Tam giác ABC có diện tích S, góc A là góc nhỏ nhất của tam giác. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho tam giác AMN có diện tích $S1\leq \frac{1}{2} S$. Tính độ dài lớn nhất của MN.

Giả sử $\widehat{B}\geqslant \widehat{C}$.

$MN$ lớn nhất khi và chỉ khi $M\equiv A$ và $N\equiv C$. Khi đó $MN=AC$ (cạnh lớn nhất của tam giác $ABC$)
 

Trong mặt phảng tọa độ $OXY$, cho parabol $(P): y=x^2+px+q$  $(q \neq 0 )$. Biết rằng $(P)$ cắt trục $Ox$ tại hai điểm $A, B$ và cắt trục $Oy$ tại $C$. Chứng minh rằng khi $p$ và $q$ thay đổi, đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ luôn đi qua điểm cố định.

Giả sử $A\left ( \frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2};0 \right )$ ; $B\left ( \frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2};0 \right )$ ; $C(0;q)$

Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC\Rightarrow x_I=-\frac{p}{2}$.

$IA^2=IB^2=\left ( \frac{\sqrt{p^2-4q}}{2} \right )^2+(y_I)^2$

$IC^2=\left ( \frac{p}{2} \right )^2+(q-y_I)^2$

$\Rightarrow \frac{p^2-4q}{4}+(y_I)^2=\frac{p^2}{4}+q^2+(y_I)^2-2qy_I\Rightarrow y_I=\frac{q+1}{2}$

Gọi $CD$ là dây cung vuông góc với trục $Ox$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC\Rightarrow x_D=x_C=0$.

       $M$ là trung điểm của $CD$.

$IM\perp CD\Rightarrow IM//Ox\Rightarrow y_M=y_I=\frac{q+1}{2}\Rightarrow y_D=2y_M-y_C=1$.

$\Rightarrow$ đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ luôn đi qua điểm cố định $D(0;1)$.

Bài 1: Một cái hộp đựng 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh.Lấy lần lượt 2 viên bi từ cái hộp
đó.Tính xác xuất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh.

Viên bi lấy lần thứ hai có thể là bất kỳ viên nào trong số $10$ viên. Xác suất nó là bi xanh là $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$.
 

Có 9 số tự nhiên. Đặt $A =$ tích của 9 số đó. Biết số ước nguyên tố phân biệt của A là 3. 

 

Chứng minh rằng trong 9 số có 2 số $x, y$ sao cho $xy$ là số chính phương.

 

Nhờ mọi người giúp đỡ ạ! Mình cảm ơn!

Gọi $9$ số tự nhiên đó là $A_1,A_2,A_3,...,A_9$.

$A=\prod_{i=1}^{9}A_i=p^{a}q^{b}r^{c}$ (với $p,q,r$ là các số nguyên tố phân biệt và $a,b,c$ là số nguyên dương)

Đặt $A_i=p^{a_i}q^{b_i}r^{c_i}$ (với $a_i,b_i,c_i$ là các số nguyên không âm)

Với mỗi số $A_i$, ta xét tính chẵn lẻ của bộ ba $(a_i,b_i,c_i)$.

Dễ thấy rằng có tất cả $2^3=8$ dạng : $(L,L,L);(L,L,C);...;(C,C,C)$

Vậy với $9$ số $A_i$, theo nguyên lý Dirichlet, chắc chắn có ít nhất $2$ số có cùng dạng (tức là có cùng tính chẵn lẻ của bộ ba $(a_i,b_i,c_i)$ $\Rightarrow$ tích của $2$ số này là số chính phương.
 

  Isaac Newton (1643 - 1727), nhà vật lý và toán học người Anh, là người đầu tiên xây dựng cơ sở cho việc tính toán khối lượng Mặt Trời, Trái Đất, Mặt Trăng, các hành tinh và các thiên thể trong vũ trụ.

  Một trong các định luật quan trọng của ông, ngày nay gọi là định luật II Newton phát biểu rằng : "Gia tốc của một vật cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỷ lệ thuận với độ lớn của lực và tỷ lệ nghịch với khối lượng của vật, nghĩa là $\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}$"

  Một định luật khác của ông, gọi là định luật Vạn vật hấp dẫn, phát biểu : "Lực hấp dẫn giữa hai chất điểm bất kỳ tỷ lệ thuận với tích hai khối lượng của chúng và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng, tức là $F_{hd}=G\frac{m_1m_2}{r^2}$"

  Tiếc rằng Newton vẫn chưa tính được khối lượng Mặt Trời vì chưa đo được hằng số hấp dẫn $G$. Mãi đến năm 1797, Henry Cavendish mới lần đầu tiên xác định được $G\approx 6,67.10^{-11}Nm^2/kg^2$.

  Biết rằng khoảng cách trung bình từ Trái Đất đến Mặt Trời là $149,6$ triệu km (xem như quỹ đạo tròn) và thời gian Trái Đất chuyển động đúng một vòng trên quỹ đạo là $365,2564$ ngày. Liệu bạn có thể làm được điều mà Newton trước đây chưa làm được ?

cho đa thức f(x) với các hệ số nguyên .Tìm hệ số tự do biết giá trị tuyệt đối của nó nhỏ hơn 1000 và  f(23)=f(89)=2389

Gọi số hạng tự do của đa thức là $c$.

$f(23)=2389$ chia $23$ dư $20\Rightarrow c$ chia $23$ dư $20$ hay $c=23a+20$ ($a\in \mathbb{Z}$)

$f(89)=2389$ chia $89$ dư $75\Rightarrow c$ chia $89$ dư $75$ hay $c=89b+75$ ($b\in \mathbb{Z}$)

$\Rightarrow 23a+20=89b+75\Rightarrow 89b+55\ \vdots\ 23\Rightarrow 20b+9\ \vdots\ 23\Rightarrow b=3+23k$ ($k\in \mathbb{Z}$)

Vậy $c=89b+75=89(23k+3)+75=2047k+342$

Vì $\left | c \right |< 1000$ nên chọn $k=0$ suy ra $c=342$.

Cho f(x) là hàm liên tục trong khoảng [a;b] và $a\leq f(x)\leq b\forall x\in [a;b]$. Chứng minh rằng tồn tại $x_{o}\in [a;b]$ sao cho $f(x_{0})=x_{o}$

Xét $2$ trường hợp :

1) $f(a)=a$ hoặc $f(b)=b$ : Khi đó $a$ (hoặc $b$) chính là điểm $x_0$ cần tìm.

2) $f(a)> a$ và $f(b)< b$ :

    Xét hàm $g(x)=f(x)-x$ (rõ ràng hàm này cũng liên tục trên $[a;b]$)

    $\left\{\begin{matrix}g(a)=f(a)-a> 0\\g(b)=f(b)-b< 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow g(a).g(b)< 0\Rightarrow \exists x_0\in (a;b):g(x_0)=0$

    $\Rightarrow \exists x_0\in (a;b):f(x_0)=x_0$ (điều phải chứng minh)
 

Mọi người giúp mình bài này với? Mình cảm ơn ạ.
Trong mặt phẳng cho hai tia Ox và Oy vuông góc với nhau ở O. Trên tia Ox lấy 10 điểm A1, A2,..., A10. Trên tia Oy lấy 10 điểm B1, B2,..., B10 thỏa mãn OA1=A1A2=A2A3=...=A9A10=OB1=B1B2=...=B9B10=1. Chọn ngẫu nhiên 1 tam giác có đỉnh nằm trong 20 điểm A1,.. , A10, B1,..., B10. Tính xác suất chọn được tam giác có đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với 1 trong 2 trục Ox hoặc Oy.
A. 1/228
B. 2/225
C. 1/225
D. 1/114

Số phần tử không gian mẫu : $2C_{10}^1C_{10}^2=900$.

Số tam giác có đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với $Ox$ hoặc $Oy$ là $4$ (các tam giác $A_3B_1B_9$, $A_4B_2B_8$, $B_3A_1A_9$, $B_4A_2A_8$)

Xác suất cần tìm là $\frac{4}{900}=\frac{1}{225}$.
 

Cho số tự nhiên $x$. Đổi chỗ các chữ số của $x$ theo một cách bất kì nào đó ta được $y$. Giả sử $|x-y|=\overset{\underbrace{2222.......22}}{\text{n chu so 2}}$. Tìm GTNN của $n$.

Dễ thấy $\left | x-y \right |\ \vdots\ 9\Rightarrow$ GTNN của $n$ là $222222222$.

Ví dụ một trường hợp : $\left\{\begin{matrix}x=246913580\\y=024691358 \end{matrix}\right.$ (còn vô số trường hợp khác nữa)
 

Từ phương trình $\sqrt{2}$ (sinx + cosx) = tanx + cotx, ta tìm được cosx bằng bao nhiêu?

Đặt $A=\sqrt{2}\ (\sin x+\cos x)$ và $B=\tan x+\cot x$

$A^2=2(1+2\sin x\cos x)=2+4\sin x\cos x\leqslant 2+4\left ( \frac{\sin^2x+\cos^2x}{2} \right )=4\Rightarrow |A|\leqslant 2$
$B^2=\tan^2x+\cot^2x+2\geqslant 2\tan x\cot x+2=4\Rightarrow |B|\geqslant 2$

Vậy ta có :

$\left\{\begin{matrix}A\in \left [ -2;2 \right ]\\B\in (-\infty;-2]\cup [2;+\infty)\\A=-2\Leftrightarrow \sin x=\cos x< 0\\B=-2\Leftrightarrow \sin x=-\cos x\\A=2\Leftrightarrow \sin x=\cos x> 0\\B=2\Leftrightarrow \sin x=\cos x \end{matrix}\right.\Rightarrow$ phương trình đã cho chỉ có nghiệm khi $\sin x=\cos x> 0$ hay $\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$.

(Bài   tập   về   nhà)      Cho   $(\!{\rm P}\!)$   qua   ${\rm M}(-1, 1\,/\,3, 0)$   và   có   $\vec{n_{{\rm p}}}= (2, 3, m)$   và   $(\!{\rm Q}\!)$   qua   ${\rm A}(-3, 2, 1),$    ${\rm B}(1, 3, -4),$    ${\rm C}(3, -1, \lambda)$     .

 

a/ Định  $\lambda, m$  để  $(\!{\rm P}\!)$  song song với  $(\!{\rm Q}\!)$

 

b/ Định hệ thức giữa  $\lambda$  và  $m$  để  $(\!{\rm P}\!)$  vuông góc với  $(\!{\rm Q}\!)$

$\overrightarrow{AB}=(4;1;-5)$ ; $\overrightarrow{BC}=(2;-4;\lambda +4)$$\Rightarrow \overrightarrow{n_Q}=(\lambda -16;-4\lambda -26;-18)$

a) $(P)//(Q)\Rightarrow \frac{\lambda -16}{2}=\frac{-4\lambda -26}{3}=\frac{-18}{m}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\lambda =-\frac{4}{11}\\m=\frac{11}{5} \end{matrix}\right.$

b) $(P)\perp (Q)\Leftrightarrow \overrightarrow{n_P}\perp \overrightarrow{n_Q}\Leftrightarrow 2(\lambda -16)+3(-4\lambda -26)-18m=0\Leftrightarrow 5\lambda +9m+55=0$.
 

CMR nếu $a$ là số tự nhiên chẵn thì mỗi số hạng của dãy số $a^{a}+1;a^{a^{a}}+1;a^{a^{a^{a}}}+1;...$ đều không chia hết cho một số lẻ bất kì

Thử chọn $a=2$ :

$a^a+1=5$ (chia hết cho $5$)

$a^{a^a}+1=17$ (chia hết cho $17$)

................................

................................

Và nếu chọn "số lẻ bất kỳ" là $1$ thì sao nhỉ ??? ---> đề sai !
 

Cho hai hàm số liên tục $f(x)$ và $g(x)$ có nguyên hàm lần lượt là $F(x)$ và $G(x)$ trên [0;2]. Biết $F(0)=0, F(2)=1, G(2)=1$ và$\int_{0}^{2}F(x)g(x)dx=3$ , Tính tích phân hàm I = $\int_{0}^{2}G(x)f(x)dx$

Đặt $u=G(x)$ ; $v=F(x)$. Ta có :

$\int_{0}^{2}G(x)f(x)dx=\int_{0}^{2}udv=uv\Bigg|_0^2-\int_{0}^{2}vdu=F(x)G(x)\Bigg|_0^2-\int_{0}^{2}F(x)g(x)dx=1-3=-2$

tìm m để hàm số sau xác định trên [1,3]:

$y=\sqrt{1-\left |2x^{2}+mx+m+15 \right |}$

 

Hàm số đã cho xác định trên $[1;3]\Leftrightarrow -1\leqslant 2x^2+mx+m+15\leqslant 1,\forall x\in \left [ 1;3 \right ]$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x^2+mx+m+16\geqslant 0,\forall x\in\left [ 1;3 \right ]\\2x^2+mx+m+14\leqslant 0,\forall x\in\left [ 1;3 \right ] \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-8$.
 

Bài toán: Tập $S$ gồm các số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số $0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8$. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $S$. Tính xác suất để số được chọn không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau.

Nhờ mọi người giải chi tiết bài trên giúp mình.

Xét $2$ trường hợp :

1) Số được chọn có $4$ chữ số lẻ, $2$ chữ số chẵn :

   - Xếp $4$ chữ số lẻ thành một hàng ngang sao cho giữa chúng và 2 đầu có $5$ chỗ trống ($4!$ cách)

     a) Có chữ số $0$ :

       - Chọn $2$ chữ số chẵn trong đó có chữ số $0$ ($4$ cách)

       - Chọn chỗ trống và điền chữ số $0$ vào ($4$ cách)

       - Điền chữ số chẵn còn lại ($4$ cách)

     b) Không có chữ số $0$ :

       - Chọn $2$ chữ số chẵn khác $0$ trong $4$ chữ số ($6$ cách)

       - Điền $2$ chữ số đó vào ($20$ cách)

2) Số được chọn có $3$ chữ số lẻ, $3$ chữ số chẵn :

   - Chọn $3$ chữ số lẻ ($4$ cách)

   - Xếp $3$ chữ số lẻ đó thành một hàng ngang sao cho giữa chúng và 2 đầu có $4$ chỗ trống ($3!$ cách)

     a) Có chữ số $0$ :

       - Chọn $3$ chữ số chẵn trong đó có chữ số $0$ ($6$ cách)

       - Chọn chỗ trống và điền chữ số $0$ vào ($3$ cách)

       - Điền $2$ chữ số chẵn còn lại ($6$ cách)

     b) Không có chữ số $0$ :

       - Chọn $3$ chữ số chẵn khác $0$ trong $4$ chữ số ($4$ cách)

       - Điền $3$ chữ số đó vào ($24$ cách)

Xác suất cần tính : $\frac{4!(4^3+120)+4.3!(6.3.6+4.24)}{8.P_8^5}=\frac{97}{560}$.

Khi tìm hiểu thiên văn học, chúng ta thường nghe nói đến hiện tượng giao hội. Vậy đó là hiện tượng gì ?

Chúng ta biết rằng trong hệ Mặt Trời, các hành tinh đều chuyển động xung quanh Mặt Trời theo các quỹ đạo gần tròn (tâm là Mặt Trời). Các quỹ đạo này có thể xem như cùng nằm trong một mặt phẳng. Nếu quan sát từ Trái Đất, trong quá trình chuyển động, có những lúc một hành tinh nào đó có cùng vị trí với Mặt Trời trên bầu trời (chúng che khuất lẫn nhau). Đó là hiện tượng giao hội của hành tinh đang xét.

Đối với các hành tinh trong (sao Thủy và sao Kim), có $2$ loại giao hội : nếu Mặt Trời ở giữa (Mặt Trời che khuất hành tinh) thì gọi là giao hội trên, nếu hành tinh ở giữa thì gọi là giao hội dưới.

Đối với các hành tinh ngoài (từ sao Hỏa trở ra) chỉ có giao hội trên nên gọi đơn giản là giao hội.

Thời gian giữa $2$ lần giao hội liên tiếp (đối với hành tinh ngoài) hoặc giữa $2$ lần giao hội cùng loại liên tiếp (đối với hành tinh trong) gọi là chu kỳ giao hội.

Quan sát từ Trái Đất, người ta biết được chu kỳ giao hội của sao Kim là $583,92$ ngày. Biết rằng chu kỳ chuyển động của Trái Đất trên quỹ đạo là $365,2564$ ngày. Bài toán dành cho các bạn kỳ này là hãy tính chu kỳ chuyển động trên quỹ đạo của sao Kim ? (Xem quỹ đạo của Trái Đất và sao Kim là tròn)

Cho hàm số $y=f(x)=x^3-(m+3)x^2+4mx-m^2$. Tìm điều kiện của $m$ để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt ?

GIẢI :

$y'=3x^2-2(m+3)x+4m$

$y'=0\Leftrightarrow 3x^2-2(m+3)x+4m=0\ (^*)$

$(^*)$ có $2$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m\neq 3$. Khi đó $2$ nghiệm là $2$ và $\frac{2m}{3}$

Điều kiện để đồ thị của $f(x)$ cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt là $f(2)$ và $f\left ( \frac{2m}{3} \right )$ đều khác $0$ và trái dấu nhau.

$f(2)=-m^2+4m-4=-(m-2)^2< 0,\forall m\neq 2$

$f\left ( \frac{2m}{3} \right )=-\frac{4}{27}\ m^3+\frac{1}{3}\ m^2=\frac{m^2}{27}\left ( 9-4m \right )> 0,\forall m\in (-\infty;0)\cup \left ( 0;\frac{9}{4} \right )$

Tóm lại, điều kiện cần tìm là $\left\{\begin{matrix}m< \frac{9}{4}\\m\neq 0\\m\neq 2 \end{matrix}\right.$

Trên một mặt cầu có chứa 2n + 1 điểm phân biệt. Gọi tập điểm này là P. Chứng minh rằng
tồn tại một phép cắt hình cầu ra thành hai nửa bằng nhau sao cho một trong hai bán cầu
chứa ít nhất n + 2 điểm. Giả sử rằng nếu lát cắt đi qua một hoặc nhiều điểm thuộc P thì
những điểm này được xem là thuộc cả hai bán cầu.

Bài này cần thêm điều kiện $n\geqslant 1$.

Xét phép cắt hình cầu theo một đường tròn lớn bất kỳ đi qua $k$ điểm thuộc $P$ ($k\geqslant 2$). Giả sử số điểm thuộc $P$ thuộc hai bán cầu là $a$ và $b$ ($a\geqslant b$). Ta có :

$a\geqslant \left \lfloor \frac{(2n+1)-k+1}{2} \right \rfloor +k=\left \lfloor \frac{2n+2+k}{2} \right \rfloor=n+1+\left \lfloor \frac{k}{2} \right \rfloor\geqslant n+2$.
 

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $[0;1]$ và $f(0)=f(1)=0$ và $f(x)>0\forall x\in (0;1)$ . Chứng minh rằng với mỗi số thực $k\in (0;1)$ thì luôn tồn tại hai số thực a và b biết 1>a;b>0 sao cho $f(a)=f(b)$ và $\left | a-b \right |=k$

Hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0;1]$ suy ra hàm số $f(x+k)$ liên tục trên $[0;1-k]$.

Xét hàm $g(x)=f(x+k)-f(x)\Rightarrow$ hàm $g(x)$ cũng liên tục trên $[0;1-k]$.

$\left\{\begin{matrix}g(0)=f(k)-f(0)> 0\\g(1-k)=f(1)-f(1-k)< 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \exists\ b\in (0;1-k):g(b)=f(b+k)-f(b)=0$

Đặt $b+k=a$, dễ thấy rằng $a$ và $b$ đều thuộc $(0;1)$ và $f(a)=f(b)$.
 

Cho hàm số $y=f(x)=x^{3}+3x^{2}+9x+3$ Tìm k để 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và cùng có hệ số góc k đồng thời đường thẳng đi qua tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó với (C) cắt trục Ox, Oy tương ứng ở A và B sao cho $OB=2020OA$

$y'=f'(x)=3x^2+6x+9=3(x^2+2x+3)$

$y''=f''(x)=6x+6\Rightarrow I(-1;-4)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $f(x)$.

Giả sử $t_1$ và $t_2$ là hai tiếp tuyến với $(C)$ lần lượt tại $T_1$ và $T_2$ và thỏa mãn điều kiện đề bài.

Hàm số $f(x)$ có hệ số đầu tiên dương suy ra đường thẳng $AB$ (cũng là đường thẳng $T_1T_2$) có hệ số góc dương, và bằng $2020$

Mặt khác, đường thẳng $AB$ (đi qua $T_1$ và $T_2$) phải đi qua tâm đối xứng $I(-1;-4)$ của đồ thị.

Suy ra phương trình của đường thẳng $AB$ là $y=2020x+2016$

$x_{T_1}$ và $x_{T_2}$ là các nghiệm khác $-1$ của phương trình $x^3+3x^2+9x+3=2020x+2016$

hay $(x+1)(x^2+2x-2013)=0$

Vậy $x_{T_{1,2}}=-1\pm \sqrt{2014}$

Và $k=f'(x_{T_{1,2}})=3(x_{T_{1,2}}^2+2x_{T_{1,2}}+3)=3[(x_{T_{1,2}}^2+2x_{T_{1,2}}-2013)+2016]=6048$.
 

 

Có 70 viên bi, trong đó có 20 bi đỏ, 20 bi xanh, 20 bi vàng, 5 bi trắng và 5 bi đen. Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên bi để chắc chắn có:

a. Hai viên bi khác màu. b. Hai viên bi cùng màu.

c. Mười viên bi cùng màu. d. Có đủ tất cả các màu bi

 

d) $70-5+1=66$ (viên)
 

Giải phương trình $\displaystyle (x^2-7x+11)^{\displaystyle 15x^3-26x^2-13x+28}=1$.

Xét các trường hợp :

1) $x^2-7x+11=1\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=5$ : Nghiệm đúng phương trình đã cho.
2) $x^2-7x+11=-1\Leftrightarrow x=3$ hoặc $x=4$ : Nghiệm đúng phương trình đã cho.

3) $x^2-7x+11=0$ : Không thỏa mãn phương trình đã cho.

4) $x^2-7x+11$ khác $1;-1$ và $0$ :

     $\left\{\begin{matrix}15x^3-26x^2-13x+28=0\\x^2-7x+11\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=\frac{4}{3}$ hoặc $x=\frac{7}{5}$

Vậy tập nghiệm là $S=\left \{ -1;\frac{4}{3};\frac{7}{5};2;3;4;5 \right \}$

Cho hai số thực $a,b$ và hàm số

\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
a{x^2} + bx + 1{\text{ khi }}x \le 2\\
\dfrac{{{x^2} - 2x + a + 2 - x\sqrt {x - 1} }}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{\text{ khi }}x > 2
\end{array} \right.\]

Tính tổng $T=a+b$ biết rằng hàm số đã cho liên tục trên tập xác định của nó.

$f(x)$ liên tục tại $x=2\Rightarrow \lim_{x\to 2^+}f(x)$ phải tồn tại $\Rightarrow a=0$.

$\Rightarrow \lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}\frac{x^2-2x+2-x\sqrt{x-1}}{(x-2)^2}=\lim_{x\to 2^+}\frac{(x^2-4x+4)-[x\sqrt{x-1}-(2x-2)]}{(x-2)^2}$

    $=1-\lim_{x\to 2^+}\frac{\sqrt{x-1}(x-2\sqrt{x-1})}{(x-2)^2}=1-\lim_{x\to 2^+}\frac{\sqrt{x-1}}{x+2\sqrt{x-1}}=\frac{3}{4}$

$\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^+}f(x)\Rightarrow 4a+2b+1=2b+1=\frac{3}{4}\Rightarrow b=-\frac{1}{8}$.

Vậy $T=a+b=-\frac{1}{8}$.
 

Cho hàm số $y=f(x)=x^3 - 3x$. Gọi đồ thị là (C).

a. CMR: Đường thẳng $(d): y=m(x+1) + 2$ luôn cắt (C) tại điểm A cố định.

b. Tìm m để (d) cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm A,B,C phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B và C vuông góc với nhau.

a) Đường thẳng $(d):y=m(x+1)+2$ luôn đi qua điểm cố định $A(-1;2)$

    Điểm $A(-1;2)$ lại thuộc $(C)$

    $\Rightarrow (d)$ luôn cắt $(C)$ tại điểm cố định $A(-1;2)$.

b) Điều kiện để $(d)$ cắt $(C)$ tại $3$ điểm phân biệt là phương trình $x^3-3x=m(x+1)+2$ có $3$ nghiệm phân biệt

    $\Leftrightarrow$ phương trình $(x+1)(x^2-x-2)=m(x+1)$ có $3$ nghiệm phân biệt

    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m> -\frac{9}{4}\\m\neq 0 \end{matrix}\right.$

    Khi đó, $(d)$ cắt $(C)$ tại $3$ điểm $A,B,C$ phân biệt với $x_A=-1$ ; $x_B=\frac{1-\sqrt{4m+9}}{2}$ ; $x_C=\frac{1+\sqrt{4m+9}}{2}$

    Gọi hệ số góc của tiếp tuyến với $(C)$ tại $B,C$ lần lượt là $k_B$ và $k_C$.

    $k_B=f'(x_B)=3(x_B^2-1)=\frac{6m+9-3\sqrt{4m+9}}{2}$

    $k_C=f'(x_C)=3(x_C^2-1)=\frac{6m+9+3\sqrt{4m+9}}{2}$

    Tiếp tuyến tại $B$ và $C$ vuông góc với nhau $\Leftrightarrow k_B.k_C=-1$

    $\Leftrightarrow 9m^2+18m+1=0\Leftrightarrow m=...$ hoặc $m=...$
 

mình không hiểu chỗ $m> \frac{-9}{4}$

phương trình $(x+1)(x^2-x-2)=m(x+1)$ có $3$ nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow$ phương trình $x^2-x-(m+2)=0$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $-1$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta =1+4(m+2)=4m+9> 0\\m\neq 0 \end{matrix}\right.$

(Nếu $m=0$ thì sẽ có một nghiệm là $-1$)