Cho $x,y \in \mathbb{N}^*$ thỏa mãn $x+y=2022$.
Chứng minh $xy \not \vdots 2022$
UserNguyenHaiMinh nội dung
Có 55 mục bởi UserNguyenHaiMinh (Tìm giới hạn từ 29-04-2020)
#736150 $xy \not \vdots 2022$
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 09-12-2022 - 15:08 trong Số học
#736830 Chứng minh $a+b+c+d$ là hợp số biết $ab=cd$
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 18-01-2023 - 19:10 trong Số học
$ab=cd\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{d}{b}=k\left(k>0\right)$
$\Rightarrow a=ck,d=bk$
$a+b+c+d=ck+b+c+bk=c\left(k+1\right)+b\left(k+1\right)=\left(c+b\right)\left(k+1\right)$ $(1)$
Do $a,b,c,d,k>0$ nên từ $(1)$ suy ra $a+b+c+d$ là hợp số
#736833 Chứng minh $a+b+c+d$ là hợp số biết $ab=cd$
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 18-01-2023 - 20:32 trong Số học
Nhầm rồi kìa bạn ơi, đoạn này phải là $ab=cd\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{d}{b}$ chứ
Cảm ơn b đã nhắc mình đã sửa lại rồi
#736328 $10x^{2}+6x=\sqrt{\frac{4x+3}{5...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 18-12-2022 - 11:40 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Giải phương trình: $10x^{2}+6x=\sqrt{\frac{4x+3}{5}} (1)$
ĐKXĐ: $x\ge -\frac{3}{4}$
$\left(1\right)\Rightarrow \left(10x^2+6x\right)^2=\frac{4x+3}{5}$
$\Leftrightarrow 500x^4+600x^3+180x^2-4x-3=0$
$\Leftrightarrow \left(50x^2+20x-3\right)\left(10x^2+8x+1\right)=0$
...
B giải nốt nghiệm r thử lại nhé
#734235 Max $\sum \frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 06-08-2022 - 09:47 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có: $6x^{2}+8xy+11y^2=(\sqrt{6}x+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}y)^{2}+\frac{25}{3}y^{2}$
Anh cho em hỏi làm sao để tách được như thế này ạ
#734226 Max $\sum \frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 05-08-2022 - 10:25 trong Bất đẳng thức và cực trị
B1: Cho $x,y,z>0, x+y+z=3$. Tìm Max $P=\frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{y^2-yz+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{z^2-zx+x^2}}$
B2: Cho $x,y,z>0, x+y+z=3$. Tìm Min $P=\sum \sqrt{6x^2+8xy+11y^2}$
#727605 Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{1}{a^{2}+b...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 26-05-2021 - 15:49 trong Bất đẳng thức và cực trị
cho a;b >0 và $a^{3}+b^{3}+6ab\leq 8$
Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{3}{ab}+ab$
#727610 Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{1}{a^{2}+b...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 26-05-2021 - 16:37 trong Bất đẳng thức và cực trị
Nãy lười gõ $\LaTeX$
$(gt) \Leftrightarrow (a+b)^3+6ab-3ab(a+b)-8\leqslant 0$$\Leftrightarrow (a+b-2)(a^2+b^2+ab+2a+2b+4)\leqslant 0$
$\Leftrightarrow a+b\leqslant 2$ (vì $a,b>0$)
Thanks bạn
#736860 Chứng minh $n^3+n+2$ hợp số
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 19-01-2023 - 17:10 trong Số học
Thiếu lập luận rồi bạn ơi, sao đùng cái $(n+1)(n^2-n+2)$ là hợp số liền được
$n\in ℕ^∗\Rightarrow \hept{\begin{matrix}n^3+n+2>n+1>1\\n^3+n+2>n^2-n+2=n\left(n-1\right)+2\ge 2>1\end{matrix}}$
Do đó $n^{3}+n+2=(n+1)(n^{2}-n+2)$ là hợp số
#727608 Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{1}{a^{2}+b...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 26-05-2021 - 16:22 trong Bất đẳng thức và cực trị
Từ gt, dễ dàng biến đổi ra được: $a+b\leqslant 2$
Ta có: $P=(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab})+(\frac{2}{2ab}+ab)+\frac{3}{2ab}\geqslant \frac{4}{(a+b)^2}+2\sqrt{\frac{1}{ab}.ab}+\frac{6}{(a+b)^2}=\frac{9}{2}$
Vậy $P_{Min}=\frac{9}{2}$
Biến đổi gt kiểu gì v bạn
#734791 $\left(x+1\right)\left(2\sqrt{x^2+3}-x^2...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 04-09-2022 - 14:13 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Giải pt
a, $\left(x+1\right)\left(2\sqrt{x^2+3}-x^2\right)+\sqrt[3]{3x^2+5}=5x+3$
b, $\frac{3}{\sqrt{x^2+4}}+6=2\sqrt{\frac{x^3+3x-3}{3x+2}}+x^2$
c, $\left(x+7\right)\left(x^2-9x+1-\sqrt[3]{20x^2+102x-121}\right)+63x+1=0$
d, $\left(2-\frac{4}{x}\right)\left(\sqrt{x-1}-1\right)=\frac{9x^2-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}$
#736314 Cho a,b là hai số nguyên thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+ab+3...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 17-12-2022 - 17:05 trong Số học
Cho a,b là hai số nguyên thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+ab+3(a+b)+2023$ chia hết cho 5. CMR: a-b chia hết cho 5.
$a^2+b^2+ab+3(a+b)+2023⋮5$
$\Rightarrow 4\left(a^2+b^2+ab+3(a+b)+2023\right)⋮5$
$\Rightarrow \left(2a+b+3\right)^2+3\left(b+1\right)^2+4.2023-12⋮5$
$\Rightarrow \left(2a+b+3\right)^2+3\left(b+1\right)^2⋮5$
Đặt $x=\left(b+1\right)$, $y=\left(2a+b+3\right)$ $\Rightarrow y^2+3x^2\equiv 0\left(mod5\right)$
Do $y^2$, $x^2$ là scp
$\Rightarrow y^2\equiv 0,1,4\left(mod5\right)$
$x^2\equiv 0,1,4\left(mod5\right)$, $\Rightarrow 3x^2\equiv 0,2,3\left(mod5\right)$
Xét các TH
TH1: $y^2\equiv 0\left(mod5\right)$ mà $y^2+3x^2\equiv 0\left(mod5\right)$
$\Rightarrow 3x^2\equiv 0\left(mod5\right)$
${\begin{matrix}2a+b+3\equiv 0\left(mod5\right)\\b+1\equiv 0\left(mod5\right)\end{matrix}\Rightarrow \left(2a+b+3\right)-3\left(b+1\right)=a-b\equiv 0\left(mod5\right)}$
$\Rightarrow a-b⋮5$
Các th còn lại b tự cm nhé
#729830 $\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 20-08-2021 - 09:35 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $13a + 5b + 12c = 9$. Chứng minh rằng
$\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\leqslant1$
(Ac giúp e bằng UCT vs ạ)
#729853 $\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 21-08-2021 - 17:10 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài này thì mình có cách này ko biết có thoả mãn yêu cầu của bạn ko:))
Ta có $\frac{ab}{2a+b}=\frac{1}{\frac{2}{b}+\frac{1}{a}}=\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}\leqslant\frac{2b+a}{9}$. Tương tự, ta sẽ có $\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\leqslant\frac{13a+5b+12c}{9}=1$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{3}{10}$
cách này thì mik đã lm rồi dù s cũng cảm ơn bạn mik đang tìm theo hướng UCT xem có đc không
#731834 Min $P=\sum \frac{\left(a+b\right)\sqrt...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 30-11-2021 - 17:17 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$
Tìm Min $P=\sum \frac{\left(a+b\right)\sqrt{1+c^2}}{c}$
#731838 Min $P=\sum \frac{\left(a+b\right)\sqrt...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 30-11-2021 - 18:13 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có: $P=\frac{(a+b)\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}{c}+\frac{(b+c)\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{a}+\frac{(c+a)\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}{b}=\frac{(a+b)\sqrt{(c+a)(c+b)}}{c}+\frac{(b+c)\sqrt{(a+b)(a+c)}}{a}+\frac{(c+a)\sqrt{(b+a)(b+c)}}{b}\geqslant \frac{(a+b)(c+\sqrt{ab})}{c}+\frac{(b+c)(a+\sqrt{bc})}{a}+\frac{(c+a)(b+\sqrt{ca})}{b}=2(a+b+c)+\frac{\sqrt{ab}(a+b)}{c}+\frac{\sqrt{bc}(b+c)}{a}+\frac{\sqrt{ca}(c+a)}{b}\geqslant 2(a+b+c)+\frac{2ab}{c}+\frac{2bc}{a}+\frac{2ca}{b}\geqslant 4(a+b+c)\geqslant 4.\sqrt{3(ab+bc+ca)}=4\sqrt{3}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
a cho em hỏi tí dòng 3 là dùng bđt nào ạ
#735672 $\left\{{\begin{matrix}\frac{xy}{x+y}=1-z\...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 12-11-2022 - 14:57 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Giải các hệ pt sau
1,$\left\{{\begin{matrix}\frac{xy}{x+y}=1-z\\\frac{yz}{y+z}=2-x\\\frac{zx}{z+x}=2-y\end{matrix}}\right.$
2,$\left\{{\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{y}+\frac{1}{x+z}=\frac{1}{3}\\\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}\end{matrix}}\right.$
3,$\left\{{\begin{matrix}x^2-xy-xz+z^2=0\\x^2-xz-yz+3y^2=2\\y^2+xy+yz-z^2=2\end{matrix}}\right.$
#728278 Giải phương trình: $x^{4}-4x^{3}-19x^{2}+1...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 20-06-2021 - 09:23 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
$x^4-4x^3-19x^2+106x-120=0$
$\Leftrightarrow \left(x^2-5x+6\right)\left(x^2+x-20\right)=0$
$\Leftrightarrow \left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x^2+x-20\right)=0$
$\Leftrightarrow \left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x+5\right)=0$
Tập nghiệm của pt là S={2;3;4;-5}
Cách làm
Xét đa thức $f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ với $a\ne 0$
Khi đó
$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)$
$\Leftrightarrow ax^{4\: }+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x^2-Sx+P\right)\left(x^2-S'x+P'\right)$
Trong đó
$\hept{\begin{cases}\orbr{\begin{cases}S=x_1+x_2=x_1+x_3=x_1+x_4=x_2+x_3=x_2+x_4=x_3+x_4\\S'=x_3+x_4=x_2+x_4=x_2+x_3=x_1+x_4=x_1+x_3=x_1+x_2\end{cases}}\\\orbr{\begin{cases}P=x_1x_2=x_1x_3=x_1x_4=x_2x_3=x_2x_4=x_3x_4\\P'=x_3x_4=x_2x_4=x_2x_3=x_1x_4=x_1x_3=x_1x_2\end{cases}}\end{cases}}$
Khi tìm đc S;S';P;P' thì bài toán sẽ đc giải quyết
Quy trình ép tích
Bước 1
Bấm máy tính tìm các nghiệm $x_1;x_2;x_3;x_4$
Gán $x_1\rightarrow A;x_2\rightarrow B;x_3\rightarrow C;x_4\rightarrow D$
Dùng máy tính dò tìm S;S';P;P' hợp lí nhất có thể
Dự đoán $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x^2-Sx+P\right)\left(x^2-S'x+P'\right)$
Bước 2: Ép tích theo kết quả biết trước
$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x^2-Sx+P\right)\left(x^2-S'x+P'\right)$
P/s cách này hơi khó hiểu nhưng nếu hiểu đc nó sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán khó
#734671 $a,\sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}-2\sqrt[3]...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 28-08-2022 - 15:02 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Giải pt
$a,\sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}-2\sqrt[3]{x-1}-\left(x-5\right)\sqrt{x-8}-3x+31=0$
$b,\sqrt[3]{162x^3+2}-\sqrt{27x^2-9x+1}=1$
$c,\sqrt[3]{x^2}+\sqrt{x^2+8}-2=\sqrt{x^2+15}$
#735053 Trung điểm của HM thuộc đường tròn Euler
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 22-09-2022 - 19:50 trong Hình học
Bài 1. Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp là 0, Chứng minh với mọi điểm M thuộc (O) thì trung điểm của HM thuộc đường tròn Euler.
Bài 2. Cho tam giác ABC, P là một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của P trên các đường thẳng BC,AC,AB. Chứng minh rằng D,E,F cùng thuộc một đường thẳng. (Đường thẳng Simson ứng với P của tam giác ABC).
#734667 $8x^2-8x+\sqrt{1-3x}=\sqrt{1+x}$
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 28-08-2022 - 10:51 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Giải pt bằng phương pháp đặt ẩn phụ
a,$8x^2-8x+\sqrt{1-3x}=\sqrt{1+x}$
b,$\left(\frac{x-3}{x-1}\right)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=\left(2x+3\right)\sqrt{2x+1}$
c,$x+5\sqrt{1-\sqrt{1-x}}=6\sqrt{1-x}$
d,$\left(x+5\right)\sqrt{x+1}+1=\sqrt[3]{3x+4}$
#732449 A,I,K thẳng hàng
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 15-01-2022 - 18:58 trong Hình học
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ (I) nội tiếp và đường tròn (K) bàng tiếp trong góc A. Đường tròn (K) tiếp xúc AB,AC và BC thứ tự tại D,E,F. Gọi r và R là bán kính (I) và (K). Chứng minh rằng:
a, A,I,K thẳng hàng
b,Sabc=R.r
#733278 $x^3+y^3⋮72$
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 17-04-2022 - 10:46 trong Số học
Cho $x,y$ nguyên thỏa mãn $xy-47⋮24$. Chứng minh rằng $x^3+y^3⋮72$
#729369 $\sum \frac{1}{x}+\frac{9}...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 04-08-2021 - 15:15 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho x,y,z dương. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{1}{x}+\frac{9}{x+y+z}\geq 4\sum \frac{1}{x+y}$
#729241 $\sum \frac{a^2\left(a+2b\right)}{...
Đã gửi bởi UserNguyenHaiMinh on 30-07-2021 - 10:13 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c là các số thực dương.CMR
$\sum \frac{a^2\left(a+2b\right)}{\left(a+b\right)^2}\geqslant \frac{3}{4}(a+b+c)$
(lm giúp e = UCT vs ạ)
- Diễn đàn Toán học
- → UserNguyenHaiMinh nội dung