Cho x, y, z $\geq 0$ và $x+y+z=1$. Cm:

A = $\sqrt{x+\frac{(y-z)^{2}}{12}}+\sqrt{y+\frac{(z-x)^{2}}{12}}+\sqrt{z+\frac{(x-y)^{2}}{12}}\leq \sqrt{3}$

Cho tam giác ABC có góc A = $60^{\circ}$ và I là tâm đường tròn nội tiếp. Trên các tia BA, CA theo thứ tự lấy cấc điể E, F sao cho BE = CF = BC. Chứng minh 3 điểm I, E, F thẳng hàng

Cho a, b, c là các số thực ko âm. Cm:

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{10}{(a+b+c)^{2}}$

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), H và I thứ tự là trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. Biết AH = R, tính$\angle A$

Cho x$\geq$x.y+1

               Tìm max của P=$\frac{3.x.y}{x^{2}+y^{2}}$

MOD.Chú ý tiêu đề.

Đây

https://www.google.c....65636070,d.dGc

Tìm các chữ số x; y; z; t ;u thỏa mãn:

$\overline{xy}+\overline{ztu}=\sqrt{\overline{xyztu}}$

Đặt $\overline{xy}=a;\overline{ztu}=b$. Thay vào gt => $(a+b)^{2}=1000a+b$

$\Leftrightarrow (a+b)(a+b-1)=999a=27.37.a$

Mà $(a+b,a+b-1)=1$ => Trong 2 số có 1 số chia hết 27 và 1 số chia hết 37

 - Nếu $a+b-1\vdots 37=>a+b=37t+1\vdots 27$. Xét khoảng...

- Nếu $a+b\vdots 37$. CMTT

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x(2\sqrt{y-1}-x)+y(2\sqrt{x-1}-y)=0\\ x^{3}+y^{3}=16 \end{matrix}\right.$

Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn $x+y=2011$. Tìm Min và Max:

$T=x(x^{2}+y)+y(y^{2}+x)$

Cho a,b,c là các số dương khác nhau đôi một. 

Tìm Max: $P=\frac{(a-x)(a-y)}{a(a-b)(a-c)}+\frac{(b-x)(b-y)}{b(b-c)(c-a)}+\frac{(c-x)(c-y)}{c(c-a)(c-b)}$  với x,y>0; x+y=1

Theo hệ số bất định, giả sử:

$\frac{(t-x)(t-y)}{(t-a)(t-b)(t-c)}=\frac{A}{t-a}+\frac{B}{t-b}+\frac{C}{t-c}$

Khi đó: $(t-x)(t-y)=A(t-b)(t-c)+B(t-a)(t-c)+C(t-a)(t-b)$

Thay t lần lượt bằng a, b, c suy ra:

$A=\frac{(a-x)(a-y)}{(a-b)(a-c)};B=\frac{(b-x)(b-y)}{(b-c)(b-a)};C=\frac{(c-x)(c-y)}{(c-a)(c-b)}$

Suy ra:

$P=\frac{(t-x)(t-y)}{(t-a)(t-b)(t-c)}$

Cho t = 0 thì $P=\frac{xy}{abc}$. Vì $xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow P\leq \frac{1}{4abc}$

Vậy Max P = $\frac{1}{4abc}$. Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn hệ:

$\left\{\begin{matrix} x+y+z=5\\ xy+yz+zx=8 \end{matrix}\right.$

Giải phương trình:

$(x+\sqrt{2-x^{2}}-2)(2x\sqrt{2-x^{2}}+3)=-2$

Tính tổng các nghiệm của phương trình $(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+3}-3)...(\sqrt{x+100}-100)=0$

ta có:

$\sqrt{x+n}=n\Rightarrow x=n^{2}-n=(n-1).n$

Thay n lần lượt từ 1 đến 100

=> Tổng các nghiệm P = $0.1+1.2+2.3+...+99.100$

$\Leftrightarrow 3P=1.2.3+2.3.(4-1)+...+99.100.(101-98)=99.100.101=999900$

Giải phương trình:

$(\frac{x}{x-1})^{2}+(\frac{x}{x+1})^{2}=\frac{10}{9}$

Giải phương trình:

$16x^{4}+5=6\sqrt[3]{4x^{3}+x}$

Tìm cặp số (x, y)  sao cho y nhỏ nhất thỏa mãn:

$x^{2}+5y^{2}+2y-3xy-3=0$

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn $a+b\geq c$ và $\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}=\sqrt{a+b-c}$

Chứng minh:

$\sqrt[2014]{a}+\sqrt[2014]{b}-\sqrt[2014]{c}=\sqrt[2014]{a+b-c}$

A =$1!(2-1)+2!(3-1)+3!(4-1)+...+n!(\left [n+1)-1 \right ]$

   =2!-1!+3!-2!+...+(n+1)!-n!

   =$(n+1)!-1$

Dựng tia Bx sao cho$\angle ABX=60^{\circ}$, Bx cắt AC tại điểm N. Kẻ AM vuông góc với Bx tại M. Ta có

BM = $\frac{AB}{2}=\frac{b}{2}.\bigtriangleup ABC~\bigtriangleup BCN(g.g)$ => $\bigtriangleup$ BCN cân => BC = BN = a

Mà$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CN}=>CN=\frac{BC.BN}{AC}=\frac{a^{2}}{b}$

=>$AN=b-\frac{a^{2}}{b}$.$AM^{2}=\frac{3b^{2}}{4};MN=\frac{b}{2}-a$

=>$AM^{2}=AN^{2}-MN^{2}\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}=3ab^{2}$

Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với HK, cắt AK tại N

Sử dụng t/c đường trung bình và góc ngoài tam giác => OI là trung trực HK. Mà ID = IC

=>CH = DK

Cho $a+b+c=2$ và $ab+bc+ca=1$

Tìm Max và Min của a, b, c

Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác . Chứng minh rằng : $\left | \frac{a-c}{b}+\frac{b-a}{c}+\frac{c-b}{a} \right |< 1$

Nhân 2 vế với abc >0 ta có:

VT = $\left | ac(a-c)+ab(b-a) +bc(c-b)\right |$

     =$\left | (a-b)(b-c)(c-a) \right |$

Theo BĐT tam giác: $\left | a-b \right |< c$ ; $\left | b-c \right |< a$ ; $\left | c-a \right |< b$

=> VT < abc = VP (đpcm)

Cho tam giác nhọn ABC có  AB =c, BC = a, CA = b nội tiếp đường tròn (O; R). Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$

Tìm tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số thỏa mãn:

$\sqrt[3]{\overline{abcde}}=\overline{ab}$

Cho các số thực không âm $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ thỏa mãn:

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} =1$

Tìm Max Q = $a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+a_{3}a_{4}+a_{4}a_{5}$

Áp dụng công thức $r_{a}=\frac{S}{p-a}$ => $r_{a}+r_{b}+r_{c}=\frac{S}{p-a}+\frac{S}{p-b}+\frac{S}{p-c}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}=r_a+r_b+r_c=S\left ( \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \right )=S.\left [ \frac{(p-a)(p-b)+(p-b)(p-c)+(p-c)(p-a)}{(p-a)(p-b)(p-c)} \right ]=\frac{p\left ( 3p^{2}-2p(a+b+c)+ab+bc+ca \right )}{S}=\frac{p(3p^{2}-4p^{2}+p^{2}+r^{2}+4Rr)}{S}=\frac{pr(r+4R)}{S}=4R+r$

$\Leftrightarrow \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}=\frac{4R+r}{S}=\frac{4R+r}{pr}$