mấy anh chị giúp em bài này với. x,y>0 : x+y=2 tìm Min P=$P=\frac{x^{3}+y^{2}}{x^{2}} + \frac{x^{2}+y^{3}}{y^{2}}+\frac{3}{2x}+\frac{3}{2y}$ chỉ em theo cách dùng Cô si và Đạo hàm nha!!

$gt\Rightarrow P=x+y+\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{3}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq 2+2+\frac{3}{2}.\frac{4}{x+y}=4+3=7$

Vậy :

$MinP=7\Leftrightarrow x=y=1$

Phiền bạn viết rõ hơn tí nhé... mình không thấy nó giống nhau .... . mình chưa hiểu

Phân phối $VT$ ta sẽ được :
$2+(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})+(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y})$

Rồi áp dụng BĐT trên sẽ được $Q.E.D$

Bạn có thể nói rõ hơn hệ quả nó như thế nào không?

Bạn phân phối $VT$ ra rồi sẽ thấy nó giống với bài mình chứng minh.!

Chứng minh rằng với mọi $a,b,c>0 $ :
$(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x}) \ge 2 + \frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}$

Dễ thấy BĐT trên là hệ quả của BĐT sau đây :

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}$

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:

$3(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})=(\frac{2x}{y}+\frac{y}{z})+(\frac{2y}{z}+\frac{z}{x})+(\frac{2z}{x}+\frac{x}{y})\geq \frac{3x}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{3y}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{3z}{\sqrt[3]{xyz}}=>\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$

Giải phương trình : $$(1+x)^{8}+(1+x^{2})^{4}=2x^{4}$$

Thực hiện phép tính:

 

$(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{1+2+3})...(1-\frac{1}{1+2+3+...+1986})$

Ta xét dạng tổng quát : ( với $n>1$ )

$1-\frac{1}{1+2+3+...+n}=1-\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}=1-\frac{2}{n(n+1)}=\frac{n^{2}+n-2}{n(n+1)}=\frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)}$

Do đó biểu thức trên bằng :

$\Rightarrow \frac{1}{2}.\frac{2.5}{3.4}.....\frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)}=\frac{3}{4}.\frac{1}{n}.\frac{n+2}{3}=\frac{n+2}{4n}$

Thế $n=1986$

$\Rightarrow \frac{n+2}{4n}=\frac{497}{1986}$

 

 

2/ CM : $\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+ \frac{c}{a+b+1}$+(1-a)(1-b)(1-c) $\leq$ 1

 

 

với 0 $\leq$ a,b,c $\leq$ 1

 

Đặt : $S=a+b+c+1$

Do $a;b;c$ có vai trò như nhau nên ta giả sử : $a\leq b\leq c$; khi đó :

$(1-a)(1-b)(1+a+b)\leq 1\Leftrightarrow (1-b-a+ab)(1+a+b)\leq 1\Leftrightarrow 1+a+b-b-ba-b^{2}-a-a^{2}-ab+ab+a^{2}b+ab^{2}\leq 1\Leftrightarrow -ba-b^{2}-a^{2}+a^{2}b+ab^{2}\leq 0\Leftrightarrow -b(a+b)-a^{2}+ab(a+b)\leq 0\Leftrightarrow b(a+b)(a-1)-a^{2}\leq 0(đúng\forall a;b;c)$

Vậy : $(1-a)(1-b)(1+a+b)\leq 1$

$(1-a)(1-b)\leq \frac{1}{1+a+b}=\frac{1}{S-c}\Leftrightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-c}{S-c}$

Do đó :

$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{b+a+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{a}{S-c}+\frac{b}{S-c}+\frac{c}{S-a}+\frac{1-c}{S-c}=\frac{S-c}{S-c}=1$

Suy ra $(đpcm)$

Giải phương trình

$(3x+1)\sqrt{2x^{2}-1}=5x^{2}+\frac{3x}{2}-3$

ĐKXĐ : $x^{2}\geq \frac{1}{2}$

Đặt :

$a=\sqrt{2x^{2}-1}$

$PT\Leftrightarrow -2a^{2}+(3x+1)a-x^{2}-\frac{3x}{2}+1=0\Rightarrow \Delta =(3x+1)^{2}-8(x^{2}+\frac{3}{2}x-1)=(x-3)^{2}\Rightarrow \begin{bmatrix} a=\frac{-3x-1-x+3}{-4}=x-\frac{1}{2} & \\ a=\frac{-3x-1+x-3}{-4}=x+\frac{1}{2} & \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} \sqrt{2x^{2}-1}=x-\frac{1}{2} & \\ \sqrt{2x^{2}-1}=x+\frac{1}{2} & \end{bmatrix}$

Đến đây bạn có thể dễ dàng giải tiếp rồi. 

Bài một hiển nhiên đúng theo định lý nhỏ Fermat vì 1729 là số nguyên tố .

$1729$ không là số nguyên tố bạn nhé vì $1729=7.13.19$

1. $-2x^{3}+ 10x^{2}-17x+8 = 2x^{2}\sqrt[3]{5x-x^{3}}$

 

Bài 1 :

Mình có ý tưởng thế này :

Đặt :

$x=a;\sqrt[3]{5x-x^{3}}=b$

$PT\Leftrightarrow 2b^{3}-27a+10a^{2}+8=2a^{2}b$

Xong bạn có thể làm như bài trên hay chuyển về 1 ẩn,....

 

2. $\frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt[3]{2x+1}-3}=\frac{1}{x+2}$

Đặt :

$\sqrt{x+1}=a;\sqrt[3]{2x+1}=b\Rightarrow b^{3}=2a^{2}-1$

$\Rightarrow \frac{a-2}{b-3}=\frac{1}{a^{2}+1}\Rightarrow a^{3}-2a^{2}+a-2=b-3\Rightarrow a^{3}+a-2a^{2}+1=b\Rightarrow a^{3}+a-b^{3}-b=0\Rightarrow (a-b)(a^{2}+ab+b^{2}+1)=0$

Dễ thấy : $(a^{2}+ab+b^{2}+1)> 0$

$\Rightarrow a=b\Rightarrow \sqrt{x+1}=\sqrt[3]{2x+1}$

Từ đây bạn có thể dễ dàng giải tiếp. 

Cho x,y,z>0.

CMR: $\left ( xy+xz+yz \right )\left [ \frac{1}{\left ( x+y \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( y+z \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( x+z \right )^{2}} \right ]\geq \frac{9}{4}$

Bạn tham khảo thêm ở đây nhé 

 

Bài 2:  
a) So sánh: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{1993\sqrt{1992}}$ với 2
b) So sánh: $A=\frac{2}{\sqrt{4-3\sqrt[4]{5}+2\sqrt[4]{25}-\sqrt[4]{125}}}$ với 2,5

 

$a)$ Ta xét dạng tổng quát :$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n(n+1)}=\sqrt{n}(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}})(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})=(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}) <2(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$

Tới đây ta dễ dàng áp dụng vô và giải bài toán

$b)$ đặt $\sqrt[4]{5}=x$

$=>A=\frac{2}{\sqrt{4-3x+2x^{2}-x^{3}}}=\frac{2(x+1)}{\sqrt{(x+1)^{2}(4-3x+2x^{2}-x^{3})}}=\frac{2(x+1))}{\sqrt{-x^{5}+5x+4}}$

Ta có : $-x^{5}+5x=x(5-x^{4})=0=>A=\frac{2(x+1)}{\sqrt{4}}=x+1=\sqrt[4]{5}+1$

Mà : $5<5,0625=>\sqrt[4]{5}<1,5=>\sqrt[4]{5}+1<2,5=>A<2,5$

Bài 1: Cho $A=a\sqrt{a}+\sqrt{ab}$  ($a,b> 0$)

                 $B=(b\sqrt{b}+\sqrt{ab})$

a) So sánh tổng $A+B$ và tích $AB$ khi $\sqrt{a}+\sqrt{b}=3$ và $\sqrt{ab}=1$
b) Cmr nếu $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ và $\sqrt{ab}$ hữu tỷ thì $A+B$ và $AB$ hữu tỷ.
 

$a)$ Ta có :

$A+B=\sqrt{a^{3}}+\sqrt{b^{3}}+2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)+2=3[(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}-3\sqrt{ab}]+2=3(9-3)+2=20$

$A.B=(a\sqrt{a}+\sqrt{ab})(b\sqrt{b}+\sqrt{ab})=\sqrt{a^{3}.b^{3}}+\sqrt{ab}(\sqrt{a^{3}}+\sqrt{b^{3}})+ab=1+1.18+1=20$

$=>A+B=A.B$

$b)$ Theo mình nghĩ do $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ và $\sqrt{ab}$ hữu tỷ 

Phân tích theo câu $a)$ suy ra các tổng và tích của chúng hữu tỷ nên $A+B$ và $AB$ hữu tỷ.

Giải hệ phương trình:

. $\left\{\begin{matrix} x^3-y^3=35 & \\ 2x^2+3y^2=4x-9y & \end{matrix}\right.$

Ta có :

$gt\Rightarrow PT(1)-3PT(2)\Rightarrow (x-2)^{3}=(3+y)^{3}\Rightarrow x=y+5$

Thế $x=y+5$ vào $PT(2)$ và giải ta được :

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=-3 & \\ y=-2 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=-3;x=2 & \\ y=-2;x=3 & \end{matrix}\right.$

cho a,b,c >o thỏa mãn a+b+c=1 .CM rằng a+2b+c >= 4(1-a)(1-b)(1-c)

Ta có :

$BDT\Leftrightarrow 1+b\geq 4(b+c)(1-b)(a+b)$

$VP\leq 4[\frac{b+c+a+b}{2}]^{2}(1-b)=(a+c+b+b)^{2}(1-b)=(b+1)^{2}(1-b)=(b+1)(1-b^{2})$

Mà : $a,b,c> 0;a+b+c=1\Rightarrow b< 1\Rightarrow 1-b^{2}<1$

$\Rightarrow VP< b+1=VT$

Suy ra $(đpcm)$

Dấu $=$ không xảy ra.

Tính 
A$= 3 + 3^{2} + 3^{3} + ... + 3^{100}$ 
B$= 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + ... + 2^{50}$
C$= 5 + 5^{2} + 5^{3} + ... + 5^{50}$

$A=3+3^{2}+3^{3}+...+3^{100}\Rightarrow 3A=3^{2}+3^{3}+3^{4}+...+3^{101}\Rightarrow 2A=3^{101}-3\Rightarrow A=\frac{3^{101}-3}{2}$

Mấy câu còn lại bạn chỉ cần làm tương tự là ra.

$B=2^{51}-1;C=\frac{5^{51}-5}{4}$

Cho mấy chú vài bài  , xin lỗi vì không giải mà lại đăng bài, vì lớp 10 thi chẳng ra căn thức bao giờ  .

 

Bài 25 : Tính giá trị biểu thức : 

$$A=\frac{2}{\sqrt[4]{7}}-\sqrt[4]{7}-\frac{\sqrt{7}-\frac{1}{\sqrt{7}}}{\sqrt[4]{7}-\sqrt{\frac{1}{\sqrt{7}}}}+\frac{6}{\sqrt{7}\left ( \sqrt[4]{7}+\sqrt[4]{\frac{1}{7}} \right )}+\frac{7}{\sqrt[4]{343}}$$

 

Chém nốt luôn

Đặt : $\sqrt[4]{7}=a$

$\Rightarrow A=\frac{2}{a}-a-\frac{a^{2}-\frac{1}{a^{2}}}{a-\frac{1}{a}}+\frac{a^{4}-1}{a^{2}(a+\frac{1}{a})}+\frac{a^{4}}{a^{3}}=\frac{2}{a}-(a^{4}-1)[\frac{1}{a^{2}(a-\frac{1}{a})}-\frac{1}{a^{2}(a+\frac{1}{a})}]=\frac{2}{a}-(a^{4}-1)[\frac{a^{3}(a^{2}+1)-a^{3}(a^{2}-1)}{a^{2}(a^{4}-1)}]=\frac{2}{a}-\frac{2a^{3}}{a^{2}}=\frac{2-2a^{2}}{a}=\frac{2-2\sqrt{7}}{\sqrt[4]{7}}$

 

 

16/ Chứng minh rằng nếu $\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}=2\sqrt{a+1}$ thì $b+c\geq 2a$

 

Bài 16 :

Ta có :$\sqrt{2(b+1+c+1)}\geq \sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}=2\sqrt{a+1}\Rightarrow 2(b+c)+4\geq 4a+4\Rightarrow b+c\geq 2a$

 

6/ Giải phương trình :

$\sqrt{x+6}+\sqrt{x-3}-\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}=0$

8/ So sánh 2 số A và B sau :

A=$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}$

và B=$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$

 

Bài 6 :

ĐKXĐ : $x\geq 3$

$PT\Leftrightarrow \sqrt{x+6}+\sqrt{x-3}=\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}\Rightarrow 3+2\sqrt{(x+6)(x-3)}=2\sqrt{(x+1)(x-2)}-1\Rightarrow (x+1)(x-2)=4+(x+6)(x-3)+4\sqrt{(x+6)(x-3)}\Rightarrow 3-x=\sqrt{(x+6)(x-3)}$

Tới đây xuất hiện điều kiện : $3-x\geq 0\Rightarrow x\leq 3$

Vậy $PT$ có nghiệm duy nhất là $x=3$

Bài 8 :

Ta có :

$\sqrt{1}< \sqrt{1}+\sqrt{2};\sqrt{2}< \sqrt{2}+\sqrt{3};...;\sqrt{99}< \sqrt{99} + \sqrt{100}\Rightarrow A> B$

 

24/ Chứng minh rằng :

$\frac{2}{\sqrt{4-3\sqrt[4]{5}+2\sqrt{5}-\sqrt[4]{125}}}=1+\sqrt[4]{5}$

 

Đặt :

$\sqrt[4]{5}=x \Rightarrow x^4=5 \Rightarrow P=\frac{2}{\sqrt{4-3x+2x^2-x^3}}=\frac{2(x+1)}{\sqrt{(x+1)^2(4-3x+2x^2-x^3}} =\frac{2(x+1)}{\sqrt{-x^5+5x+4}}=\frac{2(x+1)}{\sqrt{4}}=x+1=\sqrt[4]{5}+1$

( do $-x^5+5x=x(5-x^4)=0$ )

 

3) Cho $a\geq 3$. Tìm $min S$$=a+\frac{1}{a}$

 

Mình sẽ post kết quả và bài toán khó hơn vào hôm sau, mong mọi người ủng hộ thật nhiều nhé

Chém bài ngắn nhất vậy

Bài 3 :

$S=a+\frac{1}{a}=(\frac{1}{9}a+\frac{1}{a})+\frac{8}{9}a\geq \frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$

$MinS=\frac{10}{3}\Leftrightarrow a=3$

Khởi động lại cuộc chơi nào:

 

Bài 2: Chứng minh $\frac{a}{\sqrt{a+2b}}+\frac{b}{\sqrt{b+2c}}+\frac{c}{\sqrt{c+2a}}\geq \sqrt{a+b+c}$

 

Đặt : $A=\frac{a}{\sqrt{a+2b}}+\frac{b}{\sqrt{b+2c}}+\frac{c}{\sqrt{c+2a}};B=a(a+2b)+b(b+2c)+c(c+2a)=(a+b+c)^{2}$

Áp dụng BĐT Holder :

$\Rightarrow A.A.B\geq (a+b+c)^{3}\Rightarrow A^{2}\geq a+b+c\Rightarrow A\geq \sqrt{a+b+c}$

Cho em thử phát !!

 

3. Cho $x^2+2mx+4(m-1)$. Tìm m để đa thức có 2 nghiệm $x_1, x_2$ sao cho ${x_1}^2+{x_2}^2$ đạt GTNN

Bài 3 :

Áp dụng định lí Viet :

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=-2m & \\ x_{1}x_{2}=4(m-1) & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=4m^{2}-8m+8=4(m-1)^{2}+4\geq 4$

$\Rightarrow Min(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=4\Leftrightarrow m=1$

Bài của bạn minhtu98vn bị sai chỗ nào rồi thì phải thử lại thì ra là 5 lận @@!