bài 1 đầu tiên bạn biến đổi tương đương sau đó bạn sẽ phải chứng minh $b^{3}a+a^{3}b+1\geq 2ab+(ab)^{2}$

đến đây sử dụng am-gm$\frac{b^{3}a+a^{3}b}{2}\geq (ab)^{2}$ và$\frac{a^{3}b}{2}+\frac{b^{3}a}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\geq 2ab$

dấu bằng xảy ra khi a=b=1

giải hệ phương trình {x3+4y=y3+16x1+y2=5(1+x2){x3+4y=y3+16x1+y2=5(1+x2)

từ pt2 suy ra $y^{2}=4+5x^{2}\rightarrow y^{3}=4y+5yx^{2}$ thế vào pt1 

ta được $x^{3}=5yx^{2}+16x\rightarrow x(x^{2}-5xy+16)=0$

đến đây chắc mi giải ra rồi

Khi tôi đã quyết định con đường cho mình, kẻ được nói tôi ngu ngốc chỉ có bản thân tôi mà thôi"-Roronoa Zoro(mi có câu hay đấy)

Cho a,b là các số thực dương n là số nguyên dương Chứng minh rằng

$\sqrt[n]{\frac{a^{n}+b^{n}}{2}}\geq \sqrt[n-1]{\frac{a^{n-1}+b^{n-1}}{2}}

Tiện thể các ban có thể phát biều giúp mình bất đẳng thức về trung bình lũy thừa đi thừa vs nha

$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}=\sum \frac{a^{4}}{b^{2}a-abc+c^{2}a}$ Sau đó dùng svac-->(1)

ở vế trái thì bé hơn hoặc bằng a+b+c(2)

bđt khi và chỉ khi (1)>=(2)

đoạn này chỉ cần biến đổi tương đương ...cuối cùng đúng do bđt schur

ta có $\sum \sqrt{\frac{ab+ac}{a^{2}+bc}}=\sum \frac{ab+ac}{\sqrt{(a^{2}+bc)(ab+ac)}}\geq \sum \frac{2(ab+ac)}{(a+b)(a+c)}= \sum \frac{2(ab+ac)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

cộng lại ta được luôn vế phải

Cho P(x) là đa thức có bậc không vượt quá n chứng minh:

$\sum_{i=0}^{n+1}P(i).(-1)^{i}.C_{n+1}^{i}=0$

bài này ở đề thi vào chuyên toán phan bội châu 20142015

dễ dàng cm x và y là 2 số nguyên dương $1+x+x^{2}+x^{3}=\left ( x+1 \right )\left (x ^{2} +1\right )=19^{y}$

x=0 thì y=0(tm)

x=1 thì y không tm

x>1 ta có y>1$x^{2}+1\geq x+1$ và$x^{2}+1$chia hết cho x+1

mặt khác x chẵn nên x+1 lẻ vì vậy$\left (x ^{2}+1,x+1 \right )=1$

do đó x+1=1 ktm

vậy x=y=0

Cho tam giác $ABC$ không cân có tâm nội tiếp $I,$ tâm ngoại tiếp $O.M,N$ lần lượt là đối xứng của $B,C$ qua $IC,IB.X$ là tâm đường tròn $(AMN).$ Chứng minh: 

a) $MN \perp OI.$

b) $R_{AMN}=OI.$

c) $A,X,O,I$ đồng viên.

Cho hàm số $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ liên tục thỏa mãn $f(f(x))=-x^{2}, \forall x \in \mathbb{R}.$

Chứng minh rằng $f(x) \leq 0 \forall x \in \mathbb{R}.$

trước tiên ta nhận thấy pt có 1 ngh là f(x) đồng nhất bằng 0

ta thấy f(f(0))=0 thay y bởi f(0) trong pt đầu ta được f(x^2)=xf(x) suy ra f là hàm lẻ

suy ra luôn tồn tại số thực a thỏa f(a)=0

th1: a khác 0 lúc này thay x bởi a ta được f(x) là hàm hằng...... 

th2: suy ra chỉ có một giá trị là x=0 thỏa mãn f(x)=0 

thay x bởi -y ta được f(x^2)=x^2 mọi x thực 

lại có do tính lẻ của hàm f suy ra f(x)=x vs mọi x thực

Vậy.....

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $d,$ tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $n! \vdots dn^{2}+1.$

bài này có đúng không vậy 

thật vậy nếu ta đặt p+q+r=a.a và p+q+r+3=b.b thì 3=(b-a)(b+a) do a,b là các số tự nhiên nên (b-a) và (b+a) đều là ước của 3 

đến đây dễ thấy không có nghiệm nào cả

Aops chưa giải à

ok rồi 

Cho các số x,y thoả mãn: $x^{4}+y^{4}+\frac{1}{xy}=xy+2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$\frac{2}{1+x^{2}}+\frac{2}{1+y^{2}}-\frac{3}{1+2xy}$

Cho các số x,y thoả mãn: $x^{4}+y^{4}+\frac{1}{xy}=xy+2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$\frac{2}{1+x^{2}}+\frac{2}{1+y^{2}}-\frac{3}{1+2xy}$

ai có hướng giải bài này không

bài nghệ an đây mà

câu 1:

đầu tiên ta có BA vuông góc với mp(ADC) . Kẻ AH vuông góc DC ( H thuộc DC). Kẻ AK vuông góc với BH ta suy ra d(A,(BCD)) =AK. Từ đó ta dể tính được AH 

để ý góc DAC=90 ta tính được AD từ đó ta tính được chiều cao 

Cho tứ giác  $ABCD$ nội tiếp có các đường chéo cắt nhau tại $P$. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng $Euler$ của các tam giác $PAB,PBC,PCD,PAD$ đồng quy.

Tác giả : Rostas Vittasko

bài pth xét 4 TH dễ thấy f(2)=0 hoặc f(2)=2 

th1 f(2)=0, f(1)=0

th2 f(2)=0, f(1)=3

th3 f(2)=2, f(1)=2

th4 f(2)=2, f(1)=1

cuối cùng có 3 nghiệm hàm là f(x) đồng nhất bằng 2,0 hoặc f(x)=x  (x là số thực)

bài 1 cũng có thể dùng số hạng tổng quát và số chính phương mod cũng được

bài pth có vẻ dễ xơi nhất 

dễ có f là một hàm đơn ánh ta chia 2 th như sau

th1 f(0)=-1 lúc này thay lần lượt x=y và x=0 rồi cho x=-f(x) ta tính được f(x)=-1 thử lại ktm

th2 f(0) khác 1 suy ra f là toàn ánh rồi suy ra f song ánh nên tồn tại duy nhất số thực a thỏa f(a)=0  

thế vào ta tính được a=0 hoặc f(0)=-1(đưa về th1)

khi a=0 hay ta có f(0)=a

thế lần lượt x=y,x=0 ta suy ra f(x)=x mọi x thực thử lại ta thấy thỏa vậy f(x)=x là nghiệm của bài toán

bài bất sử dụng bất đẳng thức chebyshev trực tiếp đoạn cuối có đánh giá một chút về hàm ta được đpcm bất đẳng thức xảy ra khi 3 số bằng nhau và bằng 1

sao mình không xem được nhỉ