Đây nha bạn: https://drive.google...ROCciQDLLuE2xlg

Với $p$ là các số nguyên tố khác 3 và $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a+b$ chia hết cho $p$ và $a^3+b^3$ chia hết cho $p^2$, chứng minh rằng $a+b$ chia hết cho $p^2$ hoặc $a^3+b^3$ chia hết cho $p^3$

Với $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$, chứng minh rằng: 

$\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}\leq \frac{1}{\sqrt{1+c^2}}$

Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho $(n+1)(n+24)$ và $n(n+9)$ có cùng tập ước nguyên tố.

Mình nghĩ bài này tìm $min$ nên dùng bđt Cauchy-Schwarz. Dùng bđt này bài toán rất là đẹp và rất là gọn:

$T\geq \frac{(1+1+1)^2}{(a+b+c+1+1+1)}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

Dấu bằng $\Leftrightarrow a=b=c=1$

$z=(x-2y)(x+2y)=5xy-2(x^2+y^2)\leq 5xy-4xy=xy$

$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\geq xy(x+y)\geq z(x+y)$

$\Rightarrow \frac{x^3+y^3}{z}\geq x+y$

$F=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{xy+yz}+\frac{x^3+y^3}{z}\geq \frac{(x+y)^2}{2xy+z(x+y)}+\frac{x+y}{1}$

$\geq \frac{(x+y)^2}{(x+y)^2+z(x+y)}+x+y=\frac{(x+y)}{x+y+z}+x+y$

Mà $z\leq xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}$

Với $x,y,z>0$ thỏa mãn $z=(x-2y)(y-2x)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$F=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{x^3+y^3}{z}$

Bạn có chắc đây là một bài toán số học không?

Em đăng nhầm ạ   Đây là bài toán bất đẳng thức ạ   

          Cho các số thức $a,b,c,d$ thỏa mãn $a+b+c+d=6$ và $a^2+b^2+c^2+d^2=12$. Chứng minh rằng $0\leq a,b,c,d\leq 3$ và tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                  $F=4(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a^4+b^4+c^4+d^4)$

Tìm các số tự nhiên n sao cho $3^{2^{2n}}+10$ là số nguyên tố.

Tìm các số tự nhiên $n$ sao cho $2^n+n^2$ là số chính phương.

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn $3^y=x^2-5x+7$

Tìm các số nguyên tố x, y thỏa mãn $2^y=1+x+x^2+x^3$

Không mất tính tổng quát ta giả sử $p\leq q$

Ta có $p^2-pq+q^2=x^2 \Leftrightarrow (p-q)^2+pq=x^2\Leftrightarrow pq=(x-p+q)(x+p-q)$

+) $p=q$ thì $p=q=x$ (thỏa mãn )

+) $p<q$ thì $x-p+q > x+p-q$

Do p,q nguyên tố và $p<q$ nên ta có các trường hợp sau :

-TH1: $x-p+q = q , x+p-q=p$ (loại do từ đó suy ra $p=q$ )

-TH2:$x-p+q =pq$ và $x+p-q=1$

Khi đó suy ra $2q-2q=pq-1$

$\Leftrightarrow p=\frac{2q+1}{q+2}=2-\frac{3}{q+2}< 2$ ( p không là snt )

Vậy $p=q=x$ thì thỏa mãn đề bài 

Đoạn TH2 sao ra được $p=\frac{2q+1}{p+2}$ vậy =)))

Cho $p=q$ thì đề luôn có nghiệm $x=p=q$ mà ?

vậy có nghĩa là bài này thỏa mãn mọi giá trị p=q nguyên tố đúng không ạ ?

Tìm các số nguyên tố $p,q$ và các số tự nhiên $x$ thỏa mãn $p^2 -pq +q^2=x^2$.

=))))) cung ghe

Ghê gì nhầm dấu =)))

$2q-2p=pq-1 \Leftrightarrow p(q+2)=2q+1\Leftrightarrow p=\frac{2q+1}{q+2}$ =)) 

À nhầm nãy em biến đổi ra $p=\frac{2q+1}{2-q}$. Chắc nhầm dấu =)))

Không mất tính tổng quát ta giả sử $p\leq q$

Ta có $p^2-pq+q^2=x^2 \Leftrightarrow (p-q)^2+pq=x^2\Leftrightarrow pq=(x-p+q)(x+p-q)$

+) $p=q$ thì $p=q=x$ thay vào đề bài thấy hoặc $q=0$ hoặc $q=1$ (ktm)

+) $p<q$ thì $x-p+q > x+p-q$

Do p,q nguyên tố và $p<q$ nên ta có các trường hợp sau :

-TH1: $x-p+q = q , x+p-q=p$ (loại do từ đó suy ra $p=q$ )

-TH2:$x-p+q =pq$ và $x+p-q=1$

Khi đó suy ra $2q-2q=pq-1$

$\Leftrightarrow p=\frac{2q+1}{q+2}=2-\frac{3}{q+2}< 2$ ( p không là snt )

Vậy k có giá trị p,q,x thỏa mãn 

(P/s: Không biết có đúng không nữa =))) )

thấy cx hợp lí mà ko có giá trị ko biết đúng không nữa =)))

Tìm các số nguyên tố $p,q$ và các số tự nhiên $n$ thỏa mãn $p(p+1)+q(q+1)=n(n+1)$

(Bài này em có ý tưởng thêm $2pq$ mà chưa ra được ạ)

Tìm các số nguyên tố $p$ sao cho $8p+1$ là một số chính phương.

Bài này em làm được đến đoạn này thì không làm được nữa: 

        Giải

Đặt $\frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}=p (p\in P )$

$\Rightarrow x^3+y^3=p(x^2+xy+y^2)$

Đặt $(x,y)=d$ thì $x=da ; y=db (a,b\in N*,(a,b)=1)$

Ta có $d^3(a^3+b^3)=pd^2(a^2+ab+b^2)$

$\Leftrightarrow d(a^3+b^3)=p(a^2+ab+b^2)$

$\Leftrightarrow d(a+b)(a^2-ab+b^2)=p(a^2+ab+b^2)$

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $\frac{x^3+x^3}{x^2+xy+y^2}$ là một số nguyên tố.

Tôi nghĩ rằng n là số nguyên tố hoặc n = $p^2$  với p là số nguyên tố.

Không biết còn thiếu trường hợp nào không?

Em nghĩ chưa đủ đâu ạ. Nếu $n$ là 15 và $d=3$ là ước của $n$ thì $d-1$ vẫn là ước của $n-1$ đấy ạ

Tìm các số nguyên dương $n>1$ thỏa mãn tính chất nếu $d>1$ là ước của $n$ thì $d-1$ là ước của $n-1$