Tìm số cách chia n kẹo cho k người sao cho số kẹo của k người đôi một khác nhau.

P/s: Đây là bài mở rộng từ chia kẹo euler nhưng em vẫn chưa nghĩ ra, mong mọi người giúp đỡ

Bạn đã tìm x,y cụ thể và thay vào điều kiện chưa?

Với tổng và tích như thế thì bạn có pt bậc 2 2 nghiệm dương phân biệt(dễ dàng chứng minh)

Gọi $S(n)$ là tổng các chữ số của số tự nhiên $n$

Chứng minh rằng nếu $x>y$ thì $x-S(x)$$\geq y-S(y)$

Bài 1: Không mất tính tổng quát giả sử $a>b>c$

Ta có: $a^2+b^2+c^2$$=\frac{(a+b+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3}$

                                    $\geq \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3}$

Đặt $x=a-b$,$y=b-c$ .Ta có:

$VT $$\geq \frac{1}{3}(x^2+y^2+(x+y)^2)$$(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2})$

        $\geq \frac{1}{3}(\frac{(x+y)^2}{2}+(x+y)^2)$$(\frac{8}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+y)^2})=\frac{9}{2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$$ b=a+c=0$ 

Mình nghĩ nếu đổi thành $\frac{2^{p-1}-1}{p}$ thì bài toán sẽ hay và khó hơn

Tìm 12 số nguyên liên tiếp sao cho tích của chúng là số chính phương.

Nguồn:Phạm Đức

Em nghĩ thảo luận về c++ hợp lý hơn

với n=3;9;27;... đề sai

mình nhầm.2^n-1 nhé.

Cảm ơn vì đã góp ý

Cho số nguyên dương n>2.Chứng minh rằng:$2^n -1$ không chia hết cho n

Cho 2 số nguyên dương a,b thỏa mãn:$b+1|a^2+1$ và  $a+1|b^2+1$.Chứng minh rằng:a,b đều lẻ

Cho $\Delta ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$. Trung tuyến $AM$ cắt $(I)$ tại $K$ và $L$.Các đường thẳng đi qua $K$, $L$ song song với $BC$ cắt $(I)$ tại $X,Y.AX,AY$ cắt $BC$ tại $P,Q.$ Chứng minh rằng $BP=CQ.$

Cho tam giác $ABC$ có $M$ trung điểm $BC$,phân giác ngoài của $\angle BAC$ cắt $BC$ ở $D$.Gọi$(ADM)\cap AB,AC=E,F\not\equiv A$.$N$ là trung điểm $EF$.Chứng minh rằng:$MN//AD$

Nguồn:Facebook

Tìm số cách đảo chữ từ từ KHANHTHANH sao cho ko có hai chữ cái giống nhau đứng cạnh nhau

Ây dà; làm bài 6 nào

+)Nếu $\left|S \right|\geq 2$

Ta đặt $i=i'.(i;j);j=j'.(i;j)$ với $i;j$ bất kì thuộc $S$ sao cho $i\neq j$

Ta có $\frac{i+j}{(i;j)}=i'+j'$

Dễ dàng chứng minh được $(i'+j';i)=1$

Từ đó ta có $\frac{i'+j'}{(i'+j';j)}=i+i'+j'$ cũng thuộc $S$

mà ta lại có được $(i+i'+j;i)=1$ nên tương tự như trên; ta suy ra $2i+j'+i'$ thuộc $S$

Làm liên tục như vậy; ta có $ni+j'+i'$ cũng thuộc $S$ với mọi $n\in \mathbb{N^*}$ nên $S$ có vô hạn phần tử (vô lý)

Do  đó $S$ chỉ có 1 phần tử; giả sử là $x$

theo giả thiết; ta thấy rằng $\frac{x+x}{(x;x)}=2$ cũng thuộc $S$ nên $x=2$

Vậy tập hợp $S$ cần tìm là $S=\left\{2\right\}$

Sao lại thế???mình ko hiểu

Bài bất ngày 1:Vì $a\geq b\geq c\geq 0$ nên ta có:

$2ab+5ac+8bc\leq 5(ab+bc+ca)$

Đặt $a+b+c=x$.Ta có:

$P \leq \frac{5}{2}(x^2-3)+\frac{15}{x}$

Ta cần chứng minh:

$\frac{5}{2}(x^2-3) + \frac{15}{x}\leq 20$

$\Leftrightarrow  \frac{(x-3)(x^2+3x-2)}{x} \leq 0$

(luôn đúng vì $\sqrt{3}\leq x\leq 3$)

Nên  $P_{max}=20$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Giả sử $x \geqslant y \geqslant z$ và đặt $t=\frac{y+z}2$ thì $x\geqslant t \geqslant 1.$ Xét $f(x,y,z)$ là hiệu của vế phải và vế trái, từ bổ đề

\[(y^2+1)(z^2+1) \leqslant \left[1+\left(\frac{y+z}{2}\right)^2 \right]^2,\]

ta chứng minh được $f(x,y,z) \geqslant f(x,t,t).$

 

Bây giờ ta sẽ chứng minh $f(x,t,t) \geqslant 0,$ bất đẳng thức này tương đương với

\[1+{{\left( \frac{x+2t}{3} \right)}^{2}}-\sqrt[3]{({{x}^{2}}+1){{({{y}^{2}}+1)}^{2}}}\ge 0,\]

hay là

$${{\left[ {{(x+2t)}^{2}}+9 \right]}^{3}}-729({{x}^{2}}+1){{({{t}^{2}}+1)}^{2}}\ge 0,$$

hoặc

\[\underbrace{\big[{{x}^{4}}+14{{x}^{3}}t+(87{{t}^{2}}+27){{x}^{2}}+(320{{t}^{3}}+270t)x+64{{t}^{4}}-297{{t}^{2}}-486\big]}_{P}(x-t)^2 \geqslant 0.\]

Chú ý rằng

\[\begin{aligned}P=&\left[320t^3+(87x+87)t^2+(14x^2+14x)t+x^3+x^2+28x+312\right] (x-1)\\&+(64t^3+384t^2+174t+284x+174)(t-1) \geqslant 0.\end{aligned}\]

Nên ta có điều phải chứng minh.

Chỗ y đấy phải là t chứ ạ.

Em đóng góp thế thôi,chứ cách giải của anh cũng rất hay.

Cho các các số thực a,b,c thỏa mãn $min(ab,bc,ca)\geq 1$.

Chứng minh rằng:$\sqrt[3]{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\leq (\frac{a+b+c}{3})^2 +1$

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x,n) để $x^{n+1}+2^{n+1}+1\vdots x^n +2^n+1$

Cho tứ giác ABCD có AD=DC=CB.Biết góc C=130,góc D=110.Tính số đo hai góc còn lại của tứ giác

Cho một vòng tròn (O) và đường kính: AB. Trên vòng tròn (O) lấy một điểm C để AC> BC. Các tiếp tuyến tại A và C của (O) cắt nhau tại D. BD cắt đường tròn (O) tại E. CH vuông góc với AB tại H. I là giao điểm của DH và AE. Tiếp tuyến tại E của (O) giao cắt AD tại M. Chứng minh rằng 3 điểm M, I, C nằm trong cùng một đường thẳng.

Nguồn:AoPs

Cho đường tròn(O) có đường kính AB.I là điểm bất kỳ trên đoạn AB.Dây PQ vuông góc với AB tại I.M thuộc đoạn PQ.AM,BM cắt (O) tại điểm thứ hai là C;D.CD cắt AB tại K.Chứng minh rằng:KP;KQ là tiếp tuyến của (O) 

 

 

 

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=1$

 

P/s không biết VMFer nào thi KHTN ko nhỉ ?

mình thi bạn ơi=)))

Sao bạn phân tich dc cái này v 

$\Rightarrow (a+b-2c)(a+b+6c)=(a-b)^2$Y

Có a-b là số nguyên tố thì đây chỉ là ý tưởng tự nhiên thôi:)))

Cho$\Delta ABC và điểm M$ thỏa mãn $\angle MAB=10;\angle MBA=20;\angle MCA=30;\angle MAC=40$

Tính $\angle MBC$

Chứng minh rằng trong 2007 số tự nhiên bất kỳ có tổng 1 hoặc một số số chia hết cho 2007