1/$C^{r+1}_{n+1}=C^{r+1}_{n+1}-C^{r+1}_{n}+C^{r+1}_{n}-C^{r+1}_{n-1}+...+C^{r+1}_{r+1}=\sum^n_{j=r}C^r_{j}$
4/$kC^k_n=\dfrac{kn!}{k!(n-k)!}=nC^{k-1}_{n-1}$
$\Rightarrow \sum^n_{k=1}=n\sum^n_{k=1}C^{k-1}_{n-1}=n2^{n-1}$

Bài này bạn giải bằng chứng minh đại số , cũng tốt , nhưng thử hãy giải bằng chứng minh tổ hợp như mình post ở trên xem sao nào .
Các em THCS đâu rồi nhỉ ? ....

Thừơng thường khi ra 1 bài về chứng minh các công thức tổ hợp thì các bạn học sinh của chúng ta hay (rất hay) sử
dụng các công thức về tổ hợp , chỉnh hợp để chứng minh đẳng thức là đúng mà các bạn hay quên đi các chứng minh tổ hợp rất hay và bổ ích cho những ai muốn đào sâu về phần tóan rời rạc .
Sau đây là 1 ví dụ : Chứng minh hằng đẳng thức Pascal
$C(n+1,k)=C(n,k-1)+C(n,k)$
Đứng trước bài tóan này đa số các bạn đều làm các biến đổi đại số rồi đưa ra kết quả là đẳng thức trên đúng mà không hề biết về chứng minh tập hợp của nó . Ở đây mình sẽ đưa ra chứng minh bằng tập hợp của nó như sau :
Giả sử ta có 1 tập hợp $S$ có $n+1$ phần tử. Gọi $a$ là 1 phần tử nào đó thuộc tập $S$ và $T=S-{a}$. Ta thấy để chọn ra $k$ phần tử trong tập gồm $n+1$ phần tử trên ta có 2 cách chọn :
1. Chọn $k$ phần tử thuộc tập T . Ta có $C(n,k)$ cách chọn .
2. Chọn ra phần tử $a$ trước rồi sau đó chọn $k-1$ phần tử từ tập T . Ta có $C(n,k-1)$ cách chọn .
Áp dụng thêm quy tắc cộng ta có đpcm .

Chứng minh trên , mang lại cho tôi 1 cảm giác hứng thú . Nó không chỉ chứng minh đúng hằng đẳng thức Pascal về mặt đại số mà còn chỉ cho chúng ta các cách để tạo nên tập kết quả . Các cách để tạo ra 1 tập lớn hơn từ các tập thành phần . Không dông dài ở đây nữa , chúng ta sẽ đi qua 1 hằng đẳng thức khác khá quen thuộc mà có lẽ dùng CM Đại số sẽ rối rắm hơn CMTổ Hợp .
HẰNG ĐẲNG THỨC VANDERMONDE
Giả sử $m,n$ và $r$ là các số nguyên không âm sao cho $r$ không vượt quá $m$ hay $n$. Chứng minh rằng :

$C(m+n,r)= \sum\limits_{k=0}^{r} C(m,r-k)C(n,k)$

Chứng minh
Giả sử cho một tập có $m$ phần tử và tập thứ hai có $n$ phần tử . Khi đó tổng số cách
chọn $r$ phần tử từ 2 tập trên là $C(m+n,r)$ . Một cách khác để chọn $r$ phần tử từ hợp
của 2 tập trên là chọn $k$ phần tử $(k=0,1,....,r)$ từ tập thứ nhất và $r-k$ phần tử từ tập thứ 2 . Theo quy tắc nhân , điều này có thể làm bằng $C(m,k).C(n,r-k)$ cách . Vì vậy tổng số cách chọn $r$ phần tử từ hợp của 2 tập hợp là :
$C(m+n,r)= \sum\limits_{k=0}^{r} C(m,r-k)C(n,k)$
Đó chính là hằng đẳng thức Vandermonde.

Tiếp nào , các bạn thấy chứng minh trên còn chỉ ra 2 cách để tạo tập kết quả , thật là đơn giản đúng không nào .
Vậy chúng ta hãy định nghĩa một chứng minh tổ hợp là 1 chứng minh như thế nào ?
Định nghĩa :Một chứng minh tổ hợp là 1 chứng minh dùng các lập luận đếm để chứng minh định lí chứ không phải dùng một phương pháp nào khác , ví dụ như kĩ thuật đại số chẳng hạn.

Định nghĩa thì nhìn đơn giản , nhưng các bạn phải tập làm quen với các lập luận đếm (Quy tắc nhân , Quy tắc cộng ...) để có thể nắm vững các phương pháp chứng minh tổ hợp .
Chúng ta có thể mô hình các bài toán đếm để sử dụng các quy tắc đếm 1 cách dễ dàng hơn . Các bạn hãy xem ví dụ sau sẽ thấy rõ hơn :
Chứng minh rằng trong 1 tập hợp có $n$ phần tử thì số tập hợp con của nó (bao gồm cả tập rỗng) là $2^n$

Chứng minh
Ta giả sử chúng ta có 1 chuỗi nhị phân ( chỉ gồm các chữ số $0,1$) với độ dài $n$. Các bạn hãy để ý nếu tại vị trí thứ $i$ trong chuỗi , nếu phần tử đó thuộc 1 tập con nào đó thì nó sẽ nhận giá trị là $1$ , còn không sẽ có giá trị là $0$ . Vậy với mỗi vị trí chúng ta có 2 cách chọn là $0$ hay $1$ . Chuỗi chúng ta có độ dài là $n$ . Vậy thì áp dụng quy tắc nhân : Số tập con $=2.2....2=2^{n}$ . Đó là điều phải chứng minh .

Từ bài toán trên ta có thể suy ra được bài toán :
Nếu $n$ là 1 số nguyên không âm thì

$\sum\limits_{k=0}^{n}C(n,k)=2^n$

Có thể chứng minh bài toán trên bằng cách dùng định lí nhị thức (gợi ý xem $2^n=(1+1)^n$) .

Bài Tập
1. Cho $r \leq n$ . Chứng minh rằng :
$C(n+1,r+1)=\sum\limits_{j=r}^{n}C(j,r)$.
2.Chứng minh công thức
$C(n,r ).C(n,k)=C(n,k).C(n-k,r-k)$
trong đó $n,r,k$ là các số nguyên ko âm và $r \leq n$ và $k \leq r$
3.Chứng minh :
$\sum\limits_{k=1}^{n}k.C(n,k)^2=n.C(2n-1,n-1)$
4. Chứng minh
$\sum\limits_{k=1}^{n}k.C(n,k)=n.2^{n-1}$
5.Chứng minh rằng :
$\sum\limits_{k=0}^{r}C(n+k,k)=C(n+r+1,r)$


Bạn nào có lời giải thì hãy vào đây post lên nhé

Bài này em có post nhầm đề không đấy ? . Theo anh thì với số đ?#8220;ng xu là 12 thì ta mới có thể cân ra đ?#8220;ng xu giả với ít nhất là 3 lần . Thật ra thì theo phương pháp của Daison (Một nhà vật lý) thì với m là số bi, thỏa điều kiện
$m \leq \dfrac{1}{2}.(3^n-3)$, ta có thể cân ra đ?#8220;ng xu giả với ít nhất là $n$ lần . Daison đã sử dụng hệ tam phân để đánh số các đ?#8220;ng xu , tạo nên sự ưu việt của phương pháp này là :Việc chọn các đ?#8220;ng xu để cân hòan tòan tiến hành theo 1 quy tắc xác định và không phụ thuộc vào kết quả của các lần cân trước đó .
Phần chứng minh anh không post vì dài quá , các em nào quan tâm nên xem cuốn Những vấn đề lí thú trong tóan sơ cấp tập 1

@ Uhm em nói đúng . Anh sơ ý quá . Sry Cả nhà .

Hay qua' di

Ắt hẳn các bạn THCS đã từng làm Qua 2 bài toán sau :
Cho x,y>0.Tìm max $x+sqrt{xy}$ với $x+y=C$(hằng số dương);
Cho x,y,z>0.Tìm max $x+sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}$ với $x+y+z=C$;
Bài tổng Quát :Cho n số dương $a_1,a_2,a_3,a_4,...a_n$.Tìm max $a_1+sqrt{a_2.a_1}+...\sqrt[n]{a_1.a_2...a_n}$


***Lâu quá Không Lên DDTH rùi *

Đi sớm ra ngoải ăn chơi sa đọa mới thấy sướng chứ !Như tui ra ngoải là thi liền! mệt ...

Trường mình thứ tư này cũng sẽ ra Huế nhưng mà chiều 20 mới tới Huế lận. Chắc xa lém

Theo mình thì ko nên xài đệ quy vì dễ bị lỗi tràn vùng nhớ stack .Nên khử đệ quy = 2 vòng lặp repeat thì có lẽ tốt hơn

Bài của Leduc là đề đề nghị cho 30/4 .Cách giải thì cũng như đức mà hình như đặt a=(x+1)..
Nghiệm là $x=\dfrac{sqrt{5}-1}{2}$

Tìm a,b hữu tỉ và thỏa hệ:
$9a^2+16b^2=25$
$a^2+b^2<\dfrac{25}{16}+\dfrac{1}{10}$


=======================================
Ôi tạm biệt môn toán và tạm biệt cả GF yêu quý của tôi ....

Tìm $a,b,c,d$ nguyên dương thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
1) $bd>ad+bc$
2) $(9ac+bd)(ad+bc)=a^2d^2+10abcd+b^2+c^2$

Nghe mấy bác bàn bạc mà tôi buồn thúi ruột . GF của tui thi rớt rùi nên chỉ có mình tui đi Huế chán wá .

Vậy là diễn đàn mình thi 30/4 nhiều nhỉ ???Tiếc là mình "bay" ra khỏi đội toán rùi . Huhu Học dở quá moà

Bài 1 là bài China2007 nhưng thật ra là có nguồn gốc từ MO của Viet Nam nó đã là một bài kinh điển .
Nếu ta đặt $\sqrt{\dfrac{ab}{c}}=x,\sqrt{\dfrac{bc}{a}}=y,\sqrt{\dfrac{ca}{b}}=z$.Thì BDT cần CM tương đương :
$x+y+z \geq xy+yz+zx$Với điều kiện $xy+yz+zx+xyz=4$.Đến đây là dễ rồi

Cho $a,b,c,d$nguyên dương :
$ad=b^2+bc+c^2$.Chứng minh rằng :
$a^2+b^2+c^2+d^2$ko là số nguyên tố

Tìm số n và x nguyên sao cho :
$n^2+n+1=1995x^{131991}$
PS:1/3/1991 là ngày sinh của tớ

1/$m_a^2+m_b^2+m_c^2 \leq \dfrac{27}{4}R^2$
2/$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+4abc \geq \dfrac{13(a+b+c)^3}{27}$
Chú ý : Bài 2 nên giải bằng lượng giác
3/$\sum \dfrac{l_al_bl_c}{pr_c(a+b)} \geq \dfrac{3}{4}$
Tui đánh nhầm đề . Đã sửa lại rồi đó

Uhm . Không biết đề năm nay có dễ như năm ngoái không nhỉ ?????

Hay thật nhưng tôi post bài này là còn muốn 1 cách giải khác nữa cơ ??(gợi ý cách của tôi là dùng lượng giác)
Không ai làm à ????.Vậy thì tôi sẽ làm vậy :
Ta có BDT cần cm tương đương với :
$3p(p^2-3r^2-6R.r+6R.r) \geq 4p(p^2-r^2-4R.r)$
$p^2 \geq 16R.r-5r^2$
BDT trên đúng vì nó là BDT Gerretsen :$r(16R-r) \leq p^2 \leq 4R^2+4R.r+3r^2$

Sao không ai làm bài của mình thế nhỉ ???Gợi ý các bạn là kẻ đường cao AH đó

Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác . Chứng minh rằng :
$\dfrac{3}{2}(a^3+b^3+c^3+3abc) \leq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$

Chứng minh rằng ;
1/$p^2 \geq 3r^2+12rR$
2$p^2+5r^2 \geq 16R.r$
3/$8R^2 \geq p^2+r^2+2R.r$

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng :

$16S \geq 3a^2+2b^2+2c^2$
Tổng quát thử xem ???

Các bạn thâm mến , Kì thi Olympic 30/4 đã gần kề chúng ta hãy cùng nhau cho biết danh sách các học sinh đi
thi olimpic của trường mình nhé (để tiện việc làm wen đó mà ):
1/Trường THPTThành phố Cao Lãnh :(Môn toán ):
1/Mã Chí Hiếu

2/ Nguyễn Đức Tuấn (t_toan)

Vậy thì các bác hãy thử sửa hệ số $\dfrac{3}{4}$ lại xem để ta có cái vế phải thành 1 đẳng thức thì sẽ chế được thêm nhiều bài hay lắm đó . Sau đây là vài bài :
1/$p^2 \geq 3r^2+12Rr$
2/$9R^2 \geq a^2+b^2+c^2$
3/$p^2+r^2 \geq 14R.r$