Anh có thể tham khảo ở đây. https://julielltv.wo...uence-limit-15/

Bài 7: Giả sử 1978 tập hợp đó là $A_1;A_2;...;A_m$

Vì có 1978 tập hợp, mỗi tập có 40 phần tử và 2 tập bất kì chung nhau đúng 1 phần tử nên tồn tại 1 phần tử $x$ thuộc tập $A_1$ là giao của $A_1$ với ít nhất $[\frac{1977}{40}] +1 = 50$ tập hợp

Giả sử 50 tập hợp đó là $A_i$ với $i \in {2;3;...51}$ , gọi $A_n$ là 1 tập hợp sao cho $n \not \in  {2;3;...51}$

Xét $ A_2 \cap A_n ={y}$ khi đó $A_k \cap A_n \not = {y}  \forall k \in {3;4;...50}$ ( do các tâp hợp chỉ có chung đúng 1 phần tử) $=> |A_n| \geq 49 =>$ vô lý 

Như vậy $x$ là phần tử chung của tất cả 1978 tập hợp. 

Cho dãy số được xác định như sau:

$$ \left\{\begin{matrix} x_1=20 ; x_2=30 & \\ x_{n+1}=3x_{n}-x_{n-1} & \end{matrix}\right. $$

Tìm $n$ để $5x_{n+1}x_{n}+1$ là số chính phương 

1a) <=>$\sqrt{\frac{x^2-1}{x}}+\sqrt{\frac{x-1}{x}}=x$

$<=>x\sqrt{x}=\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x-1}$

$<=>x^3=x^2-1+x-1+2(x-1)\sqrt{x+1}$

$<=>x^3-x^2-x+2=2(x-1)\sqrt{x+1}$

$<=>x^6-2x^5-x^4++6x^3-3x^2-4x+4=4x^3-4x^2-4x+4$

$<=>x^6-2x^5-x^4+2x^3+x^2=0$

Vì $x=0$ không là nghiệm nên chia cả 2 vế cho $x^4$ ta được:

$x^2-2x-1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0$

$<=>(x-\frac{1}{x})^2-2(x-\frac{1}{x})+1=0$

$(x-\frac{1}{x}-1)^2=0$

$x-\frac{1}{x}=1<=>x^2-x-1=0$

Mà từ điều kiền $x \geq 1=> x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Ngày 2: Câu 1 a)  $(f(x^3+x))^2 \leq f(2x)+2$ (1) và $(f(-2x))^3 \geq 3f(-x^3-x)+2$ (2)

$P_{(1)} (0) : f(0)^2 \leq f(0) +2 <=> (f(0)-2)(f(0)+1) \leq 0 <=> -1 \leq f(0) \leq 2   $

$P_{(2)} (0) : f(0)^3 \geq 3f(0) +2 <=>(f(0)+1)^2(f(0)-2) \geq 0 <=> f(0)=-1 $ hoặc $f(0)>=2$ 

$=> f(0)=-1$ hoặc $f(0)=2$

Tương tự, ta cũng có $ f(1)=1$ hoặc $f(1)=2$; $ f(-1)=1$ hoặc $f(-1)=2$

Theo nguyên lí Dirichlet, ta có 2 trường hợp bằng nhau, nên hàm $f(x)$ không là đơn ánh .

Ngày 1

Ngày 2

Nguồn: Thầy Huỳnh Kim Linh

Cho tam giác ABC, BC>AB, E và F là điểm giữa của cung lớn AC và cung nhỏ AC. $G \in BC$ sao cho $EG \perp BC$.CMR (ABG) đi qua trung điểm BF

Nguồn:facebook

Cho một dãy $n$ tấm bìa đặt sấp ở trên bàn được đánh số từ $1$ đến $n$. Mỗi lần, cho phép thay đổi trạng thái $k$ tấm bìa liên tiếp: sấp thành ngửa, ngửa thành sấp

a) Chứng minh rằng có thể chuyển hết tấm bìa sang ngửa sau hữu hạn lần thao tác khi và chỉ khi $n$ chia hết cho $k$.

b) Nếu $n$ không chia hết cho $k$, đặt $x=[\frac{n}{k}]$ . Chứng minh rằng khi đó, ta có thể chuyển được tối đa $Max${$kx,2n-k(x+1)$} tấm bìa sang ngửa

Ta có $2n+9=25(2n+1)-16(3n+1)=25x^2-16y^2=(5x-4y)(5x+4y)$ với $2n+1=x^2$ và $3n+1=y^2$

$=>5x+4y=2n+9$ và $5x-4y=1$

Kết hợp với gt, tìm được $x,y,n$

Nguồn: quên tên

Nguồn: Nguyễn Bá Chinh

Ngày 2

Bài 1. Cho số thức $a$ khác $0$ và dãy $(u_n)$ thỏa $u_1=0, u_{n+1}(u_n+a)=a+1$ với mọi $n$ nguyên dương. Tìm giới hạn của dãy $(u_n)$

Bài 2. Tìm tất cả các hàm $f \mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+}$ thỏa $f(xf(y^2)-yf(x^2))=(y-x)(f(xy) \forall x,y \in \mathbb{R^+}$

Bài 3 Cho $n=2018.2019.$ Gọi $A$ là tập hợp các bộ $(a_1;a_2;...;a_n)$ có thứ tự thỏa $a_i \in [0;1] \forall i \in {1;2;3;..;n}$ và $\sum_{i=1}^k a_i \leq \frac{k}{2}$ và $\sum_{i=n-k+1}^n a_i \leq \frac{k}{2} \forall k \in {1;2;3;..;n}$ ? 

Bài 4. Đường tròn $\mathbb{C}$ ( tâm $I$) nội tiếp tam giác $ABC$ và tiếp xúc với các cạnh $AB,AC$ tại $E,F. AM,AN$ là các phân giác trong, phân giác ngoài của $\widehat{BAC}$ ( $M,N \in BC$). GỌi $d_M,d_N (d_M, d_N$ khác $BC$) lần lượt là các tiếp tuyến của $\mathbb{C}$ qua $M,N$

a)Chứng minh $d_M,d_N,EF$ đồng quy (tại điểm $D$).

b)Trên $AB, AC$ lấy các điểm $P,Q$ thỏa $DP || AC, DQ || AB.$ Gọi $R,S$ là trung điểm $DE,DF.$ CHứng minh $I$ thuộc đường thẳng qua các trực tâm của hai tam giác $DPS$ và $DQR.$

@halloffame: bài 4b, $I$ là điểm gì?

                                                                          ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN NĂM 2018

                                                                               Môn thi:TOÁN (Ngày thứ nhất)

                                                          Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề 

Bài 1: Cho số nguyên a >1. Tìm giá trị lớn nhất của số thực d sao cho tồn tại một cấp số cộng có công sai d, số hạng đầu tiên là a và có đúng 2 trong các số $a^2,a^3,a^4,a^5$ là những số hạng của cấp số cộng đó.

Bài 2: Cho n số thực $x_1,x_2,...,x_n$. Với mỗi i $\in$ {1,2,...,n} gọi $a_i$ là số các chỉ số j mà $\vert x_1-x_j \vert \leq 1$ và $b_i$ là số các chỉ số 

j mà $\vert x_1-x_j \vert \leq 2$ (i có thể bằng j)

   a) Cm tồn tại i mà $b_i \leq 3a_i$

   b) Gọi A là số cặp (i,j) có thứ tự mà $\vert x_1-x_j \vert \leq 1$ và B là số cặp (i,j) có thứ tự mà $\vert x_1-x_j \vert \leq 2$ ( i có thể bàng j). CMr $B\leq 3A$.

Bài 3: Cho số tự nhiên p. Xét phương trình nghiệm nguyên $x^3+x+p=y^2$ (*)

 a) Tìm số nguyên tố p=4k+1 nhỏ nhất sao cho (*) có nghiệm

 b) Chứng minh rằng nếu p là số chính phương thì (*) luôn có nghiệm

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với B,C cố định và A di chuyển trên (O); D là trung điểm BC. Trên AB lấy M,P và trên AC lấy N,Q sao cho DA=DP=DQ, $DM \perp AC$, $DN \perp AB$

  a) Chứng minh M,N,P,Q cùng thuộc đường tròn $\mathbb{C}$ và $\mathbb{C}$ luôn đi qua 1 điểm cố định

  b) Chứng minh tâm của $\mathbb{C}$ luôn thuộc 1 đường tròn cố định

Lưu ý: Câu 3b) tuy không ghi nhưng mình được biết rằng ban ra đề yêu cầu x khác 0

(Tiếp tục cập nhật)            

60 có 15 là ước lẻ lớn nhất nhưng vẫn thỏa a+b-1 là ước của 60 với b=1 

Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ lớn hơn 1 sao cho bất kì 2 ước $a,b$ của $n$ nguyên tố cùng nhau thì $a+b-1$ cũng là ước của $n$.

Ngày 1

Bài IV Giả sử trong $10$ số nguyên dương liên tiếp tồn tai hai số có ước chung lớn hơn $9$.

Gọi $2$ số đó lần lượt là $a_i$ và $a_j$, $(a_i,a_j)=d>9$

$=>a_i - a_j \vdots d $ mà $0<|a_i-a_j| \leq  10, d>9$

=> không tồn tại $a_i, a_j$ thỏa mãn nên  trong 

10 số nguyên dương liên tiếp không tồn tại hai số có ước chung lớn hơn 9

.

Ngày 1

Nguồn: sưu tầm trên facebook

Ngày thi thứ 2:  11 - 9 -2018

Nguồn: facebook abeii gia

Kết quả phân tích $2^{2003} -1$ trên wolfram alpha

1. Cho $A$= {1;2;...;2018}. Gọi X là tập con của A và $t_x$ là tổng của phần tử lớn nhất và nhỏ nhất của X. Tính trung bình cộng của tất cả giá trị $t_x$

2. Tìm sup,inf của tập $A$={$\frac{1}{2^n}+\frac{(-1)^n}{n}|n \in N*$}

Cho $1 = d_1 < d_2 < ... < d_k = n$ là tất cả các ước nguyên dương của số nguyên dương $n$ xếp theo thứ tự tăng dần. Biết rằng $(d_7)^2 + (d_{15})^2 = (d_{16})^2$. Hãy tìm $d_{17}$.

Nguồn: thầy Trần Nam Dũng