Theo mình thì hướng bài này là :

$\Delta =m^{4}-8(m+1)$

Vậy để pt có nghiệm nguyên thì : $m^{4}-8m-8\geq 0$ và là số chính phương và m nguyên dương.

* Bài 2 : $A=\frac{1}{x}+\frac{25}{y}+\frac{64}{z}=\frac{4}{4x}+\frac{225}{9y}+\frac{1024}{16z}=\frac{2^{2}}{4x}+\frac{15^{2}}{9y}+\frac{32^{2}}{16z}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopski dạng phân thức, có : $A\geq \frac{(2+15+32)^{2}}{4x+9y+16z}=49 (do:4x+9y+16z=49)$

Dấu bằng như anh leminhnghiatt

*Bài 1 : Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopshia, có :

$(x+3y)^{2}\leq (1+9)(x^{2}+y^{2})\leq ...$  Em ko chắc đúng ko, nhưng đây là hướng của em.

P/S Đồng hương chị ơi !   

Có : $\frac{x}{z+y+1}=\frac{y}{x+z+1}=\frac{z}{x+y-2}=\frac{x+y+z}{2(x+y+z)}=x+y+z=\frac{1}{2}$

Từ đó, ta có : $\frac{z}{x+y-2}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2z=x+y-2\Rightarrow 2z+2=x+y$

Lại có : $x+y+z=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2z+2+z=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 3z=\frac{1}{2}-2=\frac{-3}{2}\Leftrightarrow z=\frac{-1}{2}$

Từ đó tìm đc x, y

Dạng đề tương tự : 

Tìm các số a, b, c khác 0 sao cho : $\frac{a^{2}}{b}-c=\frac{b^{2}}{c}-a=\frac{c^{2}}{a}-b$

Chưa chắc A³ nguyên thì A nguyên đâu. Ví dụ : $A=\sqrt[3]{2}$ là số vô tỉ nhưng $A^{3}=(\sqrt[3]{2})^{3}=2$ là số nguyên.....

chưa hiểu bạn ạ...đề là $\frac{x^{3}}{1+y}+\frac{y^{3}}{1+x}$ mà sao bạn lại làm $\frac{x^{4}}{x(1+y)}+\frac{y^{4}}{y(1+x)}$

Có gì đâu bạn, đây là phép tính hiển nhiên mà  .

Nhân cả tử và mẫu của $\frac{x^{3}}{1+y}$ cho x, ta có : $\frac{x^{3}}{1+y}=\frac{x^{4}}{x(1+y)}$

Câu 4 : 

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopski dạng đa thức cho 2 bộ số : $(\sqrt{a};\sqrt{b})$ và $(\sqrt{x};\sqrt{y})$ , ta có :

$(\sqrt{a}.\sqrt{x}+\sqrt{b}.\sqrt{y})^{2} \leq ((\sqrt{a})^{2}+(\sqrt{b})^{2})((\sqrt{x})^{2}+(\sqrt{y})^{2})=(a+b)(x+y)\Rightarrow \sqrt{(\sqrt{ax}+\sqrt{by})^{2}}=\sqrt{ax}+\sqrt{by} \leq \sqrt{(a+b)(x+y)}$ 

Vì : a, b, x, y dương nên ta có đpcm. 

Dấu bằng xảy ra khi : $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$

Câu 5 :

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopski dạng phân thức, ta có  :

$A=...=\frac{x^{4}}{x(1+y)}+\frac{y^{4}}{y(1+x)} \geq \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{x+y+2xy}=\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{x+y+2}(do:xy=1)$

Vậy Bất đẳng thức cần chứng minh là :

 $\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{x+y+2} \geq 1 \Leftrightarrow x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4} \geq x+y+2\Leftrightarrow x^{4}+2+y^{4} \geq x+y+2 \Leftrightarrow x^{4}+y^{4}\geq x+y$ (1)

Do : $xy=1\Rightarrow x=\frac{1}{y}$ và $x;y \leq 1$ (x, y dương)

Thế vào (1), ta có : $\frac{1}{y^{4}}+y^{4}\geq \frac{1}{y}+y$ (luôn đúng với mọi : $y \leq 1$)

Vậy,t a có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi : x=y=1

P/S : BÀI VIẾT 100.   

Bài 15 quen thuộc : Chứng minh 1 < A < 2 là xong. 

Cho hai số $2^{n}$ và $5^{n}$  viết liên tiếp nhau tạo thành một số có 2015 chữ số. Tìm n

Số dãy con là số lượng dãy con có trong một mảng thỏa tính chất gì đó. 

Ví dụ : Cho mảng A gồm các pt : 1 2 5 3 9 8 17 11. Tìm một dãy con của mảng A sao cho dãy đó gồm số nguyên tố. 

Theo bài này thì có 2 dãy con : (2;5;3) và (17;11) vì 9; 8 ko là số nguyên tố (Pascal)

(Mình nghĩ là vậy   ).

Sao bạn có đc điều đó ?

Do : $y\in \mathbb{Z} \Rightarrow (y;y+1)=1$ (hiển hiên). Hoặc có thể hiểu là  : do $y\in \mathbb{Z}\Rightarrow y;y+1$ là hai số nguyên liên tiếp nên là hai số nguyên tố cùng nhau. 

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức sau:

$P=\frac{3x^{2}+10x+11}{x^{2}+2x+3}$

Ta sẽ chứng minh $P\geq \frac{1}{7}$, ta có:

$P-\frac{1}{7}=\frac{(3x-1)(2x+1)}{x^{2}-x+1}\geq 0\\\Rightarrow \min P=\frac{1}{7}\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$

 

Ta sẽ chứng minh $P\leq 1$, thật vậy:

$P-1=\frac{x^{2}}{x^{2}-x+1}-1=\frac{x-1}{x^{2}-x+1}\leq 0\\\Rightarrow \max P=1\Leftrightarrow x=1$

 

P.s: Lời giải không tự nhiên cho lắm 

Anh cho em hỏi là cách nào để anh chọn hai số $\frac{1}{7}$ và số 1 vậy anh. 

Đổi biến $(x,\frac{1}{y})\rightarrow (x,y)$

Bài toán trở thành $x+y \leqslant 1$.Tìm min $xy+\frac{1}{xy}$

Áp dụng AM-GM $xy+\frac{1}{xy} \geqslant \frac{1}{2} +\frac{15}{16xy} \geqslant \frac{1}{2} +\frac{15}{4(x+y)^{2}} \gegslant \frac{17}{4}$

Mình ko hiểu tại sao bạn có thể đổi biến như vậy ?? (Ngay đoạn đỏ) 

* Bài 1 :

Cho các số $a,b,c$ thỏa : $a\geq 72;b\geq 60;c\geq 55$

Tìm min : 

$P=\frac{ab\sqrt[12]{c-55}+bc\sqrt[19]{a-72}+ca\sqrt[21]{b-60}}{abc}$

 * Bài 2 :

Tìm số nguyên tố $n$ để $n^{3}+9$ là số chính phương. 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

 

Nếu a = b = c thì hình như là : $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.

Cho các số thực x,y thỏa mãn $x+y+4=0$. Tìm Max của

$A=2(x^{3}+y^{3})+3(x^{2}+y^{2})+10xy$

Có : 

$A=2(x^{3}+y^{3})+3(x^{2}+y^{2})+10xy$

$\Leftrightarrow A=2(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+3(x^{2}+y^{2})+10xy$

$\Leftrightarrow A=-5(x^{2}+y^{2})+18xy$

Phần : $-5(x^{2}+y^{2})$ đánh giá max bằng BĐT Bunhia

Phần : $18xy$ dựa vào BĐT đc chứng minh bằng tương đương : $xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}$

C = 2x² + 2xy  + y² - 2x -2y +2 = x² + 2x(y - 1) + (y - 1)² + x² + 1 = (x + y - 1)² + x² + 1

Đến đây là dễ rồi

Đúng rồi, cho nên mình mới nói nó sai sai ở đâu đó. Mình đang coi lại đây. Hic.... Bài BĐT nào đăng lên cũng bị sai, phải coi lại kiến thức rồi. Nhưng mà mình lại ko hỉu là mình Cô-si đúng hết mà.

Bài 5 :

$T=...=\frac{1}{a^{2}}+\frac{(ab+1)^{2}}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{(ab+1)^{2}}{b^{2}}=[1+(ab+1)^{2}](\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})$

Ta có : 

$[1+(ab+1)^{2}]\geq 2(ab+1);(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})\geq \frac{2}{ab}\Rightarrow [1+(ab+1)^{2}](\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})\geq \frac{4(ab+1)}{ab}=4+\frac{4}{ab}$ 

mà : $\frac{(a+b)^{2}}{4}\geq ab \Rightarrow \frac{1}{4}\geq ab\Rightarrow \frac{4}{ab}\geq 16$

Vậy T>=4+16=20

P/S : Mong mọi người coi lại lời giải dùm mình, sao mình cứ thấy nó sai sai ở đâu đấy ...   

Bài 3 đấy bạn. http://diendantoanho...bc/#entry627271

bạn tham khảo : http://diendantoanho...ca/#entry630020

ko bạn, mình có cả cuốn chứ ko có bản PDF

Cuốn này này bạn.

Có bạn nào có tài liệu về các dạng phương trình đặc biệt cho mình xin với. (phương trình không có dấu căn)   

_ $\Delta ABC$ vuông tại A, có : $\widehat{ABC}=30^{O}$ $\Rightarrow \Delta ABC$ là nửa tam giác đều $\Rightarrow AC = \frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5$ (cm) và $AB=AC.\sqrt{3}=5\sqrt{3}$ (cm).

_ Trên cạnh BC, lấy điểm E sao cho AD là phân giác góc BAE. Kẻ EF vuông góc AB (F thuộc AB).

_ Dễ chứng minh tam giác AEC đều nên AE = AC = EC = 5 (cm)

_ Do AD là p/g góc BAE (cách dựng) nên : $\widehat{BAE}= 2.\widehat{BAD}=2.15^{O}=30^{O}$ , mà : $\widehat{EBA}=30^{O}$

nên $\Delta EAB$ cân tại E $\Rightarrow AE=BE=5$ 

_ Do : EC = 5 nên BE = BC - EC = 10 - 5 = 5 (cm)

Tính chất đường phân giác trong 1 tam giác : Trong tam giác ABC, gọi AD là tia phân giác, ta có : $\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}$

(Đây là 1 định lí của lớp 8, nên việc chứng minh bạn có thể đọc thêm)

_ Do AD là p/g góc BAE nên : $\frac{BD}{AB}=\frac{DE}{AE}= \frac{BD+DE}{AB+AE}=\frac{BE}{AB+AE}=\frac{5}{5 \sqrt{3}+5}\Rightarrow DE=\frac{AE.5}{5 \sqrt{3}+5}=(do:AE=5 cm)$

Vậy : $DC=DE+EC=\frac{5}{\sqrt{3}+1}+5=\frac{5+5\sqrt{3}}{2} (cm)$

P/S : Số khá xấu nhỉ !

Hướng khác : Nếu vẽ AE như mình thì AE cũng chính là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ABC.