Dùng partition function:

$Q(90, 3) = P(90 - C^2_3, 3) = \text{round}\left(\frac{87 ^ 2}{12}\right) = 631$

Tham khảo thêm tại:

http://mathworld.wol...nFunctionQ.html

1, $x^{2}+\sqrt{(1-x^{2})^{3}} =2x\sqrt{1-x^{2}}$

2, $\sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}}.\left ( \sqrt{(1-x)^{3}}- \right\sqrt{(1+x)^{3}} ) =2+\sqrt{1-x^{2}}$

3, $\sqrt{1-x}-2x\sqrt{1-x^{2}}-2x^{2}+1=0$

4, $64x^{6}-112x^{4}+56x^{2}-7=2\sqrt{1-x^{2}}$

5, $x+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{35}{12}$

6, $(x-3)(x+1)+4(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}=-3$

Câu 4:Do ĐK: $-1\leq x\leq 1$ nên ta có thể đặt: $x=\cos a$ với $a \in [0;\pi]$

PT $\Leftrightarrow 2(32\cos ^6a-48\cos^4a+18\cos^2a-1)-2(8\cos^4a-8\cos^2a+1)+2(2\cos^2a-1)-1=2\sin a$

$\Leftrightarrow 2\cos 6a-2\cos 4a+2\cos 2a-1=2\sin a$

$\Leftrightarrow \cos 6a -1/2=\cos 4a -\cos 2a + \sin a$

$\Leftrightarrow 2(1/4-\sin^2 3a)=\sin a(1-2\sin 3a)$

$\Leftrightarrow (1-2\sin 3a)(1/2+\sin 3a)=\sin a(1-2\sin 3a)$

hoặc $\sin 3a =1/2\Leftrightarrow a \in {\pi/18;5\pi/18;13\pi/18;17\pi/18}$

hoặc $4\sin^3 a -2\sin a-1=0\Rightarrow a \in {3\pi/10;7\pi/10}$

Vậy  phương trình đầu có 6 nghiệm:

$x=\pm \cos(3\pi/10)=\pm \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$

$x=\pm \cos (\pi/18)$

$x=\pm \cos(5\pi/18)$

Cho hình vuông ABCD. E là điểm thuộc cạnh CD. Đường phân giác góc BAE cắt đoạn BC tại điểm F. Trên tia BF lấy điểm G sao cho FG=2DE. Gọi O là trung điểm FG. Từ B kẻ hai tiếp tuyến BH, BK tới đường tròn (O), H nằm ở miền trong của hình vuông ABCD (với (O) là đường tròn tâm O, bán kính OF).

a) Chứng minh rằng ABH là tam giác cân.

b) Đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt AH tại điểm X. Chứng minh rằng AF vuông góc với BX.

Gọi độ dài cạnh hình vuông là $a$:

Ta có:

a)$tan(2\angle BAF )=tan(\angle BAE)=cot(\angle EAD)=\frac{a}{\left \| DE \right \|}$

$\Rightarrow tan(\angle BAF)=\frac{\sqrt{1+\frac{a^2}{\left \| DE \right \|^2}}-1}{\frac{a}{\left \| DE \right \|}}\Rightarrow \left \| BF \right \|=atan(\angle BAF)=\sqrt{\left \| DE \right \|^2+a^2}-\left\|DE \right\|=\left \| AE \right \|-\left \| DE \right \|$

$\Rightarrow \left \| BO \right \|=\left \| BF \right \|+\left \| DE \right \|=\left \| AE \right \|$

mà:

$\left \| OH \right \|=\left \| ED \right \|\Rightarrow \Delta OHB=\Delta EDA\Rightarrow \left \| BH \right \|=\left \| AD \right \|=\left \| AB \right \|$

$\Rightarrow \Delta ABH$ cân.

b)Gọi $I$ là trung điểm $AB$, Xét tích vô hướng:$\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{BX}$

$\overrightarrow{BX}\cdot \overrightarrow{AF}=(\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IX})\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF})=\overrightarrow{BI}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IX}\cdot \overrightarrow{BF}=-\left \| BI \right \|\left \| AB \right \|+\left \| IX \right \|\left \| BF \right \|=-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}a^2tan(\angle BAF)tan(\angle BAH)$

Ta sẽ chứng minh: $tan(\angle BAF)tan(\angle BAH)=1$

Thật vậy do tứ giác $ABFH$ nội tiếp nên $\angle BAF+\angle BAH=\frac{\pi}{2}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{BX}=\frac{-a^2}{2}(1-tan(\angle BAF)tan(\angle BAH))=0$

do đó $AF$ vuông góc $BX$

Chứng minh bất đẳng thức sau :$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geq 4(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$

Không dùng bất đẳng thức phụ : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

Bất đẳng thức sai với bộ $(1;-2;-2)$

Vẫn vậy bạn à, phương trình thu được không có nghiệm thực. Bây giờ mình sẽ giải thích tại sao cách đặt này không có tác dụng nếu không dùng đến số phức.
Xét phương trình bậc 3 $x^3+px+q=0$ (1) có 3 nghiệm thực phân biệt. Khi đó, đặt $x=t-\frac{p}{3t}$ thì ta thu được phương trình $t^3+q+\frac{p^3}{27t^3}=0$. Nhân hai vế với $t^3$ để thu được $t^6+qt^3-\frac{p^3}{27}=0$. Đây là phương trình bậc hai theo $t^3$. Nó có nghiệm thực khi và chỉ khi $q^2-\frac{4p^3}{27}\geq 0$. Mặt khác ta biết rằng phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $q^2-\frac{4p^3}{27}<0$. Do đó nếu không dùng số phức thì cách này không áp dụng được.

Giải phương trình: $x^3-3x+1=0$

biết rằng cấp 2 không được dùng lượng giác hóa và số phức.

Nhập biểu thức vào máy tính : 

$X=X+1:A=\frac{1}{\sqrt{5}}\left ( \left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{X+1}-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{X+1} \right )$

Ấn CALC : X?0 . Ấn bằng liên tiếp cho đến X=60 thì giá trị của A là KQ cần tìm.

 

#Câu hỏi phụ : Nhập biểu thức như trên. ấn bằng liên tiếp bao giờ A lớn hơn hoặc bằng 1 tỉ thì X chính là số ngày cần tìm

Cách này sai nhé bởi vì nó chỉ tìm được số viên bi bỏ vào hộp trong ngày thứ x chứ không phải số viên bi có trong hộp.

tìm n $\in N$ biết  $1+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=1136275$

n=150

m có thể khác n đc mà bạn

Nhưng đề bài chỉ hỏi có hay không thôi chứ đâu có yêu cầu tìm m hay n thỏa mãn

Cho $m,n \in \mathbb{N}$ sao cho mn=1991¹⁹⁹². Hỏi m+n có chia hết cho 1992 không?

Giả sử $m=n\Rightarrow m+n=2.1991^{996}\Rightarrow \frac{m+n}{1992}=\frac{1991^{996}}{996}$

Vì $1991^{996}\equiv 1(mod 10)\Rightarrow$ 1991^(996) không chia hết cho 996

Vậy giả thiết đề bài sai.

Cho 3 số: $A=\underset{2n chu so 4}{\underbrace{444....444}};B=\underset{2n+1 chu so 2}{\underbrace{222....222}};C=\underset{n chu so 8}{\underbrace{888....888}}$

CMR A+B+C+7 là số chính phương.

Bạn xem lại bài này được không chứ 8+44+222+7 đâu có chính phương

Bạn có thể nói cụ thể hơn chỗ $\frac{121^5-1}{600}=\frac{120(\sum_{x=0}^{4}121^x)}{600}=\frac{\sum_{x=0}^{4}121^x}{5}$ đc không

với mọi số nguyên dương n ta có: $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})$

Vì vậy $121^5-1=(121-1)(121^4+121^3+121^2+121+1)=120(\sum_{x=0}^{4}121^x)$

CMR: A = 11¹⁰ - 1 chia hết cho 600.

$\frac{11^{10}-1}{600}=\frac{121^5-1}{600}=\frac{120(\sum_{x=0}^{4}121^x)}{600}=\frac{\sum_{x=0}^{4}121^x}{5}$

dễ thấy $\sum_{x=0}^{4}121^x\equiv 5(mod 10)\Rightarrow (11^{10}-1)\vdots 600$

 

Cho góc xOy có số đo góc là 30^o, người ta sắp xếp các hình vuông vào góc xOy sao cho góc trên, bên trái của các hình vuông phải tiếp xúc với tia Ox và các hình vuông phải liên tiếp nhau, không chồng chéo (như hình vẽ dưới). Biết rằng hình vuông nhỏ nhất H1 có độ dài cạnh là 1. Hình vuông H2 gần hình vuông H₁, hình vuông H₃ gần hình vuông H₂…  Hỏi hình vuông thứ 2017 H₂₀₁₇ có độ dài cạnh là bao nhiêu?

 

Hình vuông thứ 2 có cạnh là:

$a_{2}=a_{1}+a_{1}.tan(\pi/6)$

Tương tự hình vuông thứ 3 và hình vuông thứ n có cạnh là:

$a_{3}=a_{2}+a_{2}tan(\pi/6)$

$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-1}tan(\pi/6)=(1+tan(\pi/6))^{n-1}a_{1}=(1+tan(\pi/6))^{n-1}$

Vậy hình vuông thứ 2017 có cạnh là:

$(1+tan(\pi/6))^{2016}=\frac{(3+\sqrt{3})^{2016}}{3^{2016}}$

Giải pt: $\frac{1}{x^{2}-x+1}+\frac{1}{x^{2}-x+2}+\frac{1}{x^{2}-x+3}+...+\frac{1}{x^{2}-x+2017}=2017$

 

$x^2-x\geq -1/4\Rightarrow \sum_{i=1}^{2017}\frac{1}{x^2-x+i}\leq \sum_{i=1}^{2017}\frac{1}{i-1/4}= \sum_{i=1}^{2017}\frac{4}{4i-1}< 4H_{8067}< 4ln(8067)+4< 2017\Rightarrow$ PT vô nghiệm

Được dùng máy tính cầm tay chứ. không dùng sao tính ra nổi 

Nếu được thì bạn lập bảng cho n chạy từ 1 đến ... khi nào thấy hơn 1 tỷ viên là xong.

Nếu không được dùng log thì làm thế nào vậy

được dùng máy tính cầm tay không bạn

Vậy sau 50 ngày An có bao nhiêu viên bi?

có $\frac{\varphi^2(1-\varphi^{50})}{(1-\varphi)\sqrt{5}}-\frac{(1-\varphi)^2(1-(1-\varphi)^{50})}{\sqrt{5}\varphi}=53316291171$ bạn nhé.

1) Cho $a,b>0$ và $a+b=6$. Tìm Min $3a+2b+\frac{6}{a}+\frac{8}{b}$

2) Cho $a,b,c>0$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 27$. Tìm Min $a^{3}+b^{3}+c^{3}$

1)Ta có: $3a+2b+6/a+8/b=2(a+b)+a+6/a+8/b=a+12+6/a+\frac{8}{6-a}=\frac{3}{2}a+6/a+\frac{1}{2}(6-a)+\frac{8}{6-a}+9\geq 19$

Đẳng thức xảy ra khi $a=2$ và $b=4$

2) Theo BDT Holder:

$(\sum (a^2)^{3/2})^{2/3}(3)^{1/3}\geq \sum a^2\Leftrightarrow (\sum (a^2)^{3/2})^2\geq \frac{(\sum a^2)^3}{3}\geq 6561\Leftrightarrow \sum a^3=\sum (a^2)^{3/2}\geq 81$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$

An bỏ một lượng bi vào hộp theo nguyên tắc: ngày thứ nhất bỏ vào 1 viên bi, ngày thứ 2 bỏ vào 2 viên bi, từ ngày thứ 3 trở đi mỗi ngày bỏ vào số bi bằng tổng số bi đã bỏ vào 2 ngày trước đó. Hỏi sau 2 tháng (60 ngày) trong hộp của An có bao nhiêu viên bi?   Trình bày cụ thể

Theo đề bài, số viên bi bỏ vào hộp trong ngày thứ n là số hạng thứ n+1 trong dãy Fibonacci vì vậy số bi có trong hộp sau n ngày là:

$S_{n}=\sum_{x=1}^{n}\frac{\varphi^{x+1}-(1-\varphi)^{x+1}}{\sqrt{5}}$

Số viên bi có trong hộp sau 60 ngày: $S_{60}=\sum_{x=1}^{60}\frac{\varphi^{x+1}-(1-\varphi)^{x+1}}{\sqrt{5}}=\frac{\varphi^2(1-\varphi^{60})}{(1-\varphi)\sqrt{5}}-\frac{(1-\varphi)^2(1-(1-\varphi)^{60})}{\sqrt{5}\varphi}=6557470319840$

Câu hỏi phụ: $S_{n}\geq 10^9\Leftrightarrow \frac{\varphi^2(1-\varphi^{n})}{(1-\varphi)\sqrt{5}}-\frac{(1-\varphi)^2(1-(1-\varphi)^{n})}{\sqrt{5}\varphi}\geq 10^9\Leftrightarrow \varphi^{n+3}\geq 2236067982$$\Leftrightarrow n\geq log_{\varphi}(2236067982)-3\simeq 42$

Vậy An có hơn 1 tỷ viên bi sau 42 ngày.

Tìm công thức tổng quát của $u_{n}$ biết $\left\{\begin{matrix} u_{1}=2\\ u_{n+1}=u_{n}^3+3u_n^2-3 \end{matrix}\right.$

$u_{n+1}=u_{n}^3+3u_{n}-3\Leftrightarrow u_{n+1}+1=(u_{n}+1)^3-3(u_{n}+1)$

Ở đây nếu đặt $v_{n}=u_{n}+1$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} v_{1}=3\\ v_{n+1}=v_{n}^3-3v_{n} \end{matrix}\right.$

Đặt $v_{1}=2coshx\Rightarrow v_{2}=2cosh3x\Rightarrow v_{3}=2cosh9x\Rightarrow ...v_{n+1}=2cosh(3^{n}x)$$(x=arcosh(3/2))$

Vậy công thức tổng quát:

$u_{n}=v_{n}-1=2cosh(3^{n-1}arcosh(3/2))-1$

Chứng minh rằng với mọi số thực ko âm x,y,z :

$(\frac{x}{y}+\frac{z}{\sqrt[3]{xyz}})^2+(\frac{y}{z}+\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}})^2+(\frac{z}{x}+\frac{y}{\sqrt[3]{xyz}})^2\geq 12$

Ta có:$\sum (\frac{x}{y}+\frac{z}{\sqrt[3]{xyz}})^2\geq \frac{(\sum \frac{x}{y}+\sum \frac{x}{\sqrt[3]{xyz}})^2}{3}\geq \frac{(3+3)^2}{3}=12$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z

Vì bất đẳng thức thuần nhất nên chuẩn hóa: $a+b+c=1$

Bất đẳng thức trở thành:

$\sum (\frac{a}{1-a})^{1/n}\geq 2$

Xét hàm: $f(x)=(\frac{x}{1-x})^{1/n}$ ta có: $f''(x)\geq 0\forall x \in(0;1)$ và n>1

Vậy theo BDT Jensen ta có:

$\sum (\frac{a}{1-a})^{1/n}= f(a)+f(b)+f(c)\geq 3f(\frac{a+b+c}{3})=3f(1/3)=3\sqrt[n]{1/2}\geq 3\sqrt{1/2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}> 2$

Vậy đẳng thức không xảy ra.

đoạn màu đỏ là sao bạn . mình không hiểu ? bạn có thể làm cách khác không ?

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 

y =$\frac{\sqrt{x-2016}}{x+2}+\frac{\sqrt{x-2017}}{x}$

Đặt $y=f(x)$

$f'(x)=0\Leftrightarrow x=4034$

Ta có: $f''(4034)<0$$\Rightarrow f(x)\leq f(4034)=\frac{\sqrt{2018}}{4036}+\frac{\sqrt{2017}}{4034}$