Em xin nộp bài:
http://www.mediafire...gba0zcf0kcdz9r5

Cho mình 1 phiếu đi cua em Pu ha

có ai coi là con gái đâu chớ.

ủa. Sao gọi chị hay vậy em?

Câu hỏi 1 của BGK :

Theo các em ; điều kiện cần để 1 người đàn ông lấy được vợ trẻ là gì ?

( trả lời bằng tin nhắn riêng cho PSW ; ko ghi ra ở đây)

Anh PSW coppy câu này của thầy Trần Phương nha.

Bài 20. Tính tích phân: $I=\int_{0}^{12}\frac{dx}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{x+4}}$

----------------
Mọi người cùng thảo luận nào.

Đặt $\sqrt{4x+1}=t-2\sqrt{x+4}\Rightarrow 4x+1=t^{2}-4t\sqrt{x+4}+4x+16$
$\Leftrightarrow t^{2}-4t\sqrt{x+4}+15=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+4}=\frac{t^{2}+15}{4t}$
$\Leftrightarrow x=(\frac{t^{2}+15}{4t})^{2}-4$
$\Rightarrow dx=2.\frac{t^{2}+15}{4t}.\frac{2t.4t-4(t^{2}+15)}{16t^{2}}dt$
$\Rightarrow dx=\frac{t^{2}+15}{2t}.\frac{4t^{2}-60}{16t^{2}}dt$
$\Rightarrow dx=\frac{t^{4}-225}{8t^{3}}$
Đổi cận $x\in \left [ 0;12 \right ]\Rightarrow t\in \left [ 5;15 \right ]$
$\Rightarrow I=\int_{5}^{15}\frac{1}{t-\frac{t^{2}+15}{4t}}.\frac{t^{4}-225}{8t^{3}}dt$
$=\int_{5}^{15}\frac{t^{4}-225}{6t^{2}(t^{2}-5)}$
$=\int_{5}^{15}\frac{dt}{16}+\int_{5}^{15}\frac{5(t^{2}-45)}{6t^{2}(t^{2}-5)}dt$=.....
p/s: Cách làm này không biết đúng không. Mình xóa bài trước đi ha.

Đúng rồi. Bị gián đoạn mà không để ý. Hix. Buồn ghê.

Bài 163: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$\frac{a^3}{b^2+c}+\frac{b^3}{c^2+a}+\frac{c^3}{a^2+b}\geq \frac{3}{2}$$

Có:
$\frac{a^{3}}{b^{2}+c}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b}$
$=\frac{a^{4}}{b^{2}a+ac}+\frac{b^{4}}{c^{2}b+ab}+\frac{c^{4}}{a^{2}c+bc}$
$\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{b^{2}a+c^{2}b+a^{2}c+ca+ab+bc} $
$\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{a^{2}b^{2}+b^{2}}{2}+\frac{c^{2}b^{2}+c^{2}}{2}+\frac{a^{2}c^{2}+a^{2}}{2}+ca+ab+bc}$
$= \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a^{2}b^{2}+c^{2}b^{2}+a^{2}c^{2})+(a+b+c)^{2}}$
$\geq \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+\frac{(a+b+c)^{4}}{9}}$
$\geq \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}\geq \frac{3}{2}$ (Đ.P.C.M)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài 52:Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn
$\dfrac{1}{1+ a^{4} }+\dfrac{1}{1+ b^{4} }+\dfrac{1}{1+ c^{4} }+\dfrac{1}{1+ d^{4} }=1$
Chứng minh abcd $\geq 3$

ta có: $\dfrac{1}{1+a^{4}}+\dfrac{1}{1+b^{4}}+\dfrac{1}{1+c^{4}}+\dfrac{1}{1+d^{4}}=1$
suy ra:
$\dfrac{1}{1+a^{4}}+ \dfrac{1}{1+b^{4}}+\dfrac{1}{1+c^{4}}= \dfrac{d^{4}}{1+d^{4}}$
ÁP DỤNG CO_SI :
$\dfrac{d^{4}}{1+d^{4}}\geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+a^{4}).(1+b^{4}).(1+c^{4})}}$
tương tự có:
$\dfrac{c^{4}}{1+c^{4}}\geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+a^{4}).(1+b^{4}).(1+d^{4})}}$
$\dfrac{b^{4}}{1+a^{4}}\geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+a^{4}).(1+c^{4}).(1+d^{4})}}$
$\dfrac{a^{4}}{1+a^{4}}\geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+b^{4}).(1+c^{4}).(1+d^{4})}}$
nhân vế với vế 3 bất phương trình được:
$\dfrac{a^{4}}{1+a^{4}}.\dfrac{b^{4}}{1+b^{4}}.\dfrac{c^{4}}{1+c^{4}}.\dfrac{d^{4}}{1+d^{4}}\geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+a^{4}).(1+b^{4}).(1+c^{4})}}.\dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+a^{4}).(1+b^{4}).(1+d^{4})}}.\dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+b^{4}).(1+c^{4}).(1+d^{4})}}.\dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+b^{4}).(1+c^{4}).(1+d^{4})}}$
vậy: abcd 3 ĐPCM
dấu "=" khi $a = b = c = d = \sqrt[4]{3}$

@vietfrog: Bạn trình bày cẩn thận hơn nhé. Nhiều lỗi trình bày lắm đó!

BÀi 94:Chứng minh với mọi a,b,c dương ta luôn có:
$(a+\dfrac{bc}{a})(b+\dfrac{ca}{b})(c+\dfrac{ab}{c})\geq 4\sqrt[3]{(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})}$

Giả sử: $(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})=8$
$\Rightarrow abc\leq 1\Rightarrow \dfrac{1}{abc}\geq 1$
BDT cần chứng minh tương đương với:
$(a+\dfrac{bc}{a})(b+\dfrac{ac}{b})(c+\dfrac{ab}{c})\geq 8$
Có: $(a+\dfrac{bc}{a})(b+\dfrac{ac}{b})(c+\dfrac{ab}{c})$
$\geq (a+\dfrac{bc}{a})(b+\dfrac{ac}{b})(c+\dfrac{ab}{c}).\dfrac{1}{abc}$
Áp dụng BDT Holder có: $\geq (\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{\dfrac{bc}{a}.\dfrac{ac}{b}.\dfrac{ab}{c}})^{3}.\dfrac{1}{abc}$ $=\dfrac{(2\sqrt[3]{abc})^{3}}{abc}=8$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bạn kuma nhầm rùi. Đó không phải là bình phương thiếu của hiệu đâu.
Mà từ pt1 có: $a^{3}+1+2(b^{2}-2b+1)=0$
$(a+1)(a^{2}-a+1)+2(b-1))^{2}=0\Rightarrow a\leq -1$
Nên pt đó luôn lớn hơn 0

Có hệ pt trên $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & a^{3}+2b^{2}-4b+3=0\\ &2a^{2}+2a^{2}b^{2}-4b=0 \end{matrix}\right.$
Trừ pt1 cho pt2 được:
$a^{3}-2a^{2}+3+2b^{2}(1-a^{2})=0$
$ \Leftrightarrow a^{2}(a+1)+3(1-a^{2})+2b^{2}(1-a^{2})=0 $
$\Leftrightarrow (a+1)(a^{2}+3(1-a)+2b^{2}(1-a))=0 $
$\Leftrightarrow a=-1$ hoặc $a^{2}+3(1-a)+2b^{2}(1-a)=0 $
+TH1:a=-1 $\Rightarrow b=1$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}=2 $
+TH2: $a^{2}+3(1-a)+2b^{2})(1-a)=0 $
$\Leftrightarrow a^{2}-3a+3+2b^{2}-2ab^{2}=0 $
$\Leftrightarrow a^{2}-a(2b^{2}+3)+2b^{2}+3=0 $ (Vô nghiệm)
Vậy $a^{2}+b^{2}=2$$

Tìm tất cả các hàm số f(x) thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix}
&f(\sqrt{2}x)=2f (x)\\
&f(x+1)=f(x)+2x+1
\end{matrix}\right.$

bài này là đề thi hsg tỉnh Đồng Tháp do xusinst pót đã được Didier giải rồi đó.

Xét hàm số: $f\left( x \right) = {a^x} + {a^{\sqrt {1 - {x^2}} }}$
Có $f'\left( x \right) = {a^x}\ln a - \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{a^{\sqrt {1 - {x^2}} }}\ln a$
$$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {a^x} = \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{a^{\sqrt {1 - {x^2}} }}$$
$$\Leftrightarrow a^{x-\sqrt{1-x^{2}}}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} $$
$$\Leftrightarrow log_{a}\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}=x-\sqrt{1-x^{2}}$$
$$\Leftrightarrow log_{a}x-log_{a}\sqrt{1-x^{2}}=x-\sqrt{1-x^{2}}$$
$$ \Leftrightarrow lo{g_a}x - x = lo{g_a}\sqrt {1 - {x^2}} - \sqrt {1 - {x^2}} \,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
+$ 0< a< 1$, $ f(t)=log_{a}t-t$ ($0< t< 1$)

Có $f'(t)=\dfrac{1}{t.lna}-1 < 0$

$\Rightarrow$ Hàm nghịch biến

$ \Rightarrow x= \sqrt{1-x^{2}}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $

+$1< a\leq e $, $f(t)=log_{a}t-t$ ($0< t< 1$)

Có $f'(t)=\dfrac{1}{t.lna}-1 > 0$

$\Rightarrow $ Hàm số đồng biến

$\Rightarrow x= \sqrt{1-x^{2}}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$+a\in (e;+\infty )$
-Xét $f(x)=log_{a}x-x $($0< x< 1$)
$f'(x)=\dfrac{1}{x.lna}-1$
$f'(x)=0$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{lna}$
Khi đó có $f_{CĐ}=a^{\dfrac{1}{lna}}+a^{\sqrt{1-\dfrac{1}{ln^{2}a}}}$
-Mặt khác: $f(\sqrt{1-x^{2}})=log_{a}\sqrt{1-x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}$ ($0< x< 1$)
$f'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^{2}}.lna}+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$f'(x)=0\Leftrightarrow $$ x=0$ (loại) hoặc $x=\sqrt{1-\dfrac{1}{ln^{2}a}} $
$f_{CT}=a^{\dfrac{1}{lna}}+a^{\sqrt{1-\dfrac{1}{ln^{2}a}}}$
Để pt(1) có nghiệm $\Rightarrow \dfrac{1}{lna}=\sqrt{1-\dfrac{1}{ln^{2}a}} $
$\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy giải pt f'(x)=0 ta tìm được nghiệm $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Từ đó có:
$f(0)=1+a$
$f(\dfrac{\sqrt{2}}{2})=2a^{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$
$f(1)=1+a$
Vẽ BBT và dựa vào từng trường hợp của a, ta tìm được Max, Min của hàm số.
p/s: Em làm vậy không biết có được không. Thấy bài này lâu quá rùi mà không có ai vào thảo luân.

Bài 75:
Đk: ....$0< x\leq \frac{a}{b}$
Có $\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}=\frac{(b+c)x+x^{2}}{a+x^{2}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a-bx}{cx}}-1=\frac{(b+c)x+x^{2}}{a+x^{2}}-1$
$\Leftrightarrow \frac{\frac{a-bx}{cx}-1}{\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}+1}=\frac{(b+c)x+x^{2}-a-x^{2}}{a+x^{2}}$ $\Leftrightarrow \frac{a-(b+c)x}{cx(\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}+1)}+\frac{a-(b+c)x}{a+x^{2}}=0$
Vì $\frac{1}{cx(\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}+1}+\frac{1}{a+x^{2}}>$ 0 với $a, b, c> 0$ và $0< x\leq \frac{a}{b}$ $\Rightarrow x= \frac{a}{b+c}$

Bài 86:
Đk:$ \frac{1}{5}\leq x\leq \frac{5}{2}$
Có $(26-x)\sqrt{5x-1}-(13x+14)\sqrt{5-2x}+12.\sqrt{5x-1}.\sqrt{5-2x}=18+32$ (1)
Đặt $\sqrt{5x-1}=a$ ($a\geq 0$)
$\sqrt{5-2x}=b$ ($b\geq 0$)
$\Rightarrow 2a^{2}+5b^{2}=23$ (2)
Và $\Rightarrow (1)\Leftrightarrow (a^{2}+3b^{2}+12)a-(3a^{2}+b^{2}+12)b+ab=6a^{2}+6b^{2}+8$
$\Leftrightarrow (a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3})-6(a^{2}-12ab+b^{2})+12(a-b)-8=0$
$\Leftrightarrow (a-b)^{3}-6(a-b)^{2}+12(a-b)-8=0$
$\Leftrightarrow (a-b-2)^{3}=0$
$\Rightarrow a=b+2$
Theo (2) có $2a^{2}+5b^{2}=23$
$\Rightarrow 2(b+2)^{2}+5b^{2}-23=0 ....$

1) $x^2 + 2ax +\frac{1}{16}=-a+\sqrt{a^2+x -\frac{1}{16}}$ với $a\epsilon \left ( 0;\frac{1}{4} \right )$

1, Có $x^{2}+2ax+\frac{1}{16}=-a+\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}$
$\Leftrightarrow (a^{2}+2ax+x^{2})-(a^{2}+x-\frac{1}{16})+(a+x)=\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}$
$\Leftrightarrow (x+a)^{2}-(a^{2}+x-\frac{1}{16})+(x+a)-\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}=0$
$\Leftrightarrow ((x+a)-\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}})((x+a)+\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}+1)=0$
Th1:$x+a=\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}$
Đk: $x\geq -a$
$\Rightarrow x^{2}+x(2a-1)+\frac{1}{16}=0$
$\Leftrightarrow x=...$
Th2:$\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}=-x-a-1$
Đk: $x\leq -a-1$
$\Rightarrow x^{2}+x(2a+1)+2a+\frac{17}{16}=0$
$\Rightarrow x=...$

Quên mất topic này. Không thể để nó chết thế này được.
Xin góp một bài cho anh Thành.
Bài 6 (ĐHQG HN KA-96):
Chứng minh rằng: $\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{2+x+x^{2}}< \dfrac{\Pi }{8}$

Thấy $x^{2n}\geq 0\Rightarrow 1\leq \frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}$
$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{1}{2}}dx\leq \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}dx$
$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}dx\geq \frac{1}{2}$ (Vế 1 được cm) Dấu "=" xảy ra khi x=1
Vì$ n\in \mathbb{N}*$,$ x\in [0;\frac{1}{2}]$
$\Rightarrow x^{2n}\leq x^{2} $
$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}dx\leq \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$
Tính $ \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$
Đặt x=sint $\Rightarrow dx=costdt$
Đổi cận $x\in [0;\frac{1}{2}]\Rightarrow t\in [0;\frac{\Pi }{6}]$
Khi đó: $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}\frac{costdt}{\sqrt{1-sin^{2}t}}dx= \int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}dt=\frac{\Pi }{6}$ (Vế 2 được cm)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow n=1$

Đặt $y=\sqrt{x+7}+\sqrt{11-x} $ với $x\in \begin{bmatrix} -7;11\end{bmatrix}$
Có $ y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+7}}-\dfrac{1}{2\sqrt{11-x}}$
Nên $ y'=0\Leftrightarrow \sqrt{11-x}=\sqrt{x+7}\Leftrightarrow x=2$ và y' không xác định tại x=-7 và x=-11
Vẽ BBT có $\sqrt{18}\leq y\leq 6$
$\Rightarrow \int_{-7}^{11}\sqrt{18}dx\leq \int_{-7}^{11}(\sqrt{x+7}+\sqrt{11-x})dx\leq \int_{-7}^{11}6dx$
$\Leftrightarrow 54\sqrt{2}\leq \int_{-7}^{11}(\sqrt{x+7}+\sqrt{11-x})dx\leq 108 $ (Đ.P.C.M)
Đẳng thức xảy ra khi $x\in (-7;2;11)$
p/s: Em không biết vẽ BBT. Anh Thành vẽ giúp em ha. Thanks anh.

Mỗi người sinh ra đều có một tư duy riêng, không về lĩnh vực này thì về lĩnh vực khác. Ông Việt học Toán không phải vì niềm đam mê mà chỉ là do chạy theo phong trào lúc đó . Đúng là "mồm miệng đỡ chân tay", nhưng chỉ nói mà không làm thì rồi ai còn tin nữa đây.
"Tại sao phải làm cái cũ để mong kết quả mới ? Tại sao lại xuất sắc cái không cần cho cuộc sống ? Tại sao xuất sắc cái không bao giờ dùng ? ". Chẳng phải nhà toán học lỗi lạc cuối thế kỷ XVIII đầu thế kỷ XIX Louis Lagrange đã từng buồn rầu than thở: "Newton đã tìm ra hết mọi bí mật rồi, chẳng còn gì cho chúng ta làm nữa". Hôn nữa, nhiều người còn cho rằng khoa học đã tiệm cận tới những trang cuối cùng. Và rồi tư tưởng về cái bất định, bất toàn, ngẫu nhiên, hỗn độn đã làm nên một cuộc cách mạng sao? Nếu không có Toán liệu công nghệ kỹ thuật có phất triển như ngày nay không?. Nếu không học Toán và giỏi Toán liệu việc kinh doanh của ông có được như ngày nay không? Ông lấy ra một số ví dụ đáng thuyết phục nhưng đâu phải giới Toán học chỉ có nhiêu đó người mà còn rất rất nhiều người khác nữa chứ. Chỉ vì không phù hợp với cá nhân mà nói là "Giá đừng học Toán thì tốt hơn" sao?

không biết mọi người có thấy không nhưng sao mình vào diển đàn thấy chậm kinh khủng. Các phần khác thì không rõ nhưng mấy lần mình vào Tản mạn BĐT đều mất tầm 10 phút để hoạt động.

BQT có thể gửi câu hỏi phỏng vấn thành viên xusinst vào nick tuithichtoan được không ak? Máy tính của thành viên này bị hỏng. Em sẽ chuyển câu hỏi giúp thành viên này. Sắp hết hạn phỏng vấn rùi.

Có:
$2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}$
$=4a^{2}b^{2}-(2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}-2c^{2}a^{2}+a^{4}+b^{4}+c^{4})$
$=4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}=(2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2})(2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2})$