Vì y,z không âm nên $x=\frac{3}{2}-y-z\leq \frac {3}{2}$ hay 2 - x > 0

Áp dụng bất đẳng thức dạng $4ab\leq (a+b)^2$, ta được: $2xy+4xyz=4xy(\frac{1}{2}+z)\leq 4x.\frac{(y+z+\frac{1}{2})^2}{4}=x(2-x)^2$

Ta cần chứng minh: $x+x(2-x)^2\leq 2(*)$

Đúng do: $(*)\Leftrightarrow  (2-x)(x-1)^2\geq 0$ 

Đẳng thức xảy ra khi $(x,y,z)=(1,\frac{1}{2},0)$

Giải phương trình: $x\sqrt{2x-2}=9-5x$

$ĐK:x\geq 1$

Bình phương hai vế, ta thu được: $2x^3-27x^2+90x-81=0$

$\Leftrightarrow (x-9)(x-3)(2x-3)=0$

$\Leftrightarrow x\epsilon   ({9,3,\frac{3}{2}})$

Thử lại ta được một giá trị x thỏa mãn là $\frac{3}{2}$

Vậy $x=\frac{3}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: $\sum \frac{x}{x^2+2}\leq\sum  \frac{x}{2x+1}$

Ta cần chứng minh: $\sum \frac{x}{2x+1}\leq 1(*)$

$(*)\Leftrightarrow x+y+z+1\geq 4xyz$ (Đúng do xyz = 1)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Ta có: $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})=abc+\frac{1}{abc}+a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq abc+\frac{1}{abc}+10$

Ta cần chứng minh: $abc+\frac{1}{abc}\geq \frac{730}{27}$

$\Leftrightarrow \frac{(27abc-1)(abc-27)}{27abc}$ (Đúng do  $abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}=\frac{1}{27}$)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Từ giả thiết suy ra $ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^2-3}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ca}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}=\frac{2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2-3}$

Ta cần chứng minh: $\frac{2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2-3}\geq \frac{9}{a+b+c}$

Đặt $a+b+c=t=\sqrt{3+2(ab+bc+ca)}>\sqrt{3}$

Ta quy về chứng minh: $\frac{2t^2}{t^2-3}\geq \frac{9}{t}(*)$

(*) đúng do nó tương đương:$ \frac{(t-3)^2(2t+3)}{t(t^2-3)}\geq 0$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:$(a+2b)^2=(\frac{2a+b}{2}+\frac{3a}{2})^2\geq 4.\frac{2a+b}{2}.\frac{3b}{2}=3b(2a+b)$

$\Rightarrow \frac{2a+b}{a(a+2b)}\leq \frac{a+2b}{3ab}$

Tương tự đối với các BĐT còn lại, ta được: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2a+b}{a\left ( a+2b \right )}+\frac{2b+c}{b\left ( b+2c \right )}+\frac{2c+a}{c\left ( c+2a \right )}$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c 

Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng phân thức: $\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}-8\geq \frac{(a+b)^2}{(a+b)-2}-8=\frac{(a+b-4)^2}{(a+b)-2}\geq 0$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 2

Ta có: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{3}{abc}$

Ta cần chứng minh: $\frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^2=9$

Lại có: $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)=9abc\Rightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 6\sqrt{abc}$

$\Rightarrow \frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq \frac{3}{abc}+6\sqrt{abc}=\frac{3}{abc}+3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}\geq 9$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BA TRI                                            ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9

                                                                                                                 Năm học: 2013-2014 Môn: Toán

                                                                                                       Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 2: (4 điểm)

     a) Cho $x\geq 1, y\geq 1$. Chứng minh $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}$

     b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa $a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

          $P=\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}$

 

a) $VT-VP=\frac{(x-y)^2(xy-1)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}\geq 0$ (Do $x\geq 1, y\geq 1$ nên $xy\geq 1$)

Đẳng thức xảy ra khi x = y

b) Ta có: $P=\sum \frac{ab}{a+b+2c}\leq \frac{1}{4}\sum (\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c})=\frac{1}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Ta có: $x+y+z=xyz\Rightarrow x=\frac{x+y+z}{yz}\Rightarrow x^2=\frac{x^2+xy+xz}{yz}\Rightarrow x^2+1=\frac{x^2+xy+yz+zx}{yz}=\frac{(x+y)(x+z)}{yz}$

$\Rightarrow \frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}=\frac{1+\sqrt{\frac{(x+y)(x+z)}{yz}}}{x}\leq \frac{1+\frac{\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z}}{2}}{x}=\frac{2+\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{x}{z})}{x}=\frac{2}{x}+\frac{1}{2}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Tương tự đối với các bất đẳng thức còn lại rồi cộng lại, ta được: $VT\leq 3(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\leq \frac{(x+y+z)^2}{xyz}=xyz(q.e.d)$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$

Từ giả thiết suy ra $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)$ (x,y,z < 1) thì xy + yz + zx = 1

Ta cần tìm GTNN của $P=\sum \frac{y^2(1-2x)}{x}$

Áp dụng Cô-si, ta được: $\frac{y^2(1-x)}{x}+x(1-x)\geq 2y(1-x)$

Tương tự rồi cộng lại: $P\geq x+y+z-2(xy+yz+zx)\geq \sqrt{3(xy+yz+zx)}-2(xy+yz+zx)=\sqrt{3}-2$ 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: $\frac{2x}{1-x}+\frac{1-x}{x}\geq 2\sqrt{2}$

Mà $(\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x})-(\frac{2x}{1-x}+\frac{1-x}{x})=\frac{2(1-x)}{1-x}+\frac{1-(1-x)}{x}=3$ nên $\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\geq 3+2\sqrt{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=\sqrt{2}-1$

Ta dễ có:$VT\geq \prod (3+\frac{4}{a+b})$

Đặt $(a+b,b+c,c+a)\rightarrow (x,y,z)$ thì $x+y+z=2(a+b+c)\leq 3$

Ta cần tìm GTNN của $(3+\frac{4}{x})(3+\frac{4}{y})(3+\frac{4}{z})=27+36(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+48(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})+\frac{64}{xyz}\geq 343$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c $=\frac{1}{2}$

$ĐK:x\geq \frac{-3}{2}$

$PT\Leftrightarrow (x+2)^2+2(x+2)=2\sqrt{2x+3}+(2x+3)$

Đặt $x+2=a,\sqrt{2x+3}=b$ thì phương trình được đưa về dạng: $a^2+2a=b^2+2b$

$\Leftrightarrow (a-b)(a+b+2)=0$

Dễ có: a + b + 2 > 0 nên a = b hay $x+2=\sqrt{2x+3}\Leftrightarrow (x+1)^2=0\Leftrightarrow x=-1$

Vậy x = -1

Ta có: $y=\frac{x}{3}+\frac{5}{2x-1}=\frac{2x^2-x+15}{6x-3}$

$\Rightarrow 6yx-3y=2x^2-x+15$

$\Leftrightarrow 2x^2-(6y+1)x+(3y+15)=0$

Coi đây là phương trình bậc 2 theo ẩn x thì $\Delta =(6y+1)^2-8(3y+15)=36y^2-12y-119$

Để phương trình có nghiệm thì $\Delta =36y^2-12y-119\geq 0\Leftrightarrow y\geq \frac{1+2\sqrt{30}}{6}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y là $\frac{1+2\sqrt{30}}{6}$, đạt được khi $x=\frac{\sqrt{30}+1}{2}$

$ĐK:x\neq 0,-\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}$

$PT\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2-x^2}+x}{x\sqrt{2-x^2}}=2\Leftrightarrow {\sqrt{2-x^2}+x}=2x\sqrt{2-x^2}$

Bình phương hai vế: $2+2x\sqrt{2-x^2}=4x^2(2-x^2)$

Tiếp tục bình phương hai vế rồi phân tích ta được phương trình: $4(x-1)^2(x+1)^2(2x^2-2x-1)(2x^2+2x-1)=0$

Thử lại chỉ có x = 1 và $x=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$ thỏa mãn 

Vậy $S=({1;\frac{-\sqrt{3}-1}{2}})$

Ta dễ có đẳng thức: $\frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{b-c}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b}=-1$

Ta luôn có: $(\frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a})^2\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum (\frac{a+b}{a-b})^2+2(\frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{b-c}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b})\geq 0$

Vậy $\sum (\frac{a+b}{a-b})^2\geq 2(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a} = 0$

Ta có: $(a+b)^5=a^5+b^5\Rightarrow 5ab(a+b)(a^2+ab+b^2)=0$

Dễ thấy: $a^2+ab+b^2=(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3b^2}{4}\geq 0$ nên $a^2+ab+b^2=0$ khi và chỉ khi a = b = 0. Lúc này ta có đpcm.

Trường hợp: Một trong 2 số a,b bằng 0 thì bài toán cũng được giải quyết

Xét a + b = 0 thì a = -b nên $a^7=-b^7\Rightarrow a^7+b^7=0=(a+b)^7$

Vậy ta đã hoàn tất chứng minh

* Xét các số tự nhiên khi chia cho 5 thì chỉ có số dư là 0, 1, 4. Giả sử trong 3 số a, b, c không có số nào chia hết cho 5 thì không thỏa mãn do nếu chỉ có số dư là 1 và 4 thì $a^2+b^2$ chia 5 dư 0,2,3 còn $c^2$ chia 5 dư 1,4. Vậy tồn tại một số chia hết cho 5. (1)

* Xét các số tự nhiên khi chia cho 3 thì chỉ có số dư là 0, 1.  Giả sử trong 3 số a, b, c không có số nào chia hết cho 3 thì không thỏa mãn do nếu chỉ có số dư là 1 thì $a^2+b^2$ chia 3 dư 2 còn $c^2$ chia 3 dư 1. Vậy tồn tại một số chia hết cho 3. (2)

* Xét các số tự nhiên khi chia cho 4 thì chỉ có số dư là 0, 1. Giả sử trong 3 số a, b, c không có số nào chia hết cho 4 thì không thỏa mãn do nếu chỉ có số dư là 1 thì $a^2+b^2$ chia 4 dư 2 còn $c^2$ chia 4 dư 1. Vậy tồn tại một số chia hết cho 4. (3)

Từ (1), (2), (3), suy ra abc chia hết cho 60 (đpcm)

Ta có: $p^2 + a^2 = b^2$ suy ra $p^2 = (b+a)(b-a)$

Vì p là số nguyên tố nên $p^2$ có 3 ước là 1;p;$p^2$

Vì a nguyên dương nên b + a > b - a do đó $p^2 = (b+a)(b-a) = p^2.1$

$\Rightarrow 2a=p^2-1$

Từ đó ta có: $2(p+a+1) = 2p+p^2-1+2=(p+1)^2$ (đpcm)

Vì a,b,c dương và $a^4+b^4+c^4=3$ nên $0<a,b,c<\sqrt[4]{3}\Rightarrow 0<ab,bc,ca<\sqrt{3}<2$

Xét BĐT phụ: $\frac{1}{4-ab}\leq \frac{(ab)^2+5}{18}\Leftrightarrow \frac{(2-ab)(ab-1)^2}{18(4-ab)}\geq 0(true)$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $VT\leq \frac{\sum (ab)^2+15}{18}\leq \frac{\sum a^4+15}{18}=1$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Nhân hai vế của bất đẳng thức với b + c, ta được: $\frac{a(b+c)}{b}+\frac{b(b+c)}{c}+\frac{c(b+c)}{a}\geqslant a+b+\frac{(b+c)^2}{a+b}+b+c$

$\Leftrightarrow \frac{ac}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{c^2}{a}\geqslant b+c+\frac{(b+c)^2}{a+b}$

Điều này đúng do: $\frac{c^2}{a}+\frac{b^2}{b}\geqslant\frac{(b+c)^2}{a+b}$

$\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geqslant 2c$

$\frac{b^2}{c}+c \geqslant 2b$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Giả sử a = max{a,b,c} thì $1\leqslant a<3$

Ta cần chứng minh: $8(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+42(a+b+c)-117\geqslant 10(a^2+b^2+c^2)$ 

$\Leftrightarrow (-10b^2+42b+\frac{8}{b}-\frac{69}{2})+(-10c^2+42c+\frac{8}{c}-\frac{69}{2})\geqslant 10a^2-42a-\frac{8}{a}+48$

$\Leftrightarrow \frac{(2b-1)^2(16-5b)}{b}+\frac{(2c-1)^2(16-5c)}{c}\geqslant \frac{(a-2)^2( 20a-4)}{a} $

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: $\frac{(2b-1)^2(16-5b)}{b}+\frac{(2c-1)^2(16-5c)}{c}=\frac{(2b-1)^2}{\frac{b}{16-5b}}+\frac{(2c-1)^2}{\frac{c}{16-5c}}\geqslant \frac{(2b+2c-2)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c} }=\frac{4(a-2)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}$

Đến đây, ta cần chỉ ra: $\frac{4(a-2)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}\geqslant \frac{(a-2)^2( 20a-4)}{a} $ hay $\frac{(a-2)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}\geqslant \frac{(a-2)^2( 5a-1)}{a}$

Do $a\geqslant b, a\geqslant c$ nên $\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}\leqslant \frac{b}{16-5a}+\frac{c}{16-5a}=\frac{3-a}{16-5a}$

Bây giờ ta cần có: $\frac{(a-2)^2(16-5a)}{3-a}\geqslant \frac{(a-2)^2(5a-1)}{a}\Leftrightarrow \frac{3(a-2)^2}{a(3-a)}\geqslant 0 $  (đúng)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: $VT=\sum a\sqrt[3]{1+b-c}=\sum a\sqrt[3]{(1+b-c).1.1}\leqslant \sum a.\frac{3+b-c}{3}=a+b+c=1$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=\frac{1}{3}$

Xét biểu thức: $5(5a^2+11b^2+5c^2)-10(ab+7bc+ca)=(25a^2+b^2+c^2-10ab+2bc-10ac)+(54b^2-72bc+24c^2)=(5a-b-c)^2+54(b-\frac{2}{3}c)^2\geqslant 0$ 

$\Rightarrow 5a^2+11b^2+5c^2\geqslant 2(ab+7bc+ca)=376$ 

Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 4; c = 6