Đã có đáp án tại VnMath.com. Cảm ơn các bạn.

Bài 4 có thể cm dựa vào bổ đề sau
$2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2}} \right) \ge {\left( {ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) - 2abc} \right)^2}$

Anh chứng minh nó ra đc ko?

Bài 8 mình viết nhầm đề, phải là như vầy: $\sqrt{\dfrac{a^3}{a^2+5b^2}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{b^2+5c^2}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{c^2+5a^2}} \geq \sqrt{\dfrac{3}{2}}$

Bài 1,
Không mất tính tổng quát giả sử $a \ge b \ge c $
Ta có: $b + c \le c + a \le a + b $
$\dfrac{{a^n }}{{b + c}} \ge \dfrac{{b^n }}{{a + c}} \ge \dfrac{{c^n }}{{a + b}} $
Áp dụng BĐT Chebusep cho 2 bộ số nêu trên ta có
$(\dfrac{a^n }{b + c} + \dfrac{b^n }{a + c} + \dfrac{c^n }{a + b})(b + c + c + a + a + b) \ge 3(a^n + b^n + c^n ) $
Từ đó suy ra dpcm

Bài 7, Đặt $ S = \dfrac{a}{(b + c)^n } + \dfrac{b}{(c + a)^n } + \dfrac{c}{(a + b)^n }$
$ P = a + b + c$
Áp dụng BĐT Holder ta có $ SP^{n - 1} \ge (\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}})^{n - 1} \ge (\dfrac{3}{2})^{n - 1} $
Từ đó suy ra đpcm

Bài 8, Đặt $ a^2 = x;b^2 = y;c^2 = z$
$ S = \sqrt {\dfrac{x}{x + 5y}} + \sqrt {\dfrac{y}{y + 5z}} + \sqrt {\dfrac{z}{z + 5x}} $
$P=x.(x + 5y)+y.(y + 5z)+z.(z + 5x)$
Áp dụng BĐT Holder ta có
$ S^2 P \ge (x + y + z)^3$
Lại có $ P = (x + y + z)^2 + 3(xy + yz + zx) \le 2(x + y + z)^2 $
Suy ra: $ S^2 \ge \dfrac{x + y + z}{2} = \dfrac{a^2 + b^2 + c^2 }{2} \ge \dfrac{(a + b + c)^2 }{6} = \dfrac{3}{2}$
Từ đó suy ra đpcm
Em đã trình bày lại nhưng có lẽ do vẫn chưa gõ quen nên cứ bị lỗi, nhờ mọi người chỉnh giùm

Có thể sử dụng BĐT cổ điển thôi không bạn?

P/S: Bạn gõ latex không cần thêm dấu $ vào đầu và cuối mã và dấu phân số bạn không đóng mở 2 cặp ngoặc.

Bài 1: Cho $ \left\{\begin{array}{l}a, b, c>0 \\ 2 \leq n \in N \end{array}\right. $. CMR:
$\dfrac{a^n}{b+c}+\dfrac{b^n}{c+a}+\dfrac{c^n}{a+b} \geq \dfrac{3}{2} . \dfrac{a^n+b^n+c^n}{a+b+c}$
Bài 2: Cho $a,b,c>0$. CMR:
$3(a^3+b^3+c^3)+2abc \geq 11\sqrt{\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\right)^3}$
Bài 3: Cho $a,b,c>0$. CMR:
$6(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \leq 27abc+10\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^3} $
Bài 4: Cho $a,b,c>0$. CMR:
$\dfrac{\sqrt{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}{abc}+\dfrac{4(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \geq 8$
Bài 5: Cho $ \left\{\begin{array}{l}a,b,c \in R \\ a+b+c=3 \end{array}\right. $. CMR: $(3+2a^2)(3+2b^2)(3+2c^2) \geq 125$.
Bài 6: Cho $a,b,c \geq 0$. CMR:
$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)^3}+\dfrac{10abc}{9(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \dfrac{1}{4}$
Bài 7: Cho $a,b,c>0$. CMR:
$\dfrac{a}{(b+c)^n}+\dfrac{b}{(c+a)^n}+\dfrac{c}{(a+b)^n} \geq \left(\dfrac{3}{2}\right)^n . \dfrac{1}{(a+b+c)^{n-1}}$
Bài 8: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:
$\sqrt{\dfrac{a^3}{a^2+5b^2}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{b^2+5c^2}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{c^2+5a^2}} \geq \sqrt{\dfrac{3}{2}}$

Vậy có vẻ cách giải đã sai đúng không nhỉ?

Đề bài: CMR: $\sum \dfrac{a}{b+c} +\dfrac{2}{3}.\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \geq \dfrac{13}{6} \forall a,b,c>0$
Chứng minh:
BĐT tương đương $\sum \dfrac{a}{b+c}-\dfrac{3}{2} \geq \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3}.\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \Leftrightarrow \sum\dfrac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)} \geq \dfrac{2}{3}.\dfrac{\sum (a-b)^2}{a^2+b^2+c^2}$
Ta có:
$(c+a)(c+b) \leq [\dfrac{(c+a)+(c+b)}{2}]^2 = \dfrac{1}{4}.[2c+(a+b)]^2 \\ \leq \dfrac{1}{4}.[(\sqrt{2})^2+1^2][(c\sqrt{2})^2+(a+b)^2] = \dfrac{3}{4}[2c^2+(a+b)^2] \leq \dfrac{3}{4}[2c^2+2(a^2+b^2)] \\ =\dfrac{3}{2} (a^2+b^2+c^2)$
Suy ra $\dfrac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)} \geq \dfrac{2}{3}.\dfrac{(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2} \Rightarrow (dpcm)$.
--------
Ở đây chúng ta nhận thấy điều kiện xảy ra dấu bằng của BĐT là $ \left\{\begin{array}{l}a=2b=2c\\2a=b=2c\\2a=2b=c\end{array}\right. \Leftrightarrow a=b=c=0$ trái với giả thiết mà thực ra BĐT xảy ra khi $a=b=c>0$ vẫn đúng!!! Vậy là như thế nào??? Mọi người cho ý kiến nhé!

Là sao nhỉ

Ý mình là $17^2 \not\vdots 2,3,5,7$ nhưng có là số nguyên tố đâu, nó có 3 ước mà.

Bài 1: Tính $A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{6}+\dfrac{11}{12}+...+\dfrac{1249}{1250}$
Giải:
$A=\dfrac{1.2-1}{1.2}+\dfrac{2.3-1}{2.3}+\dfrac{3.4-1}{3.4}+...+\dfrac{50.51-1}{50.51} \\ =50-(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{50.51})=50-(1-\dfrac{1}{51})=49\dfrac{1}{51}.$

2. $5^n-1 \vdots 5-1=4$
6.
$A=2^{100} - (2^{99}+2^{98}+...+2^1+2^0)=2^{100} - (2^{100}-1) =1$
Với B mình nghĩ như vầy: $B=\underbrace%20{11..110}_{25cs1} - 25$
P/s: Với bt B bài 6 chắc là ko phải. :">

1 số là số nguyên tố khi ko chia hết cho 2;3;5;7
mà 6n+5 cũng ko chia hết cho những số trên
6n+5 là số nguyên tố

Sao lại có lí như trên được!!! VD : $17^2$.

Em giải rồi mọi ng` góp ý vì em chưa chắc đã đúng:)
Bài 1.
a, Đặt: $S= 1979^9 + 1979^8 + … + 1979^2 + 1979+1$
$ 1979S= 1979^{10} + 1979^9 + … + 1979^3 + 1979^2+1979$
$ 1978S= 1979^{10}-1979$
$ S= (1979^{10}-1979):1978 $

Thay vào n ta có:
$ n = 1978 . (1979^{10}-1979):1978 + 1$
$ n = 1979^{10}-1979+ 1$
$ n = 1979^{10}-1978$

b, tận cùng lũy thừa bậc chẵn của 9 luôn là 1 => n=...1-1978=...3. Vậy chữ số hàng đơn vị của n là 3.

Sao $1978S=1979^{10}-1979$ nhỉ, mình nghĩ là $1978S=1979^{10}-1$ chứ!

liệu bài này dùng BDT có đc ko nhỉ !!???

Ta có :

$\dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2} = \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2}$

Ta có :
VP $\dfrac{(x + y + z)^2}{a^2 + b^2 + c^2}$ $\dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2}$

Dấu = xảy ra $ x = y = z = 0 !$
oh my god !

Cần có $x, y, z \geq 0$ bạn à.

p/s: Đánh dấu ngoặc của hệ trong MathType thế nào vậy?

Bạn gõ dấu {[] gõ vào ô trống dòng 1 rồi cứ ấn enter là xuống các dòng tiếp theo.

Bạn có thể hướng dẫn kỹ hơn được không ? Mình đọc vẫn chưa hiểu

$ \dfrac{xy}{3x+4y+2z} \leq \dfrac{1}{9}(2\dfrac{xy}{x+y+z}+\dfrac{xy}{x+2y}) \leq \dfrac{2}{9}\dfrac{xy}{x+y+z}+\dfrac{2x+y}{81} \Rightarrow \sum_{cyc} \dfrac{xy}{3x+4y+2z} \leq \dfrac{2(xy+yz+zx)}{9(x+y+z)} + \dfrac{x+y+z}{27} \leq \dfrac{3(x+y+z)}{27} = \dfrac{x+y+z}{9}$

Thay các số 3 bằng a+b+c cũng đc. Và sau đó:
$ a+a+b+c \geq \sqrt[4]{a^2bc}$
...

Bài đó ở đây nè:
http://diendantoanho...showtopic=59463

Ai chứng minh được IA=IB ở bài 3a thì post lên hộ nhé.

Câu 1 (7.0 đ):
a) Giải phương trình:
$\sqrt{3x} + \sqrt{15-3x} = \sqrt{8x-5} $
b) Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l} xy + x + y = 3 \\ \dfrac{1}{x^2+2x} + \dfrac{1}{y^2+2y} =\dfrac{2}{3} \end{array} \right. $
Câu 2 (3.0 đ):
Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn:
$ 5x^2 + 2xy + y^2 - 4x -40 = 0$
Câu 3 (6.0 đ):
Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cố định ( (O) và d không có điểm chung).M là điểm di động trên d. Vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD của (O) (A, B là các tiếp điểm, C nằm giữa M và D, CD không đi qua O). Vẽ dây DN của (O) song song với AB. Gọi I là giao điểm của CN và AB. Chứng minh rằng:
a)$\dfrac{IC}{IA}=\dfrac{BC}{BD}$ và IA=IB.
b) Điểm I luôn thuộc một đường cố định khi M di động trên đường thẳng d.
Câu 4 (2.0 đ):
Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng:
$\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)} \geq abc + \sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 5 (2.0 đ):
Cho một đa giác lồi có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính $\dfrac{1}{4}$ chứa đa giác đó.

À mh nhầm.
a+b=-(ab)^2+3 chứ ko phải a+b=-ab+3.
Sr. ^^

giai phuong trinh:
can(7-x)+can(x-5)=x^2-12x+38

Đặt a=căn(7-x), b=căn(x-5)

Đến bước này bạn thay 2 giá trị của a+b lần lượt kết hợp với a^2+b^2 để giải tiếp nhé!
Mong góp ý.

Bài này ở sách Nâng cao và phát triển Toán 9 có nhiều lắm rồi mừ.

$P = \sqrt{ \dfrac{ab}{ab + a}} + \sqrt{ \dfrac{bc}{bc + a} } + \sqrt{ \dfrac{ac}{ac + b} }$

Mình sửa lại đề nha

Hình như là $\sqrt{ \dfrac{ab}{ab + c}}$ chứ bạn.

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn : a + b + c = 1. Tìm min biểu thức
P = :sqrt{ :frac{ab}{ab + a}} + :sqrt{ :frac{bc}{bc + a} } + :sqrt{ :frac{ac}{ac + b} }

Bài này tìm max bạn à:

XRĐT a=b=c=1/3.
Mong góp ý.

Vẫn chưa đúng bạn ơi. Bạn xem lại đi nhé.

À, mh quên mất ABC vuông cân chứ không phải cân, sr.
Big thanks to perfectstrong!

thế cho mình hỏi bđt
a^2 /x+ b^2/x >= ( a+b )^2 /x+y có cần dk a, b, xy dương k các bạn

BĐT bunhia dạng Engel phải ko nhỉ?
Cái này hình như có.
(x+y)(a^2/x+b^3/y)>=(căn{x}.căn{a^2/x}+căn{y}.căn{b^2/y})^2=(a+b)^2
cần x, y>=0 để căn x, căn y xác định.