Bất biến của đại số đa thức dưới tác động của nhóm hữu hạn
04-12-2022
Gửi bởi nmlinh16
trong Toán học hiện đại
1 - GIỚI THIỆU Một định lý quen thuộc nói rằng mọi đa thức đối xứng đều biểu diễn được (một cách duy nhất) dưới dạng hàm đa thức theo các đa thức đối xứng sơ cấp. Cụ thể, nếu ta xét tác động hiển nhiên của nhóm đối xứng $S_n$ trên đại số đa thức $K[x_1,\ldots,x_n]$ (với $K$ là một trường tùy ý) thì ta có đẳng cấu đại số $$K[y_1,\ldots,y_n] \to K[x_1,\ldots,x_n]^{S_n} := \{f \in K[x_1,\ldots,x_n]: \forall \sigma \in S_n, \sigma \cdot f = f\}$$ $$y_i \mapsto e_i,$$ trong đó $e_i$ là đa thức đối xứng sơ cấp thứ $i$, được định nghĩa bởi $$\begin{align*} e_1 & = x_1 + \cdots + x_n, \\ e_2 & = \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j, \\ \vdots \\ e_n & = x_1\cdots x_n.\end{align*}$$Dễ thấy trong trường hợp trên, nhóm $S_n$ tác động lên $K[x_1,\ldots,x_n]$ bằng các đẳng cấu $K$-đại số phân bậc. Lý thuyết bất biến của nhóm hữu hạn quan tâm đến bài toán tổng quát: cho $G$ là một nhóm ma trận hữu hạn (một nhóm con của $\text{GL}_n(K)$), nó tác động lên không gian các đa thức thuần nhất bậc 1 (sinh bởi $x_1,\ldots,x_n$), vì thế tác động lên $K[x_1,\ldots,x_n]$ một cách tự nhiên. Ta biết gì về đại số con bất biến $K[x_1,\ldots,x_n]^G$? Về mặt tính toán toán, người ta quan...
2884 Lượt xem ·
2 Trả lời
( Trả lời cuối cùng bởi nmlinh16 )
Toán học như văn hóa và tri thức
27-10-2022
Gửi bởi bangbang1412
trong Toán học lý thú
Toán học như văn hóa và tri thức - Mathematics as Culture and Knowledge Toán học là một hoạt động tri thức, được cho là một trong những hoạt động tinh tế nhất từng được tạo ra bởi văn minh nhân loại. Hermann Hesse phác họa chân dung những hoạt động của các nhà toán học một cách ẩn dụ trong Glass Bead Game. Có lẽ đó là nỗ lực văn học tốt nhất để bắt dù chỉ một cái nhìn thoáng qua những hoạt động nội tại trong xã hội toán học. Người ta không phê phán một tác phẩm hư cấu bằng sự thiếu chính xác của nó, nhưng sẽ thực sự khó để nói cái gì đó có nghĩa về việc thế nào là làm toán.
Có khá nhiều các nhà toán học thừa hưởng quan điểm kiểu Plato về toán học. Điều này có nghĩa là họ có niềm tin rằng các đối tượng và xây dựng toán học có một kiểu tồn tại nào đó trong "thế giới của những ý tưởng", tồn tại độc lập với trí óc con người. Như trong trường hợp của thiên đường thần thoại, những người khởi xướng niềm tin đó tỏ ra khá mập mờ về vị trí và tính nhất quán của thế giới Plato ngoại lai này. Một lý do thường được viện ra để củng cố góc nhìn Plato là sự hiệu quả của toán học trong việc mô hình hóa thế giới vật lý. Không nghi ngờ gì những định luật Kepler cuối cùng cũng có thể được qu...
3578 Lượt xem ·
2 Trả lời
( Trả lời cuối cùng bởi Isidia )
Các nhà vật lý lượng tử tiên phong giành giải Nobel Vật lý
21-10-2022
Gửi bởi Nxb
trong Tin tức - Vấn đề - Sự kiện
Mình dịch lại bài viết “Pioneering Quantum Physicists Win Nobel Prize in Physics” trên quantamagazine. Bài viết gốc ở đây https://www.quantama...ysics-20221004/ Nếu có lỗi sai mọi người hãy gửi tin nhắn cho mình. ———————————-Các nhà vật lý lượng tử tiên phong giành giải Nobel Vật lý Các nhà vật lý Alain Aspect, John Clauser và Anton Zeilinger đã giành được giải Nobel Vật lý năm 2022 cho các thí nghiệm chứng minh bản chất lượng tử kỳ lạ sâu xa của thực tại. Các thí nghiệm của họ đã cùng nhau thiết lập sự tồn tại của một hiện tượng lượng tử kỳ lạ được gọi là hiện tượng liên đới, nơi hai hạt tách xa nhau dường như chia sẻ thông tin mặc dù không có cách giao tiếp nào có thể hình dung được. Hiện tượng liên đới nằm ở trung tâm của một cuộc đụng độ nảy lửa vào những năm 1930 giữa những người khổng lồ vật lý, Albert Einstein ở một bên, và một bên là Niels Bohr và Erwin Schrödinger về cách vũ trụ vận hành ở cấp độ cơ bản. Einstein tin rằng tất cả các khía cạnh của thực tế nên có một sự tồn tại cụ thể và hoàn toàn có thể biết được. Tất cả các vật thể - từ mặt trăng đến photon ánh sáng - phải có các đặc tính được xác định chính xác có thể được khám phá thông qua ph...
3692 Lượt xem ·
5 Trả lời
( Trả lời cuối cùng bởi Nxb )
Ngày hội toán học: Số nguyên tố và giải thưởng Fields
11-08-2022
Gửi bởi Nesbit
trong Lịch sử toán học
[Nhân có bạn nhắc đến giả thuyết về các số nguyên tố sinh đôi, xin chia sẻ một bài viết gần đây của GS. Vũ Hà Văn viết trên blog vào dịp James Maynard nhận được Huy chương Fields năm nay. Giọng văn của giáo sư vẫn hài hước như mọi khi, đặc biệt là phần chốt hạ bằng hai câu thơ lục bát.] Nhà toán học thứ hai được giải Fields năm nay là anh J. Maynard, vỡi những công trình về số nguyên tố. Số nguyên tố có lẽ là một trong những chủ đề lâu đời nhất và được chú ý tới nhất trong toán học. Các nhà hiền triết Hy lập đáng kính đã nguyên cứu về nó, từ trước khi chúa Jesu ra đời. Rất có thể là trước cả khi Mỵ nương cưới Sơn tinh. Số nguyên tố là những số nguyên dương chỉ chia hết đươc cho chính nó. Ví dụ như 5; 6 không phải là số nguyên tố vì nó chia hết cho 2. Các số nguyên tố nhỏ nhất là 2,3,5,7,11,13,17,19, 23,29, 31, 37….Số 1, thấp cổ bé họng, không được vào hội. Thật ra lý do sâu xa hơn là vì một định lý, xưa như quả đất, là tất cả các số nguyên dương đều có thể viết dưới dạng tích của một số nguyên tố, ví dụ như 6=2 nhân 3. Ai cũng biết là nhân với 1 thì chả thêm vị gì, nên chàng đã bị loại. Từ thời Napoleon, người ta đã biết là có vô hạn số nguyên tố. Tức cái dãy 2,3,5…ở trên nó...
4550 Lượt xem ·
0 Trả lời
Định lý phân loại mặt đóng
09-07-2022
Gửi bởi nmlinh16
trong Toán học hiện đại
Gửi các thành viên trên diễn đàn ghi chú của mình về định lý phân loại mặt đóng, một định lý cơ bản của tô pô. Học sinh phổ thông có thể đọc được ghi chú này.https://drive.google...iew?usp=sharing
2984 Lượt xem ·
1 Trả lời
( Trả lời cuối cùng bởi Nesbit )
SKKN: Hướng dẫn học sinh giải bài toán tổ hợp tạo số bằng lập trình PASCAL
06-07-2022
Gửi bởi E. Galois
trong Dành cho giáo viên các cấp
SKKN: Hướng dẫn học sinh giải bài toán tổ hợp tạo số bằng lập trình PASCAL
3730 Lượt xem ·
9 Trả lời
( Trả lời cuối cùng bởi vkhoa )
Huy chương Fields 2022
05-07-2022
Gửi bởi Nesbit
trong Tin tức - Vấn đề - Sự kiện
Ngày 05/07/2022, Hội Toán học Thế giới đã trao Huy chương Fields 2022 cho bốn nhà Toán học: Hugo Duminil-Copin (Pháp), June Huh (Hàn Quốc, Mỹ), James Maynard (Anh), và Maryna Viazovska (Ukraina). Buổi lễ trao giải được diễn ra tại Đại học Aalto (thành phố Helsinki, thủ đô của Phần Lan), và được live stream trực tiếp. Thông tin về giải thưởng: https://www.mathunio...lds-medals-2022. Photo credit: Twitter.
4050 Lượt xem ·
4 Trả lời
( Trả lời cuối cùng bởi perfectstrong )
Bài viết mới
-
Giải phương trình nghiệm nguyên: $pqr + q + r = 2$dinhvu - Hôm nay, 11:09
có ai tìm được q,r sao cho q+r-2 $\vdots$ qr không
-
Tính S=\sum_{k=0}^{100}\left \lfloor \frac{2^{100}}{2^{50}+2^k} \right \rfloorNobodyv3 - Hôm nay, 08:57
Tính $S=\sum_{k=0}^{100}\left \lfloor \frac{2^{100}}{2^{50}+2^k} \right \rfloor$
-
Chủ nghĩa hoàn hảo và toán họcmanguish - Hôm nay, 01:39
Chủ nghĩa hoàn hảo và toán học 0. Mở đầu Một người được xem là cầu toàn nếu người đó thường kì...
-
Tìm vị trí 3 điểm $A;M;N$ sao cho $AM+AN$ $Min$perfectstrong - Hôm nay, 00:55
$d$ là đường thẳng à bạn? Và $d$ nằm đâu?
-
bài kia đề chỉ là số nguyên thôi đúng không
-
Tìm vị trí 3 điểm $A;M;N$ sao cho $AM+AN$ $Min$kakachjmz - Hôm qua, 23:39
Cho $\left ( O_{1}; R_{1} \right )$ và $\left ( O_{2}; R_{2} \right )$ nằm ngoài nhau (...
-
CMR: $a^y + b^y + c^y \geq 3$
dinhvu - Hôm qua, 22:47
Có $(a^y+b^y+c^y)^x3^{y-x}\\ =(a^y+b^y+c^y)(a^y+b^y+c^y)...(a^y+b^y+c^y)(1+1+1)...(1+1+1)\\...
-
Chứng minh rằng tam giác ABE đồng dạng với tam giác AGC.
Tantran2510 - Hôm qua, 17:50
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Hai tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại S. Gọi G l...
-
Dẫn nhập vào hình học cứng
bangbang1412 - Hôm qua, 17:49
Đại số affinoid \begin{definition}Một $k$-đại số $A$ được gọi là affinoid nếu tồn tại một t...
-
Dẫn nhập vào hình học cứng
bangbang1412 - Hôm qua, 17:45
Hình học cứng (đầy đủ, hình học giải tích cứng) là một dạng hình học giải tích trên trường phi ác...
-
cho $A=\frac{1}{\sqrt{4x^{2}+4x+1}}$ và $B=\frac{2x-2}{\sqrt{x^{2}-2x+1}}$ timg tất cả các g...
-
CMR: $a^y + b^y + c^y \geq 3$Giabao209 - Hôm qua, 14:26
cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a^x + b^x + c^x = 3$ với $y\geq x\geq 0$. CM...
-
$p, q, r$ nguyên tố sao cho $\frac{p+n}{qr}, \frac{q+n}{rp}, \frac{r+n}{pq} \in \mathbb{N}^*$. CMR $p=q=r$
dungnguyen21 - Hôm qua, 13:58
Giả sử $p, q, r$ là các số nguyên tố sao cho, tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $\frac{p+n...
-
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{3}(2y+3)=8 & & \\ xy(y^{2}+3y+3)=4 & & \end{matrix}\right.$Baoriven - Hôm qua, 12:50
Cộng theo vế 2 PT, ta được: $$(y+1)^3+2(y+1)=\bigg(\dfrac{2}{x}\bigg)^3+2.\dfrac{2}{x}.$$...
-
Lấy ngẫu nhiên 2 thẻ trong 1 chiếc hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. xác suất của biến cố...
-
Giải phương trình nghiệm nguyên: $pqr + q + r = 2$
ordinaryperson - 25-04-2024 - 22:57
có ai tìm được q,r sao cho q+r-2 $\vdots$ qr không
-
Chứng minh rằng: $AH; BM; CN$ đồng quy.MHN - 25-04-2024 - 22:41
Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$; từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $AM, AN$ và các cát tuyến $AEB,...
-
Xác suất tích của 2 số trên các thẻ được chọn là 1 số chia hết cho 3
nbn - 25-04-2024 - 22:13
Lấy ngẫu nhiên 2 thẻ trong 1 chiếc hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. xác suất của biến cố...
-
Giải phương trình nghiệm nguyên: $pqr + q + r = 2$
Khanh12321 - 25-04-2024 - 20:20
Giải phương trình nghiệm nguyên: $pqr + q + r = 2$
-
Tính $A = \frac{a^{2019}}{3}+ \frac{b^{2020}}{3}+ \frac{c^{2021}}{9}$
Khanh12321 - 25-04-2024 - 19:56
mong là bài làm của mình đúng :icon6: :DKết quả đúng rồi bạn, tuy nhiên với b=3 thì A=$\fra...
- 631179 Bài viết
- 110411 Thành viên
- inhopgiaycarton Thành viên mới nhất
- 17600 Online đông nhất
3920 người đang truy cập (trong 10 phút trước)
2 thành viên, 3918 khách, 0 thành viên ẩn danh (Xem đầy đủ danh sách)
