Ta lại tiếp tục áp dụng pp "Cần cù bù thông minh" vào bài này

\[7{x^2} + 7x = \sqrt {\frac{{4x + 9}}{{28}}} \]
\[ \Leftrightarrow 28\left( {49{x^4} + 98{x^3} + 49{x^2}} \right) = 4x + 9\]
\[ \Leftrightarrow \left( {14{x^2} + 12x - 1} \right)\left( {98{x^2} + 112x + 9} \right) = 0\]

Giải 2 pt trên ta được 4 nghiệm nhưng chỉ có 1 nghiệm thỏa mãn đk là: $x = \frac{{5\sqrt 2 - 6}}{{14}}$

cho em hỏi sao a phân tích nhân tử hay z chỉ e ik

Bài toán 84 (sưu tầm)

cho a,b,c dương CMR

$\frac{a+b}{b+c}.\frac{a}{b+c+2a}+\frac{b+c}{c+a}.\frac{b}{a+c+2b}+\frac{a+c}{a+b}.\frac{c}{a+b+2c}\geq \frac{3}{4}$

Bài toán 75 (sưu tầm)

cho x,y,z>0 và x+y+z=3 CMR

$\frac{1}{xyz}\geq \sqrt[4]{\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{3}}$

3.b) Ta có $2=x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)=4-2(xy+yz+zx)\Leftrightarrow xy+yz+xz=1$

Thay $1=xy+yz+zx$ vào biểu thức $P$ ta có

$P=\sum y\sqrt{\frac{(xy+yz+zx+y^{2})(xy+yz+zx+z^{2})}{xy+yz+zx+x^{2}}}=\sum y\sqrt{\frac{(x+y)(y+z)(x+z)^{2}}{(x+y)(y+z)}}=\sum y(x+z)=xy+yz+xz+xy+zx+yz=2(xy+yz+zx)=2$

Do đó biểu thức $P$ không phụ thuộc vào $x;y;z$

bn ko dùng kí hiệu xich ma cho mik hỉu đc ko ?

$E \geq \frac{(a+b+c)^2)}{2(a+b+c)} \geq \frac{\sum \sqrt{ab}}{2}= \frac{1}{2}$
p/s: Câu này quen thuộc quá !

thật ra Thừa Thiên Huế vẫn chưa học đến bđt cauchy-schwarz đâu nên bài này có thể c/m = AM-GM =)

Bài toán 6 :

giải phương trình $4\sqrt{3x+4}+4\sqrt{2x+1}=x^{2}+12$

Mong các bạn tham gia đọc kĩ nội quy topic ,tránh để việc còn nhiều bài chưa có giải trong khi một số bạn vẫn tiếp tục đăng đề như trong topic của bạn Tăng ^-^

 Bài toán 1 , ĐKXĐ : $\frac{-9}{4}\leq x\leq -1$ hoặc $x\geq 0$

Phương trình đã cho tương đương với $(14x^2+12x-1)(98x^2+112x+9)= 0 \Leftrightarrow x \in (\frac{-8\pm \sqrt{46}}{14},\frac{-6\pm 5\sqrt{2}}{14})$

Vậy ta có thể kết luận nghiệm theo điều kiện bài toán

 

Ngoài ra các bạn có thể dùng cách nhân liên hợp ,khá hữu dụng !

cho em hỏi cách a tư duy để có thể đưa ra pt tích như z ạ tks a =)

cho a,b,c thuộc [0;2] và a+b+c=3

C/M : $3\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}-3(a-1)(b-1)(c-1)\leq 9$

Đặt $2^a,2^b,2^c$ lần lượt là $a,b,c$
Ta có $Q.E.D\iff ab + ac + bc < 2abc +1$ ( với $a,b,c > 1$)

Đặt $a = x+1; b = y +1; c = z +1$ thì $x,y,z > 0$

BĐT $\iff 2xyz + (xy+yz+zx) > 0$ ( luôn đúng )

Vậy ta có điều cần chứng minh. $\square$

hình như đề sai ở ĐK vì ta thấy điều vô lý khi a=1,1;b=1,2;c=1,3 (nói chung là a,b,c lui dần về 1) 

hình như đề sai ở ĐK bởi vì ta thấy ngay điều vô lý khi a=b=c=1,1

tìm nghiệm nguyên dương pt $x^{3}(2x^{4}+3xy^{2}+10-2y)=3y^{3}+10y+1111$

1.PNG

cụ thể được hk bn ??

Bài 1:

Vì $x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow x^2,y^2,z^2 \leqslant 1$

Do đó: $P=xy+yz+xz+\frac{1}{2}[x^{2}(y-z)^{2}+y^{2}(x-z)^{2}+z^{2}(x-y)^{2}] \leqslant xy+yz+xz+\frac{1}{2}[(y-z)^{2}+(x-z)^{2}+(x-y)^{2}]=x^2+y^2+z^2=1$

Dấu $"="\Leftrightarrow x=y=z$

Bài 2: Áp dụng BĐT: $\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2} \geqslant \dfrac{1}{a+ab}$(chứng minh bằng biến đổi tương đương)

Ta có: $P=\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c}{4a}=\frac{1}{\left ( 1+\frac{b}{a} \right )^2}+\frac{1}{\left ( 1+\frac{c}{b} \right )^2}+\frac{1}{4}.\frac{b}{a}.\frac{c}{b}\geq \frac{1}{1+\frac{b}{a}.\frac{c}{b}}+\frac{1}{4}.\frac{b}{a}.\frac{c}{b}=\left ( \frac{\frac{b}{a}.\frac{c}{b}+1}{4}+\frac{1}{1+\frac{b}{a}.\frac{c}{b}} \right )-\frac{1}{4}\geq 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

bn chứng minh giúp mik phần bổ đề lun nha tks nhìu =)

1) cho x,y,z là 3 số thay đổi thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ . tìm GTLN của 

$P=xy+yz+xz+\frac{1}{2}[x^{2}(y-z)^{2}+y^{2}(x-z)^{2}+z^{2}(x-y)^{2}]$

2)cho a,b,c là 3 số thực dương thay đổi

tìm GTNN của $S=\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c}{4a}$

Bài 1:

Vì $x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow x^2,y^2,z^2 \leqslant 1$

Do đó: $P=xy+yz+xz+\frac{1}{2}[x^{2}(y-z)^{2}+y^{2}(x-z)^{2}+z^{2}(x-y)^{2}] \leqslant xy+yz+xz+\frac{1}{2}[(y-z)^{2}+(x-z)^{2}+(x-y)^{2}]=x^2+y^2+z^2=1$

Dấu $"="\Leftrightarrow x=y=z$

Bài 2: Áp dụng BĐT: $\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2} \geqslant \dfrac{1}{a+ab}$(chứng minh bằng biến đổi tương đương)

Ta có: $P=\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c}{4a}=\frac{1}{\left ( 1+\frac{b}{a} \right )^2}+\frac{1}{\left ( 1+\frac{c}{b} \right )^2}+\frac{1}{4}.\frac{b}{a}.\frac{c}{b}\geq \frac{1}{1+\frac{b}{a}.\frac{c}{b}}+\frac{1}{4}.\frac{b}{a}.\frac{c}{b}=\left ( \frac{\frac{b}{a}.\frac{c}{b}+1}{4}+\frac{1}{1+\frac{b}{a}.\frac{c}{b}} \right )-\frac{1}{4}\geq 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

cho mik hỏi tip đoạn cuối câu 2 bạn biến đổi ntn z?? 

tìm số thực x,y,z thỏa $x+y+z+\sqrt{xyz}=2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})$

cho (O) và 2 điểm A,B cố định .một đường thẳng quay quanh A cắt (O) tại M,N. CMR : tâm đường tròn nội tiếp $\Delta BMN$ thuộc một đường thẳng cố định

$\left\{\begin{matrix} &3(2-x)\sqrt{2-y^{2}}=2-y+\frac{4}{x+1} & \\ &(x^{2}-2+xy-x+y)\sqrt{2-y^{2}}+2=x+y & \end{matrix}\right.$

cho pt $(m-2)x^{4}-2(m+1)x^{2}+2m-1=0$

tìm m để phương trình có 

a,4 nghiệm pb

b,3 nghiệm pb

c,2 nghiệm pb

d,1 nghiệm pb 

Cho $a,b,c >0$ thỏa $a+b+c=3$

Tìm GTNN của $\sum \frac{a}{b^{3}+ab}$

cho tam giác ABC ,AB=AC=23a23a,BC=a .Đường cao AE ,tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (o) .đường tròn (o) tiếp xúc cạnh AC tại F.

a)tính BF

b,CMR BF tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác EFC

cho a,b,c dương CMR

 $\sum \frac{a^{2}}{(2a+b)(2a+c)}\leq \frac{1}{3}$

cho a,b,c dương thay đổi thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a+b+c)\sqrt{ab+bc+ca}$

tìm Min của $P=a(a-2b+2)+b(b-2c+2)+c(c-2a+2)+\frac{1}{abc}$

 với mọi số thực a,b sao cho $a+b\geq 0$ ,$n\epsilon N^{*}$ ,chứng minh : 

$\frac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{n}$ 

Xài qui nạp

n=1 $\frac{a+b}{2}\geq \frac{a+b}{2}$ (đúng)

Giả sử mệnh đề trên đúng với mọi n. Ta cần cm nó đúng với n+1 hay:

$\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{n+1}$

Thật vậy, ta có:

$(\frac{a+b}{2})^{n+1}\leq \frac{(a+b)(a^{n}+b^{n})}{4}$

Ta cần cm: 

$\frac{(a+b)(a^{n}+b^{n})}{4}\leq (\frac{a+b}{2})^{n+1}$

<=> $(a-b)(a^{n}-b^{n})\geq 0$(*)

Ta có: a+b$\geq 0$ 

$=> \begin{bmatrix}a\geq \left | b \right |\geq b & \\ & b\geq \left | a\right |\geq a \end{bmatrix}$

$=> (*)$ luôn đúng dẫn đến mệnh đề đúng với n+1. Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm.

cho mik hỏi đoạn kế cuối là a+b>=0 ý s => 2 TH kia z? ghi chi tít jup mik