(Nguyễn Hoàng Vinh, Đồng Nai) Cho số thực $a$ $\in$ (0;1). Cho dãy số ($x_{n}$), xác định bởi: $x_{1}$ = $a$ và $x_{n+1}=x_{n}\left(\right.1-\frac{\left(x_{n}\right)^{3}+\left(x_{n}\right)^{4}}{2}\left.\right)$ với mọi $n$ $\geq$1.

Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $m$ sao cho

 $\frac{1}{x_{m+1}}-\frac{1}{x_{m}}>\frac{1}{3\sqrt[3]{m^{2}}}$

(Nguyễn Hoàng Vinh, Đồng Nai) Cho số thực $a$ $\in$ (0;1). Cho dãy số ($x_{n}$), xác định bởi: $x_{1}$ = $a$ và $x_{n+1}=x_{n}\left(\right.1-\frac{\left(x_{n}\right)^{3}+\left(x_{n}\right)^{4}}{2}\left.\right)$ với mọi $n$ $\geq$1.

Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $m$ sao cho

 $\frac{1}{x_{m+1}}-\frac{1}{x_{m}}>\frac{1}{3\sqrt[3]{m^{2}}}$

Chứng minh rằng với mỗi n $\in \mathbb{Z^{+}}$ đều tồn tại 1 tập S gồm n số nguyên dương sao cho tổng của mọi tập con khác rỗng bất kì của S đều là lũy thừa đúng.

Cho dãy số ($a_{n}$) xác định như sau: $a_{1}=\frac{15}{8},a_{2}=2,a_{n+2}+\frac{1}{2}=\sqrt{a{_{n+1}}^{2}+a_{n}+\frac{n^{2}}{4n^{2}-1}}$ . Chứng minh rằng ($a_{n}$) có giới hạn hữu hạn và đi tìm nó.

Cho k>1 là số nguyên dương.Chứng minh rằng tồn tại số số nguyên dương n sao cho $n\mid 1^{n}+2^{n}+...+k^{n}$

(Iran Second Round 2008). Tìm a nguyên dương sao cho $4\left ( a^{n}+1 \right )$ là lập phương của một số nguyên dương với mọi n.

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho $n \mid (n-1)!$

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho $2^{n}\mid 3^{n}-1$

Tìm tất cả hàm số f : $\mathbb{R^{+}}$ $\rightarrow$ $\mathbb{R^{+}}$ thỏa mãn:

$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y),\forall x,y>0$

Tìm tất cả các hàm số $f:(0; + \infty ) → (0; + \infty )$ thỏa mãn:

$f(x)f(y)=2f(x+f(y)),\forall x>0,\forall y>0$

Em giả sử n có 2 ước nguyên tố sau đó sử dụng kĩ thuật bước nhảy Viet để chỉ ra vô lí nha

Đừng quên nhận xét rằng n là square free

anh có thể nói rõ hơn đc không ạ tại em chưa bt sử dụng kĩ thuật bước nhảy viete ạ

Cho n>4 là một hợp số sao cho $n| \varphi (n)\sigma (n)+1$. Chứng minh rằng n có ít nhất ba ước nguyên tố phân biệt