thí điểm bài này nhé em
a+b+c=1,a,b,c>0
CMR:
$\dfrac{(48abc+1)}{abc}\ge \dfrac{25}{ab+bc+ca}$

Theo mình nếu cos(x)>=0 thi bdt này mới đúng
nếu với mọi x thì thử x=140 độ thì sai

$(a,b,c,d)=(a,1-a,1-a(1-a),1-a(1-a)(1-a(1-a)))$

Với x như thế nào vậy? dương, âm hay nguyên dương?Nếu x nguyên dương thì ta có thể xét x=0 rồi với x nguyên dương ta có bđt$ \dfrac{a^x+b^x}{2} \geq (\dfrac{a+b}{2})^x$

với x>1 hoặc x<0 ta có $\dfrac{a^x+b^x}{2}\ge (\dfrac{a+b}{2})^x$
vơi 0<x<1 ta có $\dfrac{a^x+b^x}{2}\le (\dfrac{a+b}{2})^x$
với x=0,1 ta có đẳng thức

cho x,y thỏa mãn:
$1\ge x\ge y>0$
CMR:
$\dfrac{x^3y^2+y^3+x^2}{x^2+y^2+1}\ge xy$

Đề thi học sinh giỏi thành phố hà nội - lớp 12
Năm 2009-2010
BÀI 1
cho hàm số $y=({{x}^{2}-1})^{2}-({m+1})^{2}({1-m})^{2}$
( m là tham số)
1.Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành
2.Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ tương ứng lập thành cấp số công.
BÀI 2
1.giải phương trình $9\left(\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2} \right)=x+3$
2.Cho dãy số $u_{n}=\dfrac{P_{n}}{{A_{n+2}}^n}$trong đó số chỉnh hợp chập n của (n+2) phần tử là ${A_{n+2}}^n}$ và $P_{n}$ là số hoán vị của tập hợp gồm n phần tử với n là số nguyên dương. Tìm $lim S_{n}= \sum\limits_{i=1}^{n} u_{i} $
BÀI 3
Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh bằng a .Với M là một điểm thuộc cạnh AB, Chọn điểm N thuộc cạnh D'C' sao cho AM+D'N=a
1.Chứng minh MN đi qua một điểm cố định khi M thay đổi
2.tính thể tích chóp B'.A'MCN theo a. Xác định vị trí của M để khoảng cách từ B' tới mp(A'MCN) max.Tính khoảng cách lớn nhất đó theo a.
3.Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của C xuống MN khi M chạy trên AB.
BÀI 4
1. Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn $1\geq x\geq y>0$
chứng minh: $\dfrac{{x}^{3}{y}^{2}+{y}^{3}+{x}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+1}\geq xy$
2. Viết phương trình của đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số $y=(x-1)({x}^{3}+{x}^{2}+1)$ tại hai điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm sô.
HẾT
*****************

mình giải qua thế này nhé
Ta xét TH a,b,c>0
chú ý là
$\sum_{cyc}\dfrac{1}{a^2+2bc}=\dfrac{(\sum ab)(2\sum a^2+\sum ab)}{\prod(a^2+2bc)}$
tức là ta sẽ CM
$(2\sum a^2+\sum ab)(\sum a^2b^2)\ge \prod(a^2+2bc)$
(mình định thử côsi nhưng mà phải ăn cơm nên làm vội phân tích kiểu SOS và schur)
expand ra ta phải CM
$\sum_{cyc}2a^4(b-c)^2-\sum a^2b^2(c-b)(c-a)\ge 0$
đúng theo côsi 2 số
ĐPCM

Với cùng điệu kiện trên thì bất đẳng thức sau vẫn đúng :

$\dfrac{1}{{{a^2} + 2bc}} + \dfrac{1}{{{b^2} + 2ca}} + \dfrac{1}{{{c^2} + 2ab}} \ge \dfrac{{ab + bc + ca}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}} + \dfrac{{37}}{2}.\dfrac{{{{\left[ {\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)} \right]}^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^6}\left( {ab + bc + ca} \right)}}$

Mình nghĩ là bdt này có vấn đề
chắc là phải thay 37 thành 27 và 1 số cái nữa

Mình cần tài liệu về số nguyên Gauss,các bài toán dùng số phức để giải pt nghiệm nguyên
Bạn nào có thì share mình với
cảm ơn nha

Thay đổi một chút nhá!!!! Hãy cm:
$\dfrac{1}{2a^2+bc}+\dfrac{1}{2b^2+ca}+\dfrac{1}{2c^2+ab} \ge \dfrac{ab+bc+ca}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$

Công nhận là thế thật:
ta có $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge 2bca^2+b^2c^2=bc(2a^2+bc)$
tương tự ghép vào ta có đpcm

chung minh:
cos72= :frac{3- :sqrt{5} }{2( :sqrt{5} -1} chua biet cach go cong thuc mong moi nguoi thong cam

Bài này có trong sbt lớp 10 mà
CM bằng cách dựng tam giác có 3 góc là 72,72,36....

Tớ gõ các này mục đích là tập tành cái chuyện soạn văn bản bằng latex thôi

Tớ lần đầu gõ latex nên mò mẫm có hơi lâu ( độ .... 4 -5 tiếng gì đấy ) , lệnh thì tớ biết rất ít ---> trình bày có hơi khó coi 1 xíu mong mọi người bỏ qua cho .

Cái lời giải này của VIMF tớ cũng chưa check nữa ... anh em xem có thấy cái gì sai thì nói tớ sửa nhá

Thì mình cũng bảo là 27 thì có lời giải đẹp mà
còn cái 310 thì nhìn kinh quá,ko dám expand.
thks
p/s:lời giải quy đồng của mình đẹp hơn:D

bạn có thể post lời giải dùng p,q,r đc ko?

có bài này ai rảnh trả lời nha ( có trong toán tuoi tho )
so sánh $ 1999^{1998}$ và $ 1998^{1999} $
bít kq nhưng quên mât cách làm

ta có $1998^{1999}>1999^{1998}$
bạn có thể CM như sau
xét hàm $f(x)=\sqrt[x]{x}$
$f'(x)=\sqrt[x]{x}*(\dfrac{1-ln(x)}{x^2})<0$ với x>3
suy ra $\sqrt[1998]{1998}>\sqrt[1999]{1999}$ .....

cho đa thức f(x)=$x^{5}$+$x^{2}$+1 có 5 nghiệm là $x_{1}$,$x_{2}$,$x_{3}$,$x_{4}$,$x_{5}$. Đặt Q(x)=$x^{2}$-2.
Tính Q($x_{1}$)Q($x_{2}$)Q($x_{3}$)Q($x_{4}$)Q($x_{5}$).

đáp án là 71

Cho đa thức f(x) bậc n có n nghiệm thực .a là một nghiệm bội của f'(x).CMR:f(a)=0

Trừ hai vế rồi phân tích SOS ta quy về bdt sau
$\sum (a-b)^2*(\dfrac{1}{2(a+c)(b+c}-\dfrac{\sum a}{12(\sum a^3)})=\sum (a-b)^2(\dfrac{6(\sum a^3-(\sum a)(b+c)(c+a)}{Q>0})\ge \sum (a-b)^2(\dfrac{6(\sum a^3-(\sum a)(\sum a^2+\sum ab)}{Q>0})\ge 0 $
đpcm

Cho:
$ A = \dfrac{1}{{3^1 }} + \dfrac{2}{{3^2 }} + \dfrac{3}{{3^3 }} + \dfrac{4}{{3^4 }} + ... + \dfrac{n}{{3^n }} $
Hãy lập ra công thức để tính dạng tổng quát của A

xét hiệu
$2A=3A-A=1+\dfrac{1}{3^1}+...+\dfrac{1}{3^{n-1}}-\dfrac{n}{3^n}=\dfrac{1-\dfrac{1}{3^n}}{1-\dfrac{1}{3}}-\dfrac{n}{3^n}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{2n+3}{3^n*2}$
A=....

Cho hàm số y=f(x)= ax+b
Biết f(-1)<f(-2) ; f(1)>f(2) và f(1999)=2000 . Tính : f(2010)

Bài này ko làm đc đâu em ơi.
hai cái đầu suy ra a<0.
với mỗi a<0 ta luôn chọn đc 1 số b:f(1999)=2000
khi đó f(2010) thay đổi.

+,nếu tồn tại i khác j mà f(j)=f(i) suy ra i=-f(f(m+1))-f(m+f(f(i)))=-f(f(m+1))-f(m+f(f(j)))=j suy ra vô lý
suy ra f đơn ánh
+,cho m=0 suy ra f(f(f(n)))=-f(f(1))-n
suy ra f là toàn ánh
suy ra f là song ánh

49,
$-x<x*sin(\dfrac{1}{x})<x$
lim hai cái -x,x là 0 nên theo ĐL kẹp,lim cái ở giữa =0

(x-y) / (1-xy) = (1-3x) / (3-x)
(x+y) /(1+xy) = (1-2y) / (2-y)

giải hộ mình hệ phương trình này với . Thanks nhiều

bạn cộng 1,-1 vào pt đầu đã cho thu được
$\dfrac{(x+1)(1-y)}{1-xy}=\dfrac{4(1-x)}{3-x}$ (1)
$\dfrac{(x-1)(1+y)}{1-xy}=\dfrac{-2(1+x)}{3-x}$ (2)
chia (1) cho (2)(chú ý có thể sót nghiệm nếu (2)=0 nên bạn xét kỹ,mình nói qua ý tưởng thôi)
ta có $(\dfrac{x+1}{x-1})^2=2\dfrac{1+y}{1-y}$ làm tt với pt thứ 2 thu được
$(\dfrac{x+1}{x-1})=-3(\dfrac{1-y}{1+y})^2$
giải hệ 2 pt 2 ẩn ra là tìm đc x,y

ý tưởng chỉ là côsi thôi mà em:
$\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+b\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{a^2b}{4}}=3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}$
cái sau thì tương tự nha

Bài pt hàm là từ đâu vào đâu thế bạn ơi.mình mới làm đc từ Q vào R thôi
bài 11 của bạn sai đề thì phải.Loại này mình nghĩ là dùng quy nạp thôi

Bài 3:
dễ thấy f đơn ánh và tăng.
+,f(f(2n)-2n)=4n+9=f(f(n))
suy ra f(2n)=f(n)+2n
ta có f(f(1)-1)=11.
sauy ra $1\le f(1)\le 11$
thử các giá trị vào suy ra f(1)=5
ta CM quy nạp f(n)=2n+3
thật vậy
n=1 thì đúng.
giả sử đúng đến n=n
ta CM f(n+1)=2n+5
TH
+,n lẻ :n+1=2k
f(n+1)=f(2k)=f(k)+2k=4k+3=2n+5
+,n chẵn:
cmtt thì f(n+2)=2n+7
f tăng suy ra 2n+3<f(n+1)<2n+7
thử 3 gt suy ra f(n+1)=2n+5
Vậy f(n)=2n+3