Cho tam giác ABC có góc A tù nội tiếp (O),ngoại tiếp (I). P,Q thuộc O sao cho BP vuông góc BI, CQ vuông góc CI. BP cắt AC tại E, CQ cắt AB tại F. Chứng minh OI vuông góc với EF

Cho tam giác ABC nội tiếp (O). L là điểm Lemoine của tam giác ABC.Các đường thẳng qua L song song với BC,CA,AB cắt các cạnh AB,BC,CA tạo thành 6 điểm. Chứng minh rằng 6 điểm này cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm của OL.

Nếu mà chứng minh được (KEF) tiếp xúc với (O) thì sau đó dùng phép nghịch đảo cực K phương tích KA^2 chứng minh được luôn EF tiếp xúc với (AMN) !

Tìm tất cả các tập hợp $X$ là tập con của tập số nguyên dương thỏa mãn các tính chất: $X$ chứa ít nhất $2$ phần tử và với mọi m,n thuộc $X$,$m<n$ thì tồn tại $k$ thuộc $X$ sao cho $n=mk^2$

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

i) $f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R};$

ii) $f(x^{2013})=(f(x))^{2013},\forall x,y\in \mathbb{R}.$

Bài 2: Đặt Q(x)=P(x)- 2x

Khi đó biến đổi ta có x(x+2)Q(x+1) = (x+1)(x+3)Q(x)
Từ đây dễ rồi.

Chém bài hình nào!

a) Kẻ IG vuông góc với AS. IG cắt EF tại H'.
Có các tứ giác AGFI,AGIE nội tiếp. Từ đó dễ thấy GH' là phân giác EGF. Suy ra G(SH'FE)=-1
Mà (SHFE)=-1 nên H trùng H'. Từ đó có đpcm
b) Ta chứng minh G thuộc (O)
Thật vậy:
Dễ thấy HD là phân giác BHC. Từ đó 2 tam giác BFH và CHE đồng dạng suy ra FH/EH=BF/CE
Mà FH/EH= GF/GE nên FG/FB=EG/EC
Từ đó GFB đồng dạng GEC. Từ đó AGBC nội tiếp hay G thuộc (O)
Suy ra SG.SA=SE.SF
Nên S thuộc trục đẳng phương của (O) và (M) hay S thuộc XY
Ta chứng minh X,Y,Z,T thẳng hàng như sau:
Có ZTD=EFZ, IDT= HDF nên ID vuông góc ZT. Mà ID vuông góc BC nên ZT song song BC.
Mặt khác BC song song XY do cùng vuông góc OM
Vậy X,Y,Z,T thẳng hàng hay ta có đpcm.

Ừ. Như nhau mà.

Bài 6: Dễ thấy 2 thuộc S
Giả sử m lẻ lớn nhất thuộc S thì m+2 thuộc S (vô lý)
Nên S toàn số chẵn
Gọi n là số chẵn nhỏ nhất thuộc S thì $\frac{n+2}{2}$ thuộc S
Dễ thấy n=1 (vô lý)
Vậy S={2}
Cách lời giải dài quá em ơi!

Bài 1 sử dụng tính chất trục đẳng phương. Gọi J là tâm đường tròn Euler của tam giác ABC. Sau đó dễ dàng chứng minh được P,R có cùng phương tích với (O) và (J) , từ đó có đpcm.

Liệu bài này còn cách khác mà không dùng số phức ko ?

Điểm Fermat-Torricelli hay sao ý ạ, bạn lên mạng search nhé!

Giải thích dùm mình chỗ dây cung cùng màu liên quan tới 3 điểm cùng màu, mình ko hiễu chỗ đó

Dùng Nguyên lí Dirichlet đó bạn!

Cho k là một số nguyên dương và dãy số $(u_{n})$ được xác định bởi công thức:

$u_{1}=3, u_{n+1}=u_{n}+4n+2 \forall n\geq 1$

Tìm giới hạn $\frac{\sqrt{u_{n}}+\sqrt{u_{4n}}+...+\sqrt{u_{4^{k}n}}}{\sqrt{u_{n}}+\sqrt{u_{2n}}+...+\sqrt{u_{2^{k}n}}}$

Cho a,b,c dương thỏa mãn $a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}=3$

Chứng minh : $\sqrt{\frac{a+b^{2}c}{2}}+\sqrt{\frac{b+c^{2}a}{2}}+\sqrt{\frac{c+a^{2}b}{2}}\leq \frac{3}{abc}$

Cho tam giác ABC vuông tại C, đường cao CD. X là 1 điểm thuộc đoạn CD.K,L lần lượt thuộc đoạn AX,BX sao cho BK=BC,AL=AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DKL cắt AB tại điểm thứ 2 là T. Chứng minh rằng góc ACT bằng góc BCT.

Đó mới chỉ xét trong TH ước của 2016 và 2 và 1008, thế còn (4,504),(8,252)........

Bài này ta có thể sử dung bất biến để giải và đáp án là không thể có 2 số đó nhé . ( xét số dư cho 3)

Sao lại (1,2017)???

Bài 8: Giải phương trình: $x^{2}-x-1=\sqrt{8x+1}$

Bài 9:  Cho x,y là các số hữu tỉ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+(\frac{xy+1}{x+y})^{2}=2$. CMR:  $\sqrt{1+xy}$ là số hữu tỉ.

Bài 10: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}-1}{y}+\frac{y^{2}-1}{x}=3 & \\ & x^{2}-y^{2}+\frac{12}{x}=9 \end{matrix}\right.$

Bài 11: (Thi vào lớp 10 PTNK 2016-2017): Tam giác ABC nhọn có góc BAC > $45^{0}$. Dựng các hình vuông ABMN,ACPQ (M,C khác phía đối với AB, B và Q khác phía đối với AC). AQ cắt đoạn BM tại E và NA cắt đoạn CP tại F.

a) CMR: tam giác ABE và ACF đồng dạng và tứ giác EFQN là tứ giác nội tiếp

b) CMR trung điểm I của EF là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

c) MN cắt PQ tại D, các đường tròn ngoại tiếp tam giác DMQ,DNP cắt nhau tại K khác D, các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại B,C cắt nhau tại J. CMR: D,A,K,J thẳng hàng

Bài 12:Trên bảng có ghi 2 số 1 và 5. Ta ghi các số tiếp theo trên bảng theo quy tắc sau: Nếu có 2 số x,y phân biệt ta ghi thêm số z=x+y+xy. Hỏi theo quy tắc đó ta có nhận được các số 2015 và $2015^{2014}$ hay không?

Bài 6: Giải hpt

     $\left\{\begin{matrix} x^{3}-2y^{3}=x+4y& \\ 6x^{2}-19xy+15y^{2}=1 & \end{matrix}\right.$

Bài 7: Với x,y$\in$R⁺ thỏa mãn xy>2013x+2014y chứng minh:

                    x+y$> (\sqrt{2013}+2014)^{2}$ 

Gợi ý 2 bài của Đạt cho mấy bạn lớp 9 luôn nhé  ( đây cũng là 2 bài trong đề tuyển sinh vào lớp 10 ĐHSPHN 2013-2014)

Bài 6: Nhân chéo 2 vế của 2 phương trình đã cho ta sẽ thu được 1 phương trình đồng bậc ( bậc của mỗi số hạng đều là 3). Sau đó có thể phân tích thành nhân tử hoặc chia cả 2 vế cho y^3 rồi đặt ẩn phụ t=x/y

Bài 7:  Hình như phải là $x+y> (\sqrt{2013}+\sqrt{2014})^{2}$ chứ

Em có một bài ủng hộ topic: Nguồn: ST
Với n là số nguyên dương, một tập con của tập {1;2;...;n} được gọi là tốt nếu sau khi ta sắp xếp thứ tự tăng dần các phần tử của nó thì thu được các số lẻ, chẵn, lẻ, ... theo thứ tự.
Ví dụ các tập con {1;4;5;6} ,{3;4;7} , tập rỗng là các tập con tốt. Tập {2;3;4;7} không là tập con tốt do nó bắt đầu bằng số chẵn. Tìm số tập con tốt của tập {1;2;3;...;n}

Chắc bây giờ hết thời hạn gửi bài rồi nhỉ?

Đáp án là 46 mới đúng bạn à? Mình cũng chưa biết cách giải!

Cho bảng hình vuông 9x9 . Hỏi phải tô màu đỏ ít nhất bao nhiêu ô vuông đơn vị để ta luôn chọn được một hình vuông 2x2 có chứa ít nhất 3 ô được tô màu đỏ.