Bài 1.

Giải

Sai thì thôi bạn nhé

http://diendantoanho...80/#entry444511
Bài này đã được đăng ở đây rồi bạn!

• Nếu $x > \dfrac{2}{3}, VT < 12\sqrt{2} < VF$
• Nếu $0 < x < \dfrac{2}{3}, VT > 12\sqrt{2} > VF$

Nếu bạn học đạo hàm rồi thì xử lý dễ hơn

Bài 2. 

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox là: 
$x^3 + 2(1 - 2m)x^2 + (5 - 7m)x + 2(m + 5) = 0$
$\Leftrightarrow (x + 2)\left ( x^2 - 4mx + m + 5\right ) = 0$
Để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình $g(x) = x^2 - 4mx + m = 5 = 0$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác -2.

Phần còn lại bạn tự giải nhé! 

Giải

Đặt xy = t

Từ giả thiết, ta có: $(x + y)^2 = 3xy + 1 \geq 0 \Rightarrow t \geq \dfrac{-1}{3}$

Mặt khác: $xy = x^2 + y^2 - 1 \geq 2xy - 1 \Rightarrow t \leq 1$

Ta có:
$M = x^4 + y^4 - x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - 3x^2y^2 $
$M = (t + 1)^2 - 3t^2 = -2t^2 + 2t + 1 = -\dfrac{2}{3}(3t + 1)(t - 1) + \dfrac{2}{3}t + \dfrac{1}{3}$

Vì $\dfrac{-1}{3} \leq t \leq 1 \Rightarrow (3t + 1)(t - 1) \leq 0$

Vậy: $M \geq \dfrac{2}{3}t + \dfrac{1}{3} \geq \dfrac{1}{9}$

Kết luận: $Min_M = \dfrac{1}{9}$ khi $x = - y = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ và ngược lại.

Giải

Đặt $\cos{x} = t \, (-1 \leq t \leq 1)$, ta được:

$y = f(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 5$

Xét hàm số f(t) trên $[-1; 1]$ có $f’(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3) \geq 0 \forall$ $t \in [-1; 1]$

Vậy, hàm đồng biến trên [-1; 1]. Khi đó: $f(-1) \leq f(t) \leq f(1)$

Vậy:

$Max_y = 9$ khi $t = 1 \Rightarrow x = k2\pi \, (k \in Z)$

$Min_y = -11$ khi $t = -1 \Rightarrow x = \pi + k2\pi \, (k \in Z)$

Giải

Đặt $x + y + z = p; xy + yz + zx = q$ và $xyz = r$.

Theo giả thiết: $q = 3 \Rightarrow r \leq \sqrt{\dfrac{q^3}{27}} = 1$

Ta có:
$(x^3 + y^3 + z^3)(x + y + z) \geq (x^2 + y^2 + z^2)^2$

$\Rightarrow (p^3 - 3pq + 3r)p \geq (p^2 - 2q)^2 \Leftrightarrow p^2q + 3pr \geq 4q^2$

$\Leftrightarrow 3p^2 + 3pr - 36 \geq 0 \Leftrightarrow p^2 + pr - 12 \geq 0 \, (1)$

Vì $x, y, z > 0$ nên $p, r > 0$. Vì vậy, từ (1), suy ra: $p \geq \dfrac{\sqrt{r^2 + 48} - r}{2}$

Vậy, ta cần chứng minh: $\dfrac{\sqrt{r^2 + 48} - r}{2} \geq \dfrac{10 - r}{3} \Leftrightarrow 3\sqrt{r^2 + 48} \geq r + 20$

$\Leftrightarrow r^2 - 5r + 4 \geq 0 \Leftrightarrow (r - 1)(r - 4) \geq 0$

BĐT trên đúng với $r \leq 1$. Vậy, ta có điều phải chứng minh.

Giải

Đặt $P = \sqrt{\dfrac{1 - a}{bc}} + \sqrt{\dfrac{1 - b}{ac}} + \sqrt{\dfrac{1 - c}{ab}} = 2$

Khi đó;
$\dfrac{P^2}{3} \leq \dfrac{1 - a}{bc} + \dfrac{1 - b}{ac} + \dfrac{1 - c}{ab} = \dfrac{a + b + c - ( a^2 + b^2 + c^2)}{abc}$

$\leq \dfrac{a + b + c - \dfrac{(a + b + c)^2}{3}}{abc} = \dfrac{\frac{-1}{3}\left ( a + b + c - \dfrac{9}{4}\right )^2 - \dfrac{1}{2}(a + b + c) + \dfrac{27}{16}}{abc}$

$\leq \dfrac{\dfrac{- 3}{2}\sqrt[3]{abc} + \dfrac{27}{16}}{abc}$

Đặt $\sqrt[3]{abc} = t \Rightarrow \dfrac{\dfrac{-3}{2}t + \dfrac{27}{16}}{t^3} \geq \dfrac{4}{3}$

$\Leftrightarrow 64t^3 + 72t - 81 \leq 0 \Rightarrow t \leq \dfrac{3}{4} \Rightarrow abc \leq \dfrac{27}{64}$

Dấu “=” xảy ra khi $a = b = c = \dfrac{3}{4}$

Giải

Giải

Câu 7:
Một cuộn dây được chia thành 4 đoạn. Biết đoạn thứ nhất dài bằng$\frac{1}{2}$tổng độdài ba đoạn kia, đoạn thứ hai dài bằng$\frac{1}{3}$tổng độ dài ba đoạn kia, đoạn thứ badài bằng$\frac{1}{4}$tổng độ dài ba đoạn kia và đoạn thứ tư dài 19,5m. Hỏi cuộn dây trước khi chia dài bao nhiêu mét?

Giải

Gọi a, b, c, d lần lượt là độ dài 4 đoạn 1, 2, 3, 4 của cuộn dây.
Theo đề bài, ta có: $\left\{\begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}(b + c + d)\\b = \dfrac{1}{3}(a + c + d)\\c = \dfrac{1}{4}(a + b + d)\\d = 19,5\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2a = b + c + d \,\,\,\, (1)\\3b = a + c + d \,\,\,\, (2)\\ 4c = a + b + d \,\,\,\, (3)\\d = 19,5\end{array}\right.$
Lấy (1) - (2), ta được: $$2a - 3b = b - a \Leftrightarrow 3a = 4b \Leftrightarrow b = \dfrac{3a}{4}$$ (*)
Lấy (1) - (3), ta được: $$2a - 4c = c - a \Leftrightarrow 3a = 5c \Leftrightarrow c = \dfrac{3a}{5}$$ (*)(*)

Thế (*) và (*)(*) vào (1), ta có: $2a = \dfrac{3a}{4} + \dfrac{3a}{5} + 19,5 \Leftrightarrow a = 30$
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}b = \dfrac{3a}{4} = 22,5\\c = \dfrac{3a}{5} = 18\end{array}\right.$

Vậy. độ dài cuộn dây trước khi chia:
30 + 18 + 22,5 + 19,5 = 90 (m)

Giải phương trình

$\sqrt[4]{\frac{(x^{2}+x)^{2}+5\sqrt[3]{x^{8}}}{144}}=\frac{x}{x+1}$

Giải

ĐKXĐ: $x \neq -1$

Điều kiện để phương trình ban đầu có nghiệm: $\frac{x}{x+1} \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 0$ hoặc $x < -1$

Phương trình ban đầu tương đương:
$\dfrac{x^2(x + 1)^2 + 5x^2\sqrt[3]{x^2}}{144} = \left ( \dfrac{x}{x + 1} \right )^4$

$\Leftrightarrow x^2 \left ( \dfrac{(x + 1)^2 + 5\sqrt[3]{x^2}}{144} - \dfrac{x^2 }{(x + 1)^4} \right ) = 0 \,(1)$

- Nhận thấy x = 0 là một nghiệm của phương trình đã cho.

- Với $x \neq 0$, (1) tương đương:
$(x +1)^6 - 5(x +1)^4\sqrt[3]{x^2} - 144x^2 = 0$

$\Leftrightarrow \left ( \dfrac{x +1}{\sqrt[3]{x}}\right )^6 + 5\left ( \dfrac{x +1}{\sqrt[3]{x}}\right )^4 - 144 = 0$

Đặt $a = \dfrac{x +1}{\sqrt[3]{x}}$, ta được: $a^6 + 5a^4 - 144 = 0 \Leftrightarrow (a^2 - 4)(a^4 + 9a^2 + 36) = 0 \Leftrightarrow a = \pm 2$
Suy ra: $x + 1 = \pm 2\sqrt[3]{x}$

- Nếu $x + 1 = 2\sqrt[3]{x} \Leftrightarrow (\sqrt[3]{x} - 1)(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} - 1) = 0$ 

$\Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = \left (\dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \right )^3= -2 \pm \sqrt{5}$
 

- Nếu $x + 1 = -2\sqrt[3]{x}$. Từ điều kiện $x < -1$ hoặc $x \geq 0$. Suy ra, trường hợp này không thỏa mãn.

Kết luận: Phương trình có tập nghiệm: $S = \{ 0; 1; -2 \pm \sqrt{5}\}$

Bài này chỉ cần sử dụng công thức:
$\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$ và $\tan{x} = \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}$

với $x = \alpha + \beta$

Thử sức trước kì thi số 8 - THTT

Giải