Bài toán:  Cho $a,b,c$ là những số thực dương thỏa mãn: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=\frac{4}{a+b-c}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\left ( a^{5}+b^{5}+c^{5} \right )\left ( \frac{1}{a^{5}}+\frac{1}{b^{5}}+\frac{1}{c^{5}} \right )$

Cho hàm số $f(x)=\left ( x^{2}+x+1 \right )^{2}$.

Đặt $U_{n}=\frac{f(1).f(3).f(5)...f(2n-1)}{f(2).f(4).f(6)...f(2n)}$

Tính $\lim_{n\rightarrow +\infty }\left (n\sqrt{U_{n}} \right )$

Cho $a,b,c$ là các số thực thay đổi thỏa mãn $a,b,c\in \left [ \alpha ;\beta  \right ]$  ( với $0<\alpha <\beta$ ), và số $k$ sao cho $k>0$.

Tìm $k$ để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất:

$P= \left ( \frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b} \right )^{k}$

Với mỗi giá trị của $k$, hãy tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của $P$

P.s : Lâu lâu chế được bài BĐT, up lên cho mọi người cùng giải

Cho a và b là hai số nguyên dương, gọi $S= a+b$ và $M= BCNN(a,b)$. Chứng minh rằng :

ƯCLN(a,b)= ƯCLN(S,M)

Bài này mình trích trong đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi (2012-2013)

Cho $a,b,c$ là những số thực thỏa mãn $abc< 0$ và $\left [ a+b+\sqrt{\left ( a+b \right )^{2}+1} \right ]\left ( c+\sqrt{c^{2}+1} \right )=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\left ( 1-ab-bc-ca \right )+\frac{9\left ( 4abc-3 \right )}{ab+bc+ca}$

P.s: Một bài toán tự chế lấy ý tưởng từ bài toán khác

Cho $a,b,c$ là những số thực dương thỏa mãn $0< \frac{ab+bc+ca-abc}{ab+bc+ca-1}\leq 1$. 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

   $P=\left ( a^{2}+2 \right )\left ( b^{2}+2 \right )\left ( c^{2}+2 \right )\left [ \left ( \frac{a+b+c-abc}{ab+bc+ca-1} \right )^{2}+2 \right ]$

Với mỗi số thực dương $n$, đặt $T_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$. Chứng minh rằng:

$$T_{n}-\textrm{C}_{n}^{1}T_{n-1}+\textrm{C}_{n}^{2}T_{n-2}-...+\left ( -1 \right )^{n-1}\textrm{C}_{n}^{n-1}T_{1}=\frac{\left ( -1 \right )^{n-1}}{n}$$

Cho $a,b,c$ là những số thực dương thỏa mãn: $ab+bc+ca=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$P=\frac{2a-b}{a\left ( 2a+b \right )}+\frac{2b-c}{b\left ( 2b+c \right )}+\frac{2c-a}{c\left ( 2c+a \right )}-2abc-2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$$

Bài tự chế

và không dễ 

Chứng minh đẳng thức sau:

$$\left ( C^{1}_{2016} \right )^{2}-\left ( C^{2}_{2016} \right )^{2}+\left ( C^{3}_{2016} \right )^{2}-...+\left ( C^{2016}_{2016} \right )^{2}=C^{1008}_{2016}$$

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện   $f(xy)+f(x+y)=f(xy+x)+f(y)$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$

Gọi $S$ là tập hợp gồm $100$ số nguyên dương bé hơn $200$. Chứng minh rằng tồn tại một tập khác rỗng $T$ con của $S$ sao cho tích tất cả các phần tử của $T$ là một số chính phương

  Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn tâm (O). Gọi CD là đường kính của đường tròn, qua D kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt đường thẳng AB tại E, nối E với O cắt cạnh BC, cạnh CA tại M và N.

1) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh bốn điểm O, D, E, I nằm trên một đường tròn;

2) Chứng minh O là trung điểm của MN.

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Cho ba số dương $x,y,z$ thỏa mãn $0<x<y<z$. Tìm min $P= \frac{x^{3}z}{y^{2}(xz+y^{2})}+\frac{y^{4}}{z^{2}(xz+y^{2})}+\frac{z^{3}+15x^{3}}{x^{2}z}$

Có bao nhiêu tập hợp con của tập hợp {1;2;3;4;...;2014} thoả mãn điều kiện: A có ít nhất 2 phần tử và nếu $x\epsilon A , y\epsilon A, x>y$ thì $\frac{y^{2}}{x-y}\epsilon A$

Cho các số thực dương thỏa mãn $ab+bc=b^{2}+c^{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

  $P=\frac{2a^{2}+bc}{6}+\frac{1}{a+2b+1}+\frac{1}{a+2c+1}$

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $xy-2(x+y)z-2=0$

Tìm $max$ $\frac{x}{x^{2}+2}+\frac{y}{y^{2}+2}-\frac{z^{2}}{4}-\frac{1}{2z^{2}+1}$

P/s: Giải bằng cách sử dụng đạo hàm

Cho $x,y,z\in R$ thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=8 & \\ x^{3}+y^{3}+z^{3}=1& \end{matrix}\right.$

Tìm $min$ $P=x^{4}+y^{4}+z^{4}$

Cho các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn : $x^{2}+y^{2}+6\vdots xy$

Tính $k=\frac{x^{2}+y^{2}+6}{xy}$

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn:$a^{2}+b^{2}+c^{2}=14$. Tìm max:

 $P=\frac{4(a+c)}{a^{2}+3c^{2}+28}+\frac{4a}{a^{2}+bc+7}-\frac{5}{(a+b)^{2}}-\frac{3}{a(b+c)}$

Cho a>1,b>1,c>1.Chứng minh rằng $\frac{4a^{2}}{a-1}+\frac{5b^{2}}{b-1}+\frac{3c^{2}}{c-1}\geq 48$

Ta có $\frac{x^{2}}{x-1}\geq 4$ với mọi $x>1$. Thật vậy : 

$\frac{x^{2}}{x-1}\geq 4\Leftrightarrow x^{2}\geq 4x-4\Leftrightarrow (x-2)^{2}\geq 0$ ( đúng )

Vậy $LSH\geq 4.4+5.4+3.4= 48$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=2$

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn : $5(a^2 + b^2 + c^2) = 9(ab + 2bc + ca)$

Tìm MAX:

$$ M = \frac{a}{b^2 + c^2} - \frac{1}{(a+b+c)^3}$$

Từ đề bài, ta có: $5a^{2}+5\left ( b+c \right )^{2}=9a\left ( b+c \right )+28bc\leq 9a\left ( b+c \right )+7\left ( b+c \right )^{2}\\\Rightarrow 5a^{2}-9a\left ( b+c \right )-2\left ( b+c \right )^{2}\leq 0\Rightarrow a\leq 2\left ( b+c \right )$

$\Rightarrow M\leq \frac{2a}{\left ( b+c \right )^{2}}-\frac{1}{\left ( a+b+c \right )^{3}}\leq \frac{4}{b+c}-\frac{1}{27\left ( b+c \right )^{3}}$

Đặt $\frac{1}{b+c}=t$, xét hàm số $f\left ( t \right )=4t-\frac{1}{27}t^{3}\Rightarrow f'(t)=4-\frac{1}{9}t^{2}=0\Rightarrow t=6$

Vì $f'(t)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $t=6$ nên $f(t)\leq f\left ( 6 \right )=16$

Vậy $\max P = 16$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{3} & \\ b=c=\frac{1}{12} & \end{matrix}\right.$

Cho $x,y,z \in (0;1)$

CMR: $\frac{1}{x(1-y)}+ \frac{1}{y(1-z)}+ \frac{1}{z(1-x)}\ge \frac{3}{xyz+(1-x)(1-y)(1-z)}$

BĐT cần cm tg đg với 

$\frac{xyz+(1-x)(1-y)(1-z)}{x(1-y)}+\frac{xyz+(1-x)(1-y)(1-z)}{y(1-z)}+\frac{xyz+(1-x)(1-y)(1-z)}{z(1-x)}\geq 3$ (1)  

Ta có : $xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=xyz+(1-y)(1+xz-x-z)=xyz+(1-y)(1-z-x)+(1-y)xz= xz+(1-y)(1-z-x)$

Vậy$\frac{xyz+(1-x)(1-y)(1-z)}{x(1-y)}=\frac{xz+(1-y)(1-z-x)}{x(1-y)}=\frac{z}{1-y}+\frac{1-z}{x}-1$    

=> (1) <=> $\frac{1-z}{x}+\frac{x}{1-z}+\frac{z}{1-y}+\frac{1-y}{z}+\frac{y}{1-x}+\frac{1-x}{y}\geq 6$               (2)

Vì $x,y,z\epsilon \left ( 0;1 \right )$ nên$1-x,1-y,1-z> 0$

Dùng Cauchy cho  (2), suy ra dpcm

Cho x,y,z không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+xz}+\frac{z}{1+xy}$

Ta có $(x+y+z)^{2}=1+2(xy+yz+zx)\geq 1\Rightarrow (x+y+z)\geq 1$

Và $(x+y+z)^{2}\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})=3\Rightarrow (x+y+z)\leq \sqrt{3}< 3$

Vậy $1\leq (x+y+z)< 3$           $(1)$

$P=\sum \frac{x^{2}}{xyz+x}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{3xyz+x+y+z}$

Ta sẽ cm $P\geq 1$, tức là: $(x+y+z)^{2}-(x+y+z)-3xyz\geq 0$

$0\leq x,y,z\leq 1\Rightarrow (x-1)(y-1)(z-1)\leq 0\Leftrightarrow xyz\leq xy+yz+zx-x-y-z+1$$=\frac{1}{2}\left [ (x+y+z)^{2}-1 \right ]-(x+y+z)+1$

Vậy cần cm 

$(x+y+z)^{2}-(x+y+z)-3.\left \{ \frac{1}{2}\left [ (x+y+z)^{2}-1 \right ]-(x+y+z)+1 \right \}\geq 0\Leftrightarrow \left [ 1-(x+y+z) \right ]\left [ (x+y+z)-3 \right ]\geq 0$

đúng theo $(1)$

$\Rightarrow Q.E.D$

cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3. CMR: (a-b)(b-c)(c-a)$\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta sẽ cm BĐT mạnh hơn như sau:

$\left | (a-b)(b-c)(c-a) \right |\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$   

BĐT trên có vai trò $a,b,c$ như nhau nên ta có thể giả sử $a\geq b\geq c$, BĐT trở thành

$(a-b)(b-c)(a-c)\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta có:$(a-b)(b-c)(a-c)\leq ab(a-b)$, vì $a+b\leq 3\Rightarrow a\leq 3-b$

vậy $VT\leq ab(a-b)\leq b(3-b)(3-2b)=2b^{3}-9b^{2}+9b$

Xét hàm số $f(t)=2t^{3}-9t^{2}+9t$ trên $\left [ 0;3 \right ]$, ta có:

$f'(t)=6t^{2}-18t+9=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=\frac{3+\sqrt{3}}{2} & \\ t=\frac{3-\sqrt{3}}{2} & \end{bmatrix}$

Lập bảng biến thiên, ta được:

$f(t)\leq f\left ( \frac{3-\sqrt{3}}{2} \right )=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

BĐT được chứng minh, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} b=\frac{3-\sqrt{3}}{2} & & \\ a=\frac{3+\sqrt{3}}{2} & & \\ c=0 & & \end{matrix}\right.$

Cho$\left\{\begin{matrix}a,b,c\geq 0 \\ a^2+b^2+c^2=1 \end{matrix}\right.$Tìm Min của $S=a+b+c+\frac{1}{abc}$

$S\geq a+b+c+\frac{ab+bc+ca}{abc}=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq a+b+c+\frac{9}{a+b+c}\\= (a+b+c)+\frac{3}{a+b+c}+\frac{6}{a+b+c}\geq 2\sqrt{3}+\frac{6}{\sqrt{3}} =4\sqrt{3}$