Ta chứng minh $(x_n)$ không hội tụ theo chuẩn $|| \cdot ||$.
Thật vậy, sự hội tụ theo chuẩn $|| \cdot ||$ chính là hội tụ đều, nên nếu $x_n$ hội tụ về một hàm $x$ theo chuẩn $|| \cdot ||$ thì $x_n$ hội tụ đều về $x$, nói riêng thì nó hội tụ điểm, hay $\lim_{n \to +\infty} x_n(t) = x(t)$ với mọi $t \in [0,1]$.
Nhận xét rằng, với $0 \le t < 1$ thì $\lim_{n \to +\infty} nt^n = 0$, nên $\lim_{n \to +\infty} x_n(t) = t^3$.
Với $t = 1$ thì $x_n(1) = 1 = 1^3$ với mọi $n$.
Vậy ta có $\lim_{n \to +\infty} x_n(t) = t^3$ với mọi $t \in [0,1]$. Vậy $x(t) = t^3$ với mọi $t \in [0,1]$.
Từ đây ta sẽ chỉ ra điều mâu thuẫn rằng $x_n$ không hội tụ về $x$ theo chuẩn $||\cdot||$. Thật vậy, ta có $$||x_n - x|| \ge ||x_n(\tfrac{n}{n+1}) - x(\tfrac{n}{n+1})|| = (\tfrac{n}{n+1})^{n+1} \to \tfrac{1}{e}$$ khi $n \to +\infty$.
Vậy ta kết luận rằng $(x_n)$ không hội tụ theo chuẩn $|| \cdot ||$.
Ngược lại, ta kiểm tra rằng $$||x_n - x||_1 = \int_0^1 |nt^n - nt^{n+1}|\,dt = \int_0^1 (nt^n - nt^{n+1})\,dt = \tfrac{n}{n+1} - \tfrac{n}{n+2} \to 0$$ khi $n \to +\infty$, nên $(x_n)$ hội tụ về hàm $x(t) = t^3$, theo chuẩn $||\cdot||_1$.