1) $f:R\rightarrow Z, f(x+y)< f(x)+f(y), f(f(x))=\left [ x \right ]+2$

2)$f:Z^{+}\rightarrow Z^{+}, f(ab)=f(a)f(b) \forall gcd(a,b)> 1$ và f(a),f(b),f(a+b-1) là 3 cạnh tam giác

3)$f:Z\rightarrow Z, f(1)=2011, \forall m,n\epsilon Z, m\neq n : m^{2015}-n^{2015} \vdots f(m)-f(n)$

4)$f:Z\rightarrow Z,f(0)\neq 0,f(1)=0, f(xy)+f(x)f(y)=f(x)+f(y), (f(x-y)-f(0))f(x)f(y)=0$

a) Tìm tập giá trị của f

b) Nếu $f(10)\neq 0,f(2)=0,$. Tìm tất cả n sao cho $f(n)\neq 0$

 Cho x₁,x₂,....,x_n thực, $x_{i}x_{j}\leq 4^{-\left | i-j \right |}(1\leq i\leq j\leq n).$

 CMR $x_{1}+x_{2}+...+x_{n} \leq \frac{5}{3}$

Cho tứ diện ABCD, M,N lần lượt thuộc AB,AC sao cho AM/AB=AN/AC. Mặt phẳng (P) thay đổi luôn đi qua MN cắt CD, BD lần lượt ở E,F.

a) CM EF luôn đi qua điểm cố định

b) Tìm quỹ tích giao điểm I của ME và NF

c) Tìm quỹ tích giao điểm J của MF và NE

Giải phương trình:

$\log _{3}\frac{2x-1}{(x-1)^2}=3x^2-8x+5$

Có bao nhiêu cách chọn 4 số tự nhiên tùy ý rồi viết lên đường tròn sao cho tổng 2 số cạnh nhau nhỏ hơn bằng 7

Cho x,y,z dương thỏa mãn $xyz\leq 1$. CMR:

$\sum \frac{x}{1+y+xz}\leq \frac{3}{x+y+z}$

x,y,z>0 và a,b,c cùng dấu.CMR:

$x^{a+b+c}+y^{a+b+c}+z^{a+b+c}\geq x^{a}y^{b}z^{c}+x^{b}y^{c}z^{a}+x^{c}y^{a}z^{b}$

x,y,z>0 và a,b,c cùng dấu.CMR:

$x^{a+b+c}+y^{a+b+c}+z^{a+b+c}\geq x^{a}y^{b}z^{c}+x^{b}y^{c}z^{a}+x^{c}y^{a}z^{b}$

x,y,z>0 và a,b,c cùng dấu.CMR:

$x^{a+b+c}+y^{a+b+c}+z^{a+b+c}\geq x^{a}y^{b}z^{c}+x^{b}y^{c}z^{a}+x^{c}y^{a}z^{b}$$x^{a+b+c}+y^{a+b+c}+z^{a+b+c}\geq x^{a}y^{b}z^{c}+x^{b}y^{c}z^{a}+x^{c}y^{a}z^{b}$

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=2.CMR:

TÌm max của biểu thức : A=$\sum \frac{bc}{a^2+1}\leq 1$

 Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=2. CMR:
$\sum \frac{bc}{a^2+1}\leq 1$

Cho tan x=1/2, tan y =1/3. TÍnh tan(x+y)

Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1006. CMR:
$\sum \sqrt{2012a+\frac{(b-c)^2}{2}}\leq 2012\sqrt{2}$

Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1006. CMR:
$\sum \sqrt{2012a+\frac{(b-c)^2}{2}}\leq 2012\sqrt{2}$

Tìm max của biểu thức :
$P=\sqrt{4x-x^{3}}+\sqrt{x+x^{3}}$   với $0\leq x\leq 2$

@MOD: chú ý cách đặt tiêu đề

Tìm các bộ số nguyên dương x,y,z sao cho

(x+y+z)^2-2x+2y là số chính phương

Tìm các bộ số nguyên dương x,y,z sao cho

(x+y+z)^2-2x+2y là số chính phương

Tìm các bộ số nguyên dương x,y,z sao cho

(x+y+z)^2-2x+2y  là số chính phương

Đề USAMO 2014

http://www.artofprob...id=27&year=2014

Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác sao cho $\sum a^2=\frac{1}{9}$. CMR:

 $\sum (2a+2b-c)^3\geq \frac{1}{\sqrt{3}}$

Cho đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng d tại H .M,N di chuyển trên d sao cho vecto HM nhân vecto HN =-k² không đổi.Các tiếp tuyến MA,NB.CMR AB đi qua điểm cố định.

Cho a,b,c>0.CMR

$\sum (a+1-\frac{1}{b})(b+1-\frac{1}{c})\geq 3$

Tớ làm được rồi.Cảm ơn

Cho 2 đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B.Lấy điểm C trên AB (C không thuộc đoạn AB) .Vẽ tiếp tuyến CD với (O). Vẽ tiếp tuyến DE,DF với (O'). Lấy I là trung điểm của EF.CMR CD = CI

Cho tam giác ABC .O,I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp .Lấy J đối xứng với I qua O.Qua I vẽ đường thẳng vuông góc với AI cắt BC tại M.

CMR AJ vuông góc với AM