Mình nghĩ đề phải là : $\left\{\begin{matrix} x^{3}y+2y=3 & \\y^{3}(3x-2)=1 & \end{matrix}\right.$

Xét y=0 =>loại

Xét $y\neq 0\Rightarrow Pt (1)<=>x^{3}+2=\frac{3}{y}$(*)

Pt (2)<=>$3x-2= \frac{1}{y^{3}}$(**)

Cộng (*) và (**) ta được: $x^{3}+3x=\frac{1}{y^{3}}+\frac{3}{y}$

=>$x=\frac{1}{y}$=>Thay vào pt (2) =>...

Tiếc là bạn đã hiểu sai ý mình

Mình dùng bất đẳng thức $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{8}{(a+b)^2}$ chứ không phải $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$

Cái bất đẳng thức của bạn sẽ đúng với $b^{2}+4ab+a^{2}\geq 0$ nhưng ở đây bạn chưa chỉ ra cái gì cả. 

Bạn xem lại đi, chỗ đó đúng rồi

Với cả đề bài yêu cầu tìm Min sao bạn lại tìm Max?

Mình đánh nhầm đã chữa

Ở chỗ mình chỉ ra hình như bạn định dùng bđt : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$

Ở mẫu sẽ được là : $(a+1)^{2}+(\frac{b}{2}+1)^{2}$ $\geq (a+\frac{b}{2}+2)^{2}$/2 nhưng lại ngược dấu

Có 

$P=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{4}{(b+2)^2}=\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(\frac{b}{2}+1)^2}\geq \frac{8}{(a+\frac{b}{2}+2)^2}$

 

Ngược dấu rồi bạn ơi .

Ta có :$(a-b+1)^{2}\geq 0=>a^{2}+b^{2}+1\geq 2ab+2b-2a=>3b\geq 2ab+2b-2a$

=>$2a+b\geq 2ab$(1)

Mà $2a+b\leq 4$(Chứng minh như bạn trên)

Ta có:A= $\frac{1}{(a+1)^{2}}+ \frac{4}{(b+2)^{2}}\geq \frac{4}{(a+1)(b+2)}$=$\frac{4}{ab+b+2a+2}$

Mà $2ab\leq 2a+b$=> $ab+b+2a+2\leq \frac{b+2a}{2}+b+2a+2\leq 8$

=>$A\geq \frac{1}{2}$

Dấu"="xảy ra khi a=1 ; b=2.

Với các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c= 1$

Liệu ta có thể có được $ab+bc+ca \geq \frac{1}{4}$

Thay a=5/6 ; b=1/12; c=1/12 vào là thấy không được liền 

Ta có: $x^{2}(y-z)^{2}=(1-y^{2}-z^{2})(y-z)^{2}=(y-z)^{2}-(y^{2}+z^{2})(y-z)^{2}$

$\leq (y-z)^{2}-\frac{(y^{2}-z^{2})^{2}}{2}$

=>$\sum x^{2}(y-z)^{2}\leq \sum (y-z)^{2}-\sum\frac{(y^{2}-z^{2})^{2}}{2}$

Mà $\sum (y^{2}-z^{2})^{2}\geq 0$

$\sum (y-z)^{2}=(\sum 2y^{2}-\sum2yz )$=$2-2yz=>P\leq \sum xy+\frac{1}{2}(2-2\sum xy)=1$

Áp dụng định lý fermat nhỏ ta có:

$a^{6}\equiv 1 (mod 7) do (a,7)=1$

=>$(a^{6})^{10}\equiv 1 (mod 7)=>a^{60}-1\equiv 0(mod 7)$(1)

$a^{10}\equiv 1(mod 11)=>(a^{10})^{6}-1\equiv 0(mod 11)$(2)

$Từ (1)$ và $(2)$=>ĐPCM

Ta có : $a^{5}+243+243+243+243\geq 405a$

=> $\sum (a^{5}+ 243+243 + 243 +243)\geq 405\sum a =>a+b+c\leq 9$

Dễ dàng chứng minh được $abc\leq 27$

$\frac{a^{6}}{bc}+\frac{a^{4}}{\frac{a}{3}}\geq 2\frac{a^{5}}{\sqrt{\frac{abc}{3}}}$

$=>\sum (\frac{a^{6}}{bc}+ \frac{a^{4}}{\frac{a}{3}})\geq 486$

Ta đi C/m: $\sum \frac{a^{4}}{\frac{a}{3}}\leq 243 hay C/m: \sum a^{3}\leq 81$

Có: $(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}\leq (a^{5}+b^{5}+c^{5})(a+b+c)\leq 6561 =>a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 81=>ĐPCM$

$x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}= x+ \sqrt{\frac{x}{2}2y}+\sqrt[3]{\frac{x}{4}y4z} \leq x+ \frac{x}{4}+y+ \frac{x}{12}+\frac{y}{3}+ \frac{4z}{3}=\frac{4}{3}(x+y+z)\doteq \frac{4}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi x=4y=16z =>....

Ta có : Pt<=>$\sum$ ($1-\frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}$)$\leq 3$

$<=> \sum \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\leq 3$

Ta có : $(a^{5}+ b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}$

$(b^{5}+c^{2}+a^{2})(\frac{1}{b}+c^{2}+a^{2})\geq (a+b+c)^{2}$

$(c^{5} + a^{2}+ b^{2})(\frac{1}{c}+a^{2}+b^{2})\geq (a+b+c)^{2}$

=>$\sum \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\leq \sum \frac{\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Ta sẽ C/m: $\sum \frac{\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq 3$ hay C/m: $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Mà $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq bc+ac+ab(Do abc\geq 1)$=>C/m: $ab+bc+ac\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}(luôn đúng)$

=>ĐPCM. Dấu"=" xảy ra khi a=b=c=1

Đã giải ở đây http://diendantoanhoc.net/topic/66794-cmr-n%E1%BA%BFu-ab-th%E1%BB%8Fa-man-a2-3ab2b2a-ba2-2abb2-5a7b0-thi-ab-12a15b0/

Xét $y> x\geq 0$ ta có: $x-\sqrt{y}<x-$\sqrt{x}$=> 1<x- $\sqrt{x}$=> 1<$x-(z-1)$(Do $\sqrt{x}$ =z-1)

=>$x>z$=>$\sqrt{x}>\sqrt{z}$=>z-$\sqrt{x}$ <z-$\sqrt{z}$=>1<z-$\sqrt{z}$

=>$z-\sqrt{z}=z-(y-1)>1 => z>y$ (Vô lý do y>x>z)

Tương tự ta sẽ C/m được y<x vô lý => y=x

Tương tự ta sẽ được x=y=z.

Mà hình như vô nghiệm thì phải. 

Bài của bạn  Element hero Neos sai ở chỗ: Chỉ xét 1 TH pt: 

 $(a^2-a-1)(a^6+a^5-2a^4-a^3+a^2+1)=0$

Cái này biến đổi tương đương thui

Pt<=>$\frac{(a-b)^{2}}{3}.\frac{a+b}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 0 (luôn đúng do a,b \geq 0)$

Ta có : $\sqrt{x^{2}+1}=\sqrt{x^{2}+xy+yz+xz}=\sqrt{(x+y)(x+z)}$

=>$\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\sqrt{\frac{x^{2}}{(x+y)(x+z)}}$

$\sqrt{\frac{x^{2}}{(x+y)(y+z)}}=\sqrt{\frac{x}{x+y}}.\sqrt{\frac{x}{x+z}}$$\leq \frac{x}{2(x+y)}+ \frac{x}{2(x+z)}$

Tương tự : $\frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}}\leq$$\frac{y}{2(y+x)}+\frac{y}{2(y+z)}$

$\sqrt{\frac{z}{z^{2}+1}}\leq \frac{z}{2(x+z)}+ \frac{z}{2(z+y)}$

Cộng lại ta được điều phải chứng minh

Bạn ơi tại sao ở phương trình 1 bạn biết là đặt ẩn y+3 ?

 

Đặt$\sqrt{4x+7}=a+n=>4x+7 =a^{2}+2an+n^{2}$ =>

$a^{2}= 4x-2an-(n^{2}-7)$

Và $x^{2}+4x+8 =2(a+n) hay x^{2}= 2a-4x-(-2n+8)$

Ta đoán rằng để đưa về hệ pt đối xứng loại 2 thì 

$-2n+8= n^{2}-7$ hay $(n-3)(n+5)=0$

<=>$n=3 hoặc n=-5$. Cả hai n đều thoả mãn

 

Bài 2: $\left\{\begin{matrix}7x^{3}+y^{3}+3xy(x-y)-12x^{2}+6x=1 \\ \sqrt{4x+3y+1}+\sqrt{3x+2y}=4\end{matrix}\right.$

 

(1)<=> $y^{3}-x^{3} + 3xy(x-y)+8x^{3}-12x^{2}+6x-1=0 <=>

(y-x)^{3} + (2x-1)^{3}=0

<=> $\left\{\begin{matrix} y-x+2x-1=0 & \\ y-x=2x-1=0 & \end{matrix}\right.$(a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}+ab+b^{2}))

<=>$\left\{\begin{matrix} y+x-1=0 & \\ y=x=\frac{1}{2}(thử lại ) & \end{matrix}\right.$

Sau đó thay vào là được 

chuyển -20 sang là thành cộng rồi -16/9 là phải là -164/9 nha 

Lạy thánh     

$4x^{2}-12xy+9y^{2}-(9y^{2}-8y+\frac{16}{9})=-20 -(\frac{16}{9}) <=>(2x-3y)^{2}-(3y-\frac{4}{3})^{2}=\frac{-196}{9}$

Bài này có rùi: http://diendantoanho...n-la-số-nguyen/

3xy-5=x^2+2y<=> 4x^2-12xy+9y^2-9y^2+8y-16/9=-164/9<=> (2x-3y)^2-(3y-4/3)^2=164/9=>(6x-9y)^2-(9y-4)^2=164 <=> (6x-4)(6x-18y+4)=164=>(3x-2)(3x-9y+2)=41= +-1.+-41 đưa về hpt để giải ra

Là -196/9 nha bạn. 

Ta có pt <=>$x^{2}-3xy+(2y+5)$

Đây là phương trình bậc 2 đối với x.

$\Delta =9y^{2}-4(2y+5)=9y^{2}-8y-20.$

Dễ dàng nhận ra phương trình có nghiệm khi $9y^{2}-8y-20 =a^{2}(a\in \mathbb{N})$

$<=> (9y)^{2}-72y-180=a^{2}$

$<=>(9y-4)^{2} =a^{2}+196$

$<=>(9y-4-a)(9y-4+a)=196$

Ta xét các trường hợp $(1;196);(2;98);(4;49);(7;28);(14;14)$ và lưu ý là: $9y-4-a\leq 9y-4+a$

Giải phương trình (bằng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại hai):

 

$3/ (x-1)^{2} = 3\sqrt{x-3}$

Đặt $\sqrt{x-3}=(a-1)(a\geq 1) => x-3=a^{2}-2a+1=> a^{2}=x+2a-4$

Và :$x^{2}-2x+1=3(a-1)hay x^{2}=3a+2x-4$

Ta có hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} a^{2}=x+2a-4(1) & \\x^{2} =3a+2x-4(2) & \end{matrix}\right.$

Lấy (1)-(2) ta được : $(a-x)(a+x)=-(a+x) <=>(a+x)(a-x+1)=0$

=>......

Giải phương trình (bằng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại hai):

 

$1/ x^{2} + 4x + 8 = 2\sqrt{4x+7}$

 

Mấy bạn lưu ý đây là cách đặt ẩn phụ rồi đưa ra hệ phương trình đối xứng loại 2 nha .

có ở đây nha bạn http://k2pi.net.vn/s...frac-7-2x-2-6-x

Từ điều kiện dễ dàng c/m được : $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3;ab+bc+ac\leq 3$

$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ac=3(a+b+c)^{2}-5(ab+bc+ac)=12 =>a+b+c\leq 3$

P=$\frac{(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ac)}{a+b+c}+ab+bc+ac$

=$(a+b+c)+$(ab+bc+ac)(1-\frac{2}{a+b+c})$

Ta có: $a+b+c\leq 3; (ab+bc+ac)(1-\frac{2}{a+b+c})\leq 3(1-\frac{2}{3})=1$

=>$P\leq 4$

$x^{2}+y^{2}\geq 2xy =>xy\leq \frac{1}{2}$

$=>-2xy \geq -1$ và xy+1$ \leq$ \frac{3}{2}$

=>$A\geq \frac{-1}{\frac{3}{2}}= \frac{-2}{3}$

Dấu"=" xảy ra khi x=y