờ AC lấy E sao cho $\triangle ACE$ đều. CMR B,D,E thẳng hàng

Cho $\triangle ABC$, từ A hạ các đường vuông góc xuống đường phân giác trong và ngoài của $\widehat{B}$. CMR chân đường của 2 đường vuông góc và các trung điểm của AB, AC thẳng hàng.

Cho tam $\triangle ABC$ nhọn. Kẻ đường cao AH. Lấy D,E sao cho AB là trung trực của HD; AC là trung trực của HE. DE cắt AB tai I; DE cắt AC tại K.CMR:

a)$\widehat{DAE}= 2\widehat{BAC}$ 

b)$\widehat{BDA}+\widehat{CEA}=180^{\circ}$

c)HA là phân giác của$\widehat{IHK}$

d)$IC\perp AB$

e) AH, IC, BK đồng quy

f)Tìm điều kiện của $\triangle ABC$ để DE=2AH

Tìm x,y,z biết:

a)$2x= 3y, 5y= 7z$ và $xyz= 2352$

b)$\frac{x}{2}= \frac{y}{3}= \frac{z}{4}$ và $x^{2}-y^{2}+2z^{2}= 108$

Cho $\triangle ABC$ có AB<AC. Hai trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G. Gọi D là trung điểm của BC.

CM:

a)A,G,D thẳng hàng

b)$BE+CF>\frac{3}{2}BC$

c) Giả sử $BE\perp CF= \left \{ G \right \}$. Biết BE=9cm; CF=12cm.Tính BC,AD

d)Cm $AD<\frac{AB+AC}{2}$

e)$BE< CF$

Cho tam giác ABC($\widehat{A}<90^{\circ}$). Vẽ ra ngoài tam giác đó 2 đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.

a) CMR $DC= BE$; $DC\perp BE$

b)Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối NA lấy M sao cho $AN= MN$.CM: $AB= ME$ và $\Delta ABC=\Delta EMA$

c)CM $MA\perp BC$

Cho tam giác ABC cân tại A có $\widehat{A}=20^{\circ}$. Vẽ tam giác đều BDC ( D nằm trong tam giác ABC). tia phân giác của $\widehat{ABD}$ cắt AC tại M. CM :

a)AD là phân giác của $\widehat{BAC}$

b)AM=BC

Tính hợp lí $1-\frac{1}{10}-\frac{1}{15}-\frac{1}{3}-\frac{1}{28}-\frac{1}{6}-\frac{1}{21}$

#man: a,b,c,d nguyên và dương nhá bạn!