1. Tìm số nguyên n để A=3n^4-4n^3+5n^2-2n+1 là số nguyên tố
 

1. $A=3n^4-4n^3+5n^2-2n+1=(n^2-n+1)(3n^2-n+1)$

25 không chia hết cho 7 mà

Đọc kĩ đi nhé! Là $3^5+5^2$ !

Tiếp tục nào   : 
Bài 14: Chứng minh rằng : 

b) $n^4-14n^3+71n^2-154n+120 \vdots 24$ 
e) $11^{n+2}+12^{2n+1} \vdots 133$ 
 

b) $n^4-14n^3+71n^2-154n+120=(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$ là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên $\vdots 4!=24$

c)$11^{n+2}+12^{2n+1}=11^{n+2}+144^n.12\equiv 11^{n+2}+11^n.12\equiv 11^n(11^2+12)\equiv 133.11^n\equiv 0(mod133)$

  $\Rightarrow$ đpcm

 

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

$\left\{\begin{matrix} p^{3}+1+1\geqslant 3p\\ q^{3}+2\geqslant 3q \end{matrix}\right.$

 

$p,q$ đâu có $>0$ anh?

Đã sửa đề!

Những số nguyên dương nào không thể biểu diễn được thành tổng của 2 hay nhiều số nguyên dương liên tiếp?

sao suy ra được $ab+bc+ca-1\vdots abc$ vậy?

$Q=x^2y^2+6x^2y-2xy^2-12xy+12x^2-24x+3y^2+18y+36=(x^2-x+3)(y^2+6y+12)=[(x-1)^2+2][(y+3)^2+3)]\geq 2.3=6$

Vậy x=1, y=-3

Bạn giải thích thêm về cách tách được không

Mình nhầm, Phải là $(x^2-2x+3)(y^2+6y+12)$

$Q=x^2y^2+6x^2y-2xy^2-12xy+12x^2-24x+3y^2+18y+36=(x^2-x+3)(y^2+6y+12)=[(x-1)^2+2][(y+3)^2+3)]\geq 2.3=6$

Vậy x=1, y=-3

Do BĐT AM-GM đó bạn 

Cauchy-schwarz chứ bạn?

Bài này thì tớ ra rồi!

Đặt $A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\cdots +\frac{1}{2005.2006}$

       $B=\frac{1}{1004.2006}+\frac{1}{1005.2005}+\frac{1}{1006.2004}\cdots +\frac{1}{2006.1004}$

Chứng minh rằng $\frac{A}{B}$ là một số nguyên.

1)Cho các số $x,y$ thỏa mãn điều kiện:  $\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}+\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=k.$

 Tính $\frac{x^8+y^8}{x^8-y^8}+\frac{x^8-y^8}{x^8+y^8}$ theo k.

2) Cho các số thực $a,b,c$ khác nhau và hai số thực $x,y$ thỏa mãn $a^3+ax+y=0;b^3+bx+y=0;c^3+cx+y=0$. Chứng minh rằng: $a+b+c=0$.

1)Cho 2 số $p,q$ thỏa mãn $p^3+q^3=2$. Chứng minh rằng $0<p+q\leq 2$.

2)Cho a,b,c là các số dương tùy ý. CMR:

 $\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}+\frac{ca}{b(b+c)}\geq \frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$.

3)Cho $1\leq a,b\leq 2$. Tìm GTLN và GTNN của : $P=\frac{(a+b)^2}{a^3+b^3}$.

Cho $x,y,z>0$ ;$x+2y+3z\geq 20$. Tìm GTNN của:

      $P=x+y+z+{3\over x}+{9\over2y}+\frac4z.$

thế bạn lam lun đi

Từ GT =>$(x+y)(y+z)(z+x)=0$ =>đpcm

Cho x,y liên hệ với nhau bởi hệ thức: $x^2+2xy+7(x+y)+7y^2+10=0$. Tìm GTLN,GTNN của $S=x+y+1$

Tìm số tự nhiên n để $A=2^8+2^{11}+2^n$ là số chính phương.

Đặt $x^2+1=a(a\geq 1)$

Ta có:

     $A=a^4+9a^3+21a^2-a-30=(a-1)(a+5)(a+2)(a+3)\geq 0\Rightarrow dpcm$

Cho $A=2222^{5555}+5555^{2222}$

Cmr: $A\vdots 7$

$A=2222^{5555}+5555^{2222}=(2222^5)^{1111}+(5555^2)^{1111}\equiv (3^5)^{1111}+(5^2)^{1111}(mod7)$

Mà $(3^5)^{1111}+(5^2)^{1111}\vdots 3^5+5^2\vdots 7$

=>đpcm.

2.

$a+b+c=0\Rightarrow (a+b)^5=c^5 \Rightarrow a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5=-c^5\Rightarrow a^5+b^5+c^5+5ab(a^3+2a^2b+2ab^2+b^3)=0\Rightarrow a^5+b^5+c^5+5ab(a+b)(a^2+ab+b^2)=0\Rightarrow 2(a^5+b^5+c^5)=5abc[(a+b)^2+(a^2+b^2)]=5abc(a^2+b^2+c^2)$

phương trinh Pell như thế nào anh?

Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho $n+1$ và $2n+1$ là các số chính phương thì n là bội số của 24.

Tìm max: $S=a^{2}+ab+b^{2}-3a-3b+2002$

$2S=2a^2+2ab+2b^2-3a-3b+4004=(a+b-1)^2+(a-0,5)^2+(b-0,5)^2+...$

Ở VD1, trang 6 nhầm rồi anh ơi! Phải là 6-x=x-4.