1. Cho x,y,z là ba số thực tùy ý thõa mãn: $ \left\{\begin{matrix} x+y+z=0 \\ -1 \le x,y,z \le 1 \end{matrix}\right. $

Chứng minh rằng: $ x^2+y^4+z^6 \le 2 $. Đẳng thức có xảy ra không ? 

2. Chứng minh rằng: $ \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{2000}}}} <3 $

1. Cho $ a,b,c\in Q $ thõa mãn $ \sqrt{a}-\sqrt{b}=c $. Chứng minh $ \sqrt{a} ; \sqrt{c} $ là số hữu tỉ

2. Cho $ A=\dfrac{1}{\sqrt{1}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{n^2}}           (n\in N, n\ge 2) $

Chứng minh: $ A\notin N $

1. Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh: $ \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}} > 2 $

2. Cho $x\ge 1, y \ge 1 $. Chứng minh: $ x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1} \le xy $

1. Giải phương trình nghiệm nguyên: $ \dfrac{11x}{5}-\sqrt{2x+1}=3y-\sqrt{4y-1}+2 $

2. Tìm $a,b,c \ge 0$ thõa mãn: $ \sqrt{a+b-c}=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c} $

1. Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 13 thì $Q=\dfrac{p^2-1}{24}$ là hợp số.

2. Cho x,y>0 và x+y=1. Chứng minh rằng: $ P=\dfrac{1}{x^3+y^3}+\dfrac{1}{xy} \ge 4+2\sqrt{3} $

3. Cho a,b,c là độ dại 3 cạnh tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng: $$ \dfrac{2}{9} \le a^3+b^3+c^3+3abc < \dfrac{1}{4} $$

Bài 1: Dựng ra ngoài tam giác ABC hai tam giác cân đồng dạng ABE và ACF (AB và AC là hau đáy tam giác cân). Gọi H,K là trực tâm của tam giác ABE và ACF; D là trung điểm BC. Chứng minh $ \Delta DHF \sim \Delta DKE $.

Bài 1: Xét dãy số: $x_1; x_2=\dfrac{1+x_1}{1-x_1}; x_3=\dfrac{1+x_2}{1-x_2}; ... ;x_n=\dfrac{1+x_{n-1}}{1-x_{n-1}} ; x_1 \ne 0 ; x_1\ne \pm 1 $. Chứng minh rằng $ x_{2017}=x_1 $

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $ x^3+x^2+x+1=2003^y $

Bài 3: Cho $ x,y\in Z, y\ne 1 $ sao cho $ \dfrac{x^3+1}{y+1}+\dfrac{y^3+1}{x+1} $ là một số nguyên. Chứng minh rằng $ x^{2016}-1 \vdots y+1 $

Bài 1: Cho $ 0<a,b,c \le 1 $. Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{a+b+c+}\ge \dfrac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c) $

Bài 2: $Cho x\ge y \ge z >0$. Chứng minh rằng: $\dfrac{x^2y}{z}+\dfrac{y^2z}{x}+\dfrac{z^2x}{y}\ge x^2+y^2+z^2 $.

Giả sử M là điểm nằm trong  $\Delta ABC$ nhọn thoã mãn điều kiện $\widehat{MBA}=\widehat{MCA}$. GỌi K, L theo tứ tự là chân đường vuông góc hạ từ M tới AB,AC.

                 1/ Chứng minh rằng hai điểm K và L cách đều trung điểm của cạnh BC.

                 2/ Chứng minh rằng trung tuyến xuất phát từ M của tam giác MKL luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi bên trong tam giác ABC.

1. Tìm $ n \in N$ để $ 5^{2n^2-6n+2}-12$ là số nguyên tố.

2. Tìm a,b,c sao cho $ |ax+by+cz|+|bx+cy+az|+|cx+ay+bz|=|x|+|y|+|z|$ đúng với mọi x,y,z.

1. Cho a,b là các số dương thoã mãn a+b=1.

Tìm GTNN của biểu thức: $T=\dfrac{19}{ab}+\dfrac{6}{a^2+b^2}+2016(a^4+b^4)$

2. Cho x,y thoã mãn: $\left\{\begin{matrix} x>1, y>1\\ x+y\le 4 \end{matrix}\right. $

Tìm GTNN của biểu thức $ P=\dfrac{x^4}{(y-1)^3}+\dfrac{y^4}{(x-1)^3}$

Để A đạt GTNN thì $ |x|-3=-1 \iff x=\pm 2$. Khi đó $ A=-2015 $

$ A= (2x+y-1)^2+(3x-2)^2+2010 \ge 2010 $

Đẳng thức xảy ra $ \iff x=\dfrac{2}{3} ; y=\dfrac{-1}{3} $

Câu 1: Cho tam giác ABC cân tại A, có $\hat{A}=108^o$.Chứng minh rằng $\dfrac{BC}{AC}$ là số vô tỉ.

Câu 2: Tam giác ABC cân tại A, BC = a . Hai điểm M và N lần lượt trên AC và AB sao cho AM = 2MC, AN = 2NB và hai đoạn MN và CN vuông góc với nhau. Tính $S_{ABC}$ theo a.

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Cho x, y là các số thực dương thõa mãn $\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}=2$. Chứng minh rằng $5x^2+y-4xy+y^2 \ge 3$

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.