Chú ý thêm là luôn có kết luận cho mỗi bài. Như vậy sẽ thuận tiện cho việc soát lại lúc cuối giờ và phòng ngừa các GV chấm chặt.
vietfrog nội dung
Có 829 mục bởi vietfrog (Tìm giới hạn từ 14-05-2020)
#431919 Phương pháp ôn thi, Kinh nghiệm phòng thi, Kĩ năng làm bài, v.v...
Đã gửi bởi vietfrog on 30-06-2013 - 21:40 trong Ôn thi Đại học
#370067 $\left\{\begin{matrix}4xy+4(x^2+y^2)+...
Đã gửi bởi vietfrog on 17-11-2012 - 11:40 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Anh nghĩ phải là: \[\frac{3}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\]$\left\{\begin{matrix}4xy+4(x^2+y^2)+\frac{3}{x^2+y^2}=7& \\ 2x+\frac{1}{x+y}=3 &\end{matrix}\right.$
#369078 Chứng minh hàm 2 biến số không liên tục : ..
Đã gửi bởi vietfrog on 12-11-2012 - 22:40 trong Giải tích
\[z = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}}\,\,\,khi\,\,{x^2} + {y^2} \ne 0 \\
0\,\,khi\,x = y = 0 \\
\end{array} \right.\]
liên tục trên mỗi biến riêng biệt, nhưng không liên tục đối với cả 2 biến tại $(0;0)$.
#367832 [Thắc mắc] Cách chuyển PT đường thẳng về dạng cơ bản.
Đã gửi bởi vietfrog on 07-11-2012 - 23:52 trong Phương pháp tọa độ trong không gian
P/s: Cách 1 là nhanh gọn nhất!
#366623 [Giới hạn] Sai lầm ở đâu?
Đã gửi bởi vietfrog on 02-11-2012 - 20:09 trong Giải tích
Em quên mất kiến thức cơ bản. Nguy hiểm quá. Cảm ơn thầy nhiềuLời giải sai từ phép biến đổi đầu tiên
Làm gì có chuyện $\dfrac{0}{0}=\dfrac{0}{0}-\dfrac{0}{0}$
Các phép toán tổng, hiệu, tích, thương, ... trên giới hạn chỉ có hiệu lực khi các thành phần đó có giới hạn (hữu hạn) và không ở dạng vô định.
#366496 [Giới hạn] Sai lầm ở đâu?
Đã gửi bởi vietfrog on 02-11-2012 - 09:02 trong Giải tích
Thầy ơi em thắc mắc chút. Biểu thức cuối cùng ở dạng vô dịnh nhưng rõ ràng : $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0$Biểu thức cuối cùng vẫn còn ở dạng vô định vì thế lời giải trở thành bế tắc
Cách hiệu quả nhất là dùng quy tắc $L'Hospital$
$A=\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\arcsin x - \arctan x}{x^3}=\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{1+x^2}}{3x^2}=\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2+1-\sqrt{1-x^2}}{x^2(x^2+1)\sqrt{1-x^2}}$
Giờ thì nhân liên hợp
$A=\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(x^4+2x^2+1)-(1-x^2)}{x^2(x^2+1)\sqrt{1-x^2}(x^2+1+\sqrt{1-x^2})} = \quad\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2+3}{(x^2+1)\sqrt{1-x^2}(x^2+1+\sqrt{1-x^2})}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{1.1.2}=\dfrac{1}{2}$
#366469 [Giới hạn] Sai lầm ở đâu?
Đã gửi bởi vietfrog on 01-11-2012 - 22:40 trong Giải tích
Đây là giới hạn tương đương bạn ạ. Điều này ghi rõ trong các giáo trình Toán cao cấp.hiển nhiên với x nhỏ thì sinx gần bằng x tính theo rad chứ còn arc sin gần bằng x thì mình chưa thấy. bạn xem lại nha. chúc bạn thành công
Mọi người cho ý kiến thêm nhé!
#366291 [Giới hạn] Sai lầm ở đâu?
Đã gửi bởi vietfrog on 01-11-2012 - 10:27 trong Giải tích
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }}
$
Lời giải
Khi $x \to 0$ ta luôn có các giới hạn tương đương: $arc\sin x \sim x,\arctan x \sim x$
Áp dụng ta có:
\[
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x}}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0
\]
Lời giải trên đã sai. Nhưng sai ở đâu, mong mọi người giải đáp giúp mình. Cảm ơn rất nhiều.
#366249 Sử dụng khai triển $Abel$ để chứng minh bất đẳng thức
Đã gửi bởi vietfrog on 31-10-2012 - 22:36 trong Chuyên đề toán THPT
#365128 $ 4^{log_{7}(x+3)}=x$
Đã gửi bởi vietfrog on 26-10-2012 - 23:37 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Ý 1,2 tương tự nhau.giải các phương trình sau:
1)$4^{log_{7}(x+3)}=x$
2)$log_{2}(1+\sqrt x)=log_{3}x$
3)$(\sqrt3-\sqrt2)^x+(\sqrt3+\sqrt2)^x=(\sqrt5)^x$
............................................................................
Xét ĐK rồi đưa về :
\[
\begin{array}{l}
1.\log _4 7 = \log _x \left( {x + 3} \right) \\
2.\log _2 3 = \log _x \left( {1 + \sqrt x } \right) \\
\end{array}
\]
Sau đó xét hàm và suy ra nghiệm duy nhất .
Ý 3. Biến đổi thành:
\[
\left( {\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}} \right)^x + \left( {\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}} \right)^x = 1
\]
Cho gọn thì a đặt : \[
\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }} = a = const
\]
Ta có:
\[
a^x + \left( {\frac{1}{{5a}}} \right)^x = 1
\]
Với a đã biết ta tìm được x.
#363688 HỆ PT THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I - DIỄN ĐÀN BOXMATH.
Đã gửi bởi vietfrog on 21-10-2012 - 19:56 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Biến đổi:Đề bài. Giải hệ phương trình sau
$$\left\{\begin{matrix} 3x^2-2x-5+2x\sqrt{x^2+1}=2(y+1)\sqrt{y^2+2y+2} \\ x^2+2y^2=2x-4y+3 \end{matrix}\right.$$
Trích đề thi thử diễn đàn boxmath.vn
______
Dạng hệ kiểu này đã xuất hiện trong Câu 5, đề ĐH - A -2010 ( Câu của bộ có vẻ đơn giản hơn câu này )
\[
\left\{ \begin{array}{l}
2x^2 - 5 + 2x\sqrt {x^2 + 1} = 2\left( {y + 1} \right)^2 - 5 + 2\left( {y + 1} \right)\sqrt {\left( {y + 1} \right)^2 + 1} \\
x^2 + 2y^2 = 2x - 4y + 3 \\
\end{array} \right.
\]
Xét hàm : \[
f\left( x \right) = 2x^2 - 5 + 2x\sqrt {x^2 + 1}
\]
\[
f'\left( x \right) = 4x + 2\sqrt {x^2 + 1} + \frac{{2x^2 }}{{\sqrt {x^2 + 1} }} \ge 4x + \left| {4x} \right| \ge 0
\]
Đến đây đơn giản rồi!
#362082 Chứng minh với mọi số tự nhiên n>2 thì $$n^{n}.(n-2)...
Đã gửi bởi vietfrog on 15-10-2012 - 19:28 trong Bất đẳng thức và cực trị
BĐT cần chứng minh tương đương:Chứng minh với mọi số tự nhiên n>2 thì
$$n^{n}.(n-2)^{n-2}>(n-1)^{2(n-1)}$$
\[
\frac{{n^n }}{{\left( {n - 1} \right)^{n - 1} }} > \frac{{\left( {n - 1} \right)^{n - 1} }}{{\left( {n - 2} \right)^{n - 2} }}
\]
Xét hàm: $
f\left( x \right) = \frac{{x^x }}{{\left( {x - 1} \right)^{x - 1} }}/x > 2
$
Ta có:
\[
f'\left( x \right) = \frac{{x^x \left( {x - 1} \right)^{x - 1} \left( {\ln x + 1} \right) - x^x \left( {x - 1} \right)^{x - 1} \left( {\ln \left( {x - 1} \right) + 1} \right)}}{{\left( {\left( {x - 1} \right)^{x - 1} } \right)^2 }} > 0\left( {do\,\ln x > \ln \left( {x - 1} \right)\,\forall x > 2\,} \right)
\]
Suy ra $f(x)$ đồng biến.
Ta có đpcm!
#360930 Sử dụng khai triển $Abel$ để chứng minh bất đẳng thức
Đã gửi bởi vietfrog on 11-10-2012 - 12:16 trong Bất đẳng thức và cực trị
Sau khi đọc Topic này mình thấy rất hứng thú.
Mình muốn ngỏ lời với bạn WhjteShadow về việc hợp tác viết chuyên đề này.
#360726 Ôn thi Olympic Toán học sinh viên 2015 [Đại số]
Đã gửi bởi vietfrog on 10-10-2012 - 16:47 trong Thảo luận về các kì thi, các kì kiểm tra Toán sinh viên
Mới học mấy cái Đại cương thôi .
#359293 Tìm GTLN $A=\sqrt{x^{2}-2x+5}+\sqrt{x...
Đã gửi bởi vietfrog on 05-10-2012 - 22:53 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cả 2 ý đều sử dụng BĐT Minkowsky:Trước tiên mọi người cho tớ lời giải bài này
Tìm GTNN của biểu thức
a.$A=\sqrt{x^{2}-2x+5}+\sqrt{x^{2}-6x+25}$
b.$B=\sqrt{x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}}+\sqrt{x^{2}-2cx+c^{2}+d^{2}}$$(a,b,c,d \epsilon R)$
\[
A = \sqrt {\left( {x - 1} \right)^2 + 2^2 } + \sqrt {\left( {3 - x} \right)^2 + 4^2 } \ge \sqrt {\left( {3 - 1} \right)^2 + \left( {4 + 2} \right)^2 } = \sqrt {2^2 + 6^2 } = \sqrt {40}
\]
Dấu = khi $
x = \frac{5}{3}
$
#358559 Chứng minh bất đẳng thức sau: $\frac{a+b+c}{3}...
Đã gửi bởi vietfrog on 03-10-2012 - 17:08 trong Bất đẳng thức - Cực trị
#358420 Chứng minh bất đẳng thức sau: $\frac{a+b+c}{3}...
Đã gửi bởi vietfrog on 02-10-2012 - 21:53 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Cho các số dương a,b,c có tích bằng 1. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[10]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$
BĐT đúng phải là:
\[
\begin{array}{l}
\frac{{a + b + c}}{3} \le \sqrt[{10}]{{\frac{{a^3 + b^3 + c^3 }}{3}}} \\
\Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)^{10} \le 3^9 .\left( {a^3 + b^3 + c^3 } \right) \\
\Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)^{10} \le \left( {1 + 1 + 1} \right)^9 \left( {a^3 + b^3 + c^3 } \right)\,\,\left( * \right) \\
\end{array}
\]
Dễ thấy $( *)$ luôn đúng theo BĐT Holder. Dấu $=$ khi $a=b=c=1$
P/s: ĐK: $abc=1$ có vẻ hơi vô duyên.
#358413 Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{b^2}+\frac...
Đã gửi bởi vietfrog on 02-10-2012 - 21:43 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đang $x$ sao lại là $a$ thế em.Chém nhanh bài này :
Đặt:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
Giờ chỉ việc quy đồng lên là ra thôi!!@
----------------------------------Vũ Minh Tân-------------------------------
Đặt : $t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \Rightarrow \left| t \right| \ge 2$.Cho $a,b\neq 0$. Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-3\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )+4\geq 0$
BĐT tương đương: \[
t^2 - 3t + 2 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 2} \right) \ge 0
\]
Cái này đúng $\forall \left| t \right| \ge 2$
- Diễn đàn Toán học
- → vietfrog nội dung