Tìm giá trị nhỏ nhất của
$M=\frac{(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})^{6}-(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})-2}{(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})^{3}+x\sqrt{x}+\frac{1}{x\sqrt{x}}}$ (với $x\geq 1$)

Giải phương trình $(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1})(x^{2}+\sqrt{x^{2}+4x+3})=2x$

Giải phương trình $(2x+7)\sqrt{2x+7}=x^{2}+9x+7$

Giải phương trình $(4x-1)\sqrt{x^{2}+1}=2(x^{2}+1)+2x-1$

Giải hệ $\left\{\begin{matrix} (4x^{2}+y+1)\sqrt{x^{2}+y}+3x^{2}(x-1)=3x(1-y)+2 & \\ \sqrt[3]{3x+2}+x\sqrt{3x-2}=2\sqrt{3-2y} & \end{matrix}\right.$

$Cmr$ nếu $a+b\geq 0$ thì $(a+b)(a^{3}+b^{3})(a^{5}+b^{5})\leq 4(a^{9}+b^{9})$

Chứng minh rằng $-\frac{1}{2}\leq \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}\leq \frac{1}{2}$ $\forall a,b$

Cho phương trình $-x^4 + 2mx^2 + m^2 -2 = 0 $
Tìm m để pt có 4 nghiệm phân biệt $x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4} $ thoả $x_{1}-x_{2}=x_{2}-x_{3}=x_{3}-x_{4}$

HÌnh như bài thiếu ĐK $x_{4}< x_{3}< x_{2}< x_{1}$. Nếu vậy thì làm như sau:

Đặt $t=x^{2}$, pt đã cho trở thành
$t^{2}-2mt-m^{2}+2=0$(1) có 2 nghiệm là $t_{1};t_{2}$.
Không mất tính tổng quát, giả sử $0< t_{1}< t_{2}$
$x_{4}=-\sqrt{t_{2}};x_{3}=-\sqrt{t_{1}};x_{2}=t_{1};x_{1}=t_{2}$
Ta có: $x_{1}-x_{2}=x_{2}-x_{3}=x_{3}-x_{4}\Leftrightarrow \sqrt{t_{2}}-\sqrt{t_{1}}=2\sqrt{t_{1}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{t_{2}}=3\sqrt{t_{1}}\Leftrightarrow t_{2}=9t_{1}$
Áp dụng Viét vào pt (1) ta được
$\left\{\begin{matrix} t_{1}+t_{2}=2m & & \\ t_{1}t_{2} =2-m^{2} & \\ t_{2}=9t_{1} \end{matrix}\right.$
Tới đây chắc dễ rồi! bạn tự làm nhé!

Bạn nói rõ cách tính được không?

Tính chính xác $B=246813579^{2}$

Cặp đôi nào 98-99 thế ????

Là em đó ạ! mong mn ủng hộ nhiệt tình!

Cho em thi với ạ!
Trần Thiện Nam Nguyễn Lê Phương Anh

BGK cho em hỏi em có được thi toán văn ko ạ??
mà đề ở đâu z ah??

Tìm công thức cấu tạo của $C_{6}H_{14}$ biết khi tác dụng với $Cl_{2}$ theo tỉ lệ $\frac{1}{1}$ chỉ thu được $2$ đồng phân. Viết $CTCT$ của $2$ đồng phân đó

Ta phải chứng minh $4\sqrt{3(a^{6}+b^{6}+c^{6})}\geq 3[ac(b^{2}+1)+(ab+bc)\sqrt{ca}]$
Thật vậy áp dụng BĐT $3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq (x+y+z)^{2}(\ast )$ ta được
$4\sqrt{3(a^{6}+b^{6}+c^{6})}\geq 4(a^{3}+b^{3}+c^{3})$
Áp dụng BĐT Bunhiacowsky ta được
$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(a+b+c)\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3} \geq \frac{(a+b+c)^{4}}{27}=3$
$\Rightarrow 4(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 12(1)$

Ta có: $ac(b^{2}+1)\leq \frac{(a+c)^{2}}{4}.(b^{2}+1)$
$(ab+bc)\sqrt{ca}=b(a+c)\sqrt{ca}\leq \frac{(a+c)^{2}}{2}.b$
$\Rightarrow ac(b^{2}+1)+(ab+bc)\sqrt{ca}\leq \frac{(a+c)^{2}}{2}\left ( \frac{b^{2}+1}{2}+b \right )=\frac{(a+c)^{2}}{2}\cdot \frac{(b+1)^{2}}{2}$
Áp dụng BĐT Cauchy ta được
$(a+c)^{2}.(b+1)^{2}\leq \frac{(a+b+c+1)^{4}}{16}=16\Rightarrow \frac{(a+c)^{2}.(b+1)^{2}}{4}\leq 4$
$\Rightarrow 3[ac(b^{2}+1)+(ab+bc)\sqrt{ca}]\leq 3\left ( \frac{(a+c)^{2}.(b+1)^{2}}{4} \right )\leq 12(2)$
Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow VT\geq 12\geq VP\Rightarrow VT\geq VP$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
______________________
Cái BĐT (*) của em cũng là Bunhiacopxki cho $(1,1,1)$ và $(x,y,z)$
Điểm bài làm: $d=10$

$S = 24+3*10 = 54$

Công thức nghiệm Cardano là j z mn? Hình như lớp 9 đâu có học nhỷ? Em Nguyen Viet Khanh 6c cũng biết nó nữa!Giỏi quá!

Ta có hệ đã cho $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}=6(y-x)(1) & \\ x^{3}=6(y+1) & \end{matrix}\right.$
Giải $(1)\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}+6)=0\Leftrightarrow x=y$
(Vì $(x^{2}+xy+y^{2}+6)> 0\forall x;y$)
Với $x=y$ ta có phương trình $x^{3}-6x-6=0\Leftrightarrow x\approx 2,847$
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)= (2,847;2,847)$

Điểm bài làm 2

Áp dụng định lý Pytago ta được:
$EF=\sqrt{AE^{2}+AF^{2}};FG=\sqrt{FB^{2}+BG^{2}};GH=\sqrt{GC^{2}+CH^{2}};HE=\sqrt{DE^{2}+DH^{2}}$
Suy ra chu vi $EFGH$ là $\sqrt{AE^{2}+AF^{2}}+\sqrt{GB^{2}+BF^{2}}+\sqrt{GC^{2}+CH^{2}}+\sqrt{DE^{2}+DH^{2}}$
Áp dụng BĐT Mincowski ta được:
$\sqrt{AE^{2}+AF^{2}}+\sqrt{GB^{2}+BF^{2}}+\sqrt{GC^{2}+CH^{2}}+\sqrt{DE^{2}+DH^{2}}\geq \sqrt{(AE+DE+GB+GC)^{2}+(AF+FB+CH+DH)^{2}}$
Suy ra chu vi $EFGH\geq \sqrt{(AD+BC)^{2}+(AB+CD)^{2}}$
Dấu "=" xảy ra khi $\frac{AE}{AF}=\frac{BG}{BF}=\frac{CG}{CH}=\frac{DE}{DH}$
Khi đó $\Delta AEF\sim \Delta BGF\sim \Delta CGH\sim \Delta DEH$
suy ra $\widehat{AFE}=\widehat{BFG}=\widehat{CHG}=\widehat{DHE}$ và $\widehat{AEF}=\widehat{DEH}=\widehat{CGH}=\widehat{BGF}$
Từ đây suy ra $\left\{\begin{matrix} \widehat{FGH}=\widehat{FEH} & \\ \widehat{EFG}=\widehat{EHG}& \end{matrix}\right.$
Suy ra $EFGH$ là hình bình hành.
Vậy $F,G,H$ ở vị trí trên lần lượt $AB,BC,CD$ sao cho $EFGH$ là hình bình hành thì chu vi $EFGH$ nhỏ nhất.
________________
@Joker: Lời giải đúng
d=10
S = 3*10 = 30

Cách khác:

 

Ta có: $x^{2}+2x+4y^{2}=187\Leftrightarrow (x+1)^{2}+4y^{2}=188\Leftrightarrow (x+1)^{2}=4(47-y^{2})$

Vì $(x+1)^{2}\geq 0\forall x\Rightarrow 4(47-y^{2})\geq 0\Leftrightarrow y^{2}\leq 47$

Mà $y^{2}$ là số chính phương nên $y^{2}\in \left \{ 0;1;4;9;16;25;36 \right \}$

Thử các trường hợp trên ta thấy không có giá trị nào của $y$ thỏa mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm nguyên 

 

S = 26+3*10 = 56

Ta có: $x^{2}+2x+4y^{2}=187\Leftrightarrow (x+1)^{2}+(2y)^{2}=188$

Vì $x;y\in \mathbb{Z}\Rightarrow (x+1)^{2}+(2y)^{2}$ là tổng của hai số chính phương 

Mà $188$ không thể viết thành tổng của hai số chính phương ( Nêu rõ ra nhé)

Vậy phương trình vô nghiệm nguyên

_________

@Joker: Lập luận không rõ ràng, quá vắn tắt

d=3

Xét $x=0$ thay vào phương trình $(2)$ ta được: $y=-1$

Với $\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=-1 & \end{matrix}\right.$ thay vào phương trình $(1)$ không thỏa mãn

Tương tự xét $y=0$ cũng không thỏa mãn

 

Với $x,y\neq 0$ 

Ta có: $\left\{\begin{matrix} x^{4}+y^{4}+4x^{2}y^{2}-3xy(x^{2}+y^{2})=0 & \\ x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ x^{4}+y^{4}-xy(x^{2}+y^{2}) \right ]+4x^{2}y^{2}-2xy(x^{2}+y^{2})=0 & \\ x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x^{3}-y^{3})(x-y)-2xy(x-y)^{2}=0 & \\ x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}(x^{2}+xy+y^{2})-2xy(x-y)^{2}=0 & \\ x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}(x^{2}-xy+y^{2})=0 & \\ x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y & \\ x+x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=1 & \end{matrix}\right.$

(Vì $x^{2}-xy+y^{2}=\left ( x-\frac{y}{2} \right )^{2}+\frac{3}{4}y^{2}> 0\forall x;y\neq 0$)

 

Với $x=y$ thay vào phương trình $(2)$ ta được: $x+x^{3}+x^{3}-x^{3}-x^{3}=1\Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow x=y=1$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y)$ là $(1;1)$

 

Điểm bài 10

S = 25 + 10*3 = 55

Đề bài trận 15:(Đề của BTC)

Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}x-2\sqrt{y^2+8}+7=0\\ y-2\sqrt{x^2+8}+7=0\end{cases}$$

Ta có hệ đã cho tương đương với:
$\left\{\begin{matrix} x +7=2\sqrt{y^{2}+8} \\ y +7=2\sqrt{x^{2}+8} \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2} +14x+49 =4y^{2}+32 \\ y^{2} +14y+49 =4x^{2}+32 \end{matrix}\right.$
(Thiếu điều kiện...)
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5(x^{2}-y^{2}) +14(x-y) =0 \\ y^{2}+14y+17=4x^{2} & & \end{matrix}\right.$ $(\ast )$
$\Leftrightarrow x=y$ hoặc $x=\frac{-14}{5}-y$
+) Với x=y thay vào $(\ast )$ ta được
$3y^{2}-14y-17=0\Leftrightarrow y=x=-1;y=x=\frac{17}{3}$
+) Với $x=\frac{-14}{5}-y$ thay vào $(\ast )$ ta được
$3y^{2}+\frac{42}{5}y+\frac{359}{25}=0\Leftrightarrow y^{2}+\frac{14}{5}y+\frac{359}{75}=0$
$\Leftrightarrow \left ( y+\frac{7}{5} \right )^{2}+\frac{212}{75}=0$ (vô nghiệm)
Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) là $\left ( -1;-1 \right );\left ( \frac{17}{3};\frac{17}{3} \right )$
(...do đó phải thử lại!)
__________________
Cách làm hợp lý, chú ý để dùng dấu $\Leftrightarrow$ thì phải kèm theo điều kiện, nếu không thì phải thử lại kết quả
Điểm bài làm: $d=9$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-25}{2}\right\rfloor+3\times 9+0+0=40$

$\bigstar$ Xét $y=0$ ta có: $x^{2}-5x+6=0\Leftrightarrow (x-2)(x-3)=0\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=3$
$\bigstar$ Xét $y=1$ ta có: $x^{2}-5x+4=0\Leftrightarrow (x-1)(x-4)=0\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=4$
$\bigstar$ Với $y\geq 2$ ta có: $3^{y}\vdots 9$
$\star$ Nếu $x\vdots 3$ ta có $VT\equiv 1(mod3),VP\vdots 3$ (không thỏa mãn)
$\star$ Nếu $x\equiv 2(mod3)$ ta có: $VT\equiv 1(mod3),VP\vdots 3$ (không thỏa mãn)
$\star$ Nếu $x\equiv 1(mod3)$ ta có $3$ trường hợp
$+)$ $TH1:$ $x\equiv 1(mod9)$ $\Rightarrow$ $VT\equiv 3(mod9),VP\vdots 9$ (không thỏa mãn)
$+)TH2:$ $x\equiv 4(mod9)\Rightarrow VT\equiv 3(mod9),VP\vdots 9$ (không thỏa mãn)
$+)TH3: x\equiv 7(mod9)\Rightarrow VT\equiv 3(mod9) ,VP\vdots 9$ (không thỏa mãn)
Vậy phương trình có $4$ nghiệm tự nhiên $(x;y)$ là $(2;0);(3;0);(1;1);(4;1)$
----
$S=\left \lfloor \frac{52-\left ( 43-19 \right )}{2} \right \rfloor+3.10+0+0=44$

Điều kiện: $2x^{4}-x^{3}+7x^{2}-3x+3\geq 0$ $(\ast )$
Phương trình đã cho $\Leftrightarrow 2\sqrt{2x^{4}-x^{3}+7x^{2}-3x+3}=3x^{2}-x+4$
$\Leftrightarrow 8x^{4}-4x^{3}+28x^{2}-12x+12=9x^{4}-6x^{3}+25x^{2}-8x+16$
$\Leftrightarrow x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+4x+4=0$ $(1)$
$\bigstar$ Xét $x=0$ ta có $4=0$ (vô lý)
Nên $x=0$ không thỏa mãn
$\bigstar$ Với $x\neq 0$ chia $2$ vế của phương trình $(1)$ cho $x^{2}$ ta được:
$x^{2}-2x-3+\frac{4}{x}+\frac{4}{x^{2}}=(x^{2}+\frac{4}{x^{2}})-2(x-\frac{2}{x})-3$
Đặt $x-\frac{2}{x}=a\Rightarrow x^{2}+\frac{4}{x^{2}}=a^{2}+4$
Thay vào $(1)$ ta được: $a^{2}-2a+1=0\Leftrightarrow a=1\Leftrightarrow x-\frac{2}{x}=1\Leftrightarrow x^{2}-x-2=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-1 & \\ x=2 & \end{bmatrix}$ (thỏa mãn $(\ast )$)
Vậy phương trình đã cho có $2$ nghiệm là $x=-1$ và $x=2$
________
@Joker: d=10

 

S = 26 + 10*3 = 56

Đăng theo kiểu .jpg hoặc png nhé bạn, .bmp nặng lắm !

Đăng thế nào z chị? em đăng toàn ở dạng bmp nên không được!