tìm hàm f từ R vào R 
thỏa mãn f(y+f(x))= f(x).f(y)+f(f(x))+f(y)-xy

bài này dùng phương pháp kẹp
f(1)=1 f(2^n)=4^n
chú ý với mọi m và k thì tồn tại l để 4^l<=m^(2k)<=4^(l+1) suy ra 2^l<=m^k<=2^(l+1)
do tính tăng suy ra f(2)^l<=f(m^k)<=f(2)^(l+1) chia cả hai vế cho m^2k thì 
ta có 1/4 <=f(2)^l/m^(2k)<=(f(m).m^2)^k <=f(2)^(l+1)/m^2k <=4
nếu f(m)>m^2 thì cho k đủ lớn suy ra ngay vô lý 
nếu f(m)<m^2 cũng chọn k đủ lớn suy ra 0>=1/4 cũng vô lý nên f(m)=m^2

dạng này dùng dãy số thôi

thiếu đề

với a >2 thì dễ quy nạp u_n >2 với mọi n , dãy tăng nữa nên nếu có tòn tại lim thì lim=2 vô lý 
với a=2 hoặc 1hoặc 0 thì dãy là dãy hằng rồi
với 0<a<1 thì chia làm 2 dãy , 1 dãy âm và 1 dãy dương , giảm dần theo trị tuyệt đối nên có giới hạn =0
với 1<a<2 thì sau một vài giá trị đầu lại đưa về xét th 0<a<1 nên cũng có lim 
nếu a<0 thì giá trị tiếp theo sẽ dương lại quy về trường hợp a>0

Cho x=y=1 có f(1)=1
Cho y=1 thì có 2x.f(x)>=x^2+f(x^2) (1)
Cho x=y=0 có f(0)=0 ta xét x khác 0 ,
Cho y=x ta có x.f(x^2)+x^2.f(x) >=f(x).f(x^2) +x^3 suy ra x^2.(f(x)-x)>=f(x^2)(f(x)-x) (2)
Nếu tồn tại x để f(x^2)<0 thì từ (2 )suy ra f(x)>=x với mọi x
Nếu tồn tại x để f(x)>x thì từ (2) ta cũng có ngay f(x^2)<x^2 vô lí suy ra f(x)=x nên f(x^2)=x^2 vô lý do ta gs tồn tại f(x^2)<0
Vậy f(x^2)>=0 với mọi x nên từ 1 ta có f(x) >=x/2 với mọi x >0 suy ra f(x^2)>=x^2/2 suy ra 2xf(x)>=(3/2 ).x^2 từ đây lại có f(x) >=3/4 x với mọi x cứ làm tương tự (thực ra xét dãy số ) thì có ngay f(x)>=x với mọi x >0
Bây giờ trong(2) gs tồn tại x để f(x) >x thì suy ra f(x^2)<x^2 vô lý vậy f(x)=x với mọi x >0
Tương tự với x<0 ta có ngay f(x)<=x từ (1)
Sau đó làm tương tự như trên cũng có ngay f(x)=x với mọi x<0
Kết luận f(x)=x với mọi x thuộc R

Cho x1=1 và x2=0 thì có ngay f(1)=1, f(0)=0 hoặc f(1)=0, f(0)=1 xét 2 trường hợp
Th1 f(1)=1 thì f(0)=0 thì trong đề thay x2=0 thì có ngay f(x)>=x
Cũng trong đề thay x1=1 x2 bởi x thì có 1-f(x)>=1-x suy ra f(x) <=x vậy f(x)=x
Trường hợpp còn lại tương tự nhé , f(x)=1-x

Lâu quá không ai giải . Đặt ci là số các số một ở cột thứ i suy ra sigma ciC2 <= (n^2+n+1)C2
Đánh giá bdt này có ngay sigma ci<=(n+1)(n^2+n+1)

Chú ý BCQP nội tiếp suy ra AI và AJ là đẳng giác góc A của tam giác ABC . Bây giờ chứng minh AM AN cũng đẳng giác . Kéo dài BC cắt PQ tại T áp dụng menelaus cho 2 tam giác PCT và BQT suy ra BM/MC=QN/NP suy ra đpcm
Chú ý BCQP nội tiếp suy ra AI và AJ là đẳng giác góc A của tam giác ABC . Bây giờ chứng minh AM AN cũng đẳng giác . Kéo dài BC cắt PQ tại T áp dụng menelaus cho 2 tam giác PCT và BQT suy ra BM/MC=QN/NP suy ra đpcm

mới làm đc bài bước nên up tạm, có time giải tiếp , nếu f(0) khác 0 thay y=0 x bởi f(0) suy ra f(0).f(f(0))=f(f0)/f(0) +f(0)   đặt f(0)=a suy ra a^2.f(a)=f(a)^2  +a^2 
suy ra a^2.(f(a)-1)= f(a)^2 suy ra a^2=f(a)^2/f(a)-1 thuộc Z suy ra f(a)-1 /f(a)^2 giải ra suy ra f(a)=0 hoặc 2
nếu f(a)=0 suy ra ngay a=0 vậy f(a)=2 suy ra a^2=4.............
 

cho x=y=0 suy ra không tồn tại hàm thỏa mãn 

vn tst 2009
cho a=b và c tiến đến 0 thì có điều kiện cần của k rồi cm tiếp nó là đk đủ 
đặt m=2a/b+c 
n=2b/c+a
p=2c/a+b
thì có mn+np+pm+mnp=4
ý tưởng vậy thôi , tết đến rồi , k viết lời giải chi tiết đc

câu a rất dễ 
cố định y z =0 cho x chạy thì f là toàn ánh trên tập Q
vậy tồn tại t mà f(t)=0 thay x=y=t z=1 vào thì đc f(t)=t=0 vậy f(0)=0  thay x=0 thì đc ngay hàm công tính nên f(x)=ax
thử lại đc a=1 
câu b tương tự , cho x=0 chú ý đc hàm nhân tính và hàm cộng tính thì f(x)=x 

P(x) là đa thức thì có dạng xác định là a_0.x^n +...+an
còn f(x) là hàm thì mình chưa biết đc nó ở dạng nào

bài này a nghĩ là đề bài thiếu rồi

bài này chưa có lời giải
có một vài trường hộp của số a thì giải đc thôi
với a bằng 1 thì mình có 1 lời giải nhưng cũng rất dài

đề này thiếu rồi , hình như vế phải có thêm +y thì phải

được bạn nhé , đây là pt hàm cơ bản, bạn có thể xem trong tài liệu chuyên toán 12 phần ví dụ của pt hàm trên tập số thực

cố đinh a suy ra b+c cố định 
từ đây dễ thấy bđt là hàm bậc 2 theo tích b.c và hệ số bậc 2 >0 suy ra ngay max đạt được tại biên tức là b.c =0 hoặc b.c =(b+c)^2/4
từ đây xét 2 trường hợp là đủ 
b=c hoặc b=0
 

Hàm cauchy rồi mà

 cho y=0 suy ra f(f(x))=0 với mọi x

thay x bởi f(x) vào đề có ngay f(y)=y.f(f(x)-f(y)) cho x=y đc ngay f(y)=y.f(0)
dễ chứng minh f(0)=0 vậy f(x)=0

đề  bài có vấn đề , cái trên phải cho là n dấu căn chứ :v

ước gì đọc được bài này trước khi đi thi vòng 2 hà nội , bài này là olympic toán sinh viên 2000 của london

Bài này không cần quá phức tạp gọi p là ước nguyên tố bé nhất của n
Suy ra p/a^n-1 đặt h =ord_a(p)
Nếu (a;p) khác 1 thì suy ra p/a suy ra ngay vô lý nên (a;p)=1
Suy ra h/(p-1)
h/n
Vậy h=1 suy ra p/ a-1 suy ra p=2 vô lý suy ra đpcm

lim bằng 0,7 nhé bạn