Chủ đề này có 1 trả lời

[bangbang1412]

Chứng minh rằng mọi đa thức bậc chẵn hệ số lẻ đều không có nghiệm hữu tỷ . 

[Juliel]

Chứng minh rằng mọi đa thức bậc chẵn hệ số lẻ đều không có nghiệm hữu tỷ . 

Xét đa thức $$P(x)=a_{2k}x^{2k}+a_{2k-1}x^{2k-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$$

Trong đó $k$ là số nguyên dương và $a_{2k},a_{2k-1},...,a_{2},a_{1},a_{0}$ là các số nguyên lẻ.

Giả sử đa thức trên có nghiệm hữu tỉ $\frac{p}{q}$ với $p,q\in \mathbb{Z},gcd(p,q)=1$

Khi đó : $$a_{2k}\left ( \frac{p}{q} \right )^{2k}+a_{2k-1}\left ( \frac{p}{q} \right )^{2k-1}+...+a_{1}.\left ( \frac{p}{q} \right )+a_{0}\Leftrightarrow a_{2k}p^{2k}+a_{2k-1}p^{2k-1}q+...+a_{1}pq^{2k-1}+a_{0}q^{2k}=0\qquad(*)$$

Mặt khác ta có tính chất nếu $\frac{p}{q}$ (tối giản) là nghiệm hữu tỉ của một đa thức thì hệ số bậc cao nhất chia hết cho $q$ và hệ số tự do chia hết cho $p$.

Tức là $q|a_{2k};\qquad q|a_{0}$ mà $a_{2k},a_{0}$ lẻ nên $p,q$ đều lẻ.

Khi đó vế trái của (*) là tổng của $2k+1$ số lẻ nên $VT(1)$ lẻ. Nhưng $VP(1)=0$ chẵn. Mâu thuẫn

Gỉa thiết phản chứng sai, ta có đpcm.