Chứng minh rằng mọi đa thức bậc chẵn hệ số lẻ đều không có nghiệm hữu tỷ .
Chứng minh mọi đa thức bậc chẵn hệ số lẻ đều không có nghiệm hữu tỷ
#1
Đã gửi 27-07-2013 - 10:57
- Juliel và ngoctruong236 thích
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
#2
Đã gửi 22-08-2013 - 14:54
Chứng minh rằng mọi đa thức bậc chẵn hệ số lẻ đều không có nghiệm hữu tỷ .
Xét đa thức $$P(x)=a_{2k}x^{2k}+a_{2k-1}x^{2k-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$$
Trong đó $k$ là số nguyên dương và $a_{2k},a_{2k-1},...,a_{2},a_{1},a_{0}$ là các số nguyên lẻ.
Giả sử đa thức trên có nghiệm hữu tỉ $\frac{p}{q}$ với $p,q\in \mathbb{Z},gcd(p,q)=1$
Khi đó : $$a_{2k}\left ( \frac{p}{q} \right )^{2k}+a_{2k-1}\left ( \frac{p}{q} \right )^{2k-1}+...+a_{1}.\left ( \frac{p}{q} \right )+a_{0}\Leftrightarrow a_{2k}p^{2k}+a_{2k-1}p^{2k-1}q+...+a_{1}pq^{2k-1}+a_{0}q^{2k}=0\qquad(*)$$
Mặt khác ta có tính chất nếu $\frac{p}{q}$ (tối giản) là nghiệm hữu tỉ của một đa thức thì hệ số bậc cao nhất chia hết cho $q$ và hệ số tự do chia hết cho $p$.
Tức là $q|a_{2k};\qquad q|a_{0}$ mà $a_{2k},a_{0}$ lẻ nên $p,q$ đều lẻ.
Khi đó vế trái của (*) là tổng của $2k+1$ số lẻ nên $VT(1)$ lẻ. Nhưng $VP(1)=0$ chẵn. Mâu thuẫn
Gỉa thiết phản chứng sai, ta có đpcm.
- LNH, bangbang1412 và Leonguyen thích
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình nghiệm nguyên, chia hết, số học
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Giải phương trình nghiệm nguyên: $pqr + q + r = 2$Bắt đầu bởi Khanh12321, 25-04-2024 phương trình nghiệm nguyên |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$xy(x^2+y^2)+x^3+y^3=19$Bắt đầu bởi Duc3290, 21-04-2024 phương trình nghiệm nguyên |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Tổ hợp và rời rạc →
Một số bài toán tổ hợp liên quan đến phương trình nghiệm nguyênBắt đầu bởi hxthanh, 01-04-2024 phần nguyên, phân hoạch và . |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh tích $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 chia hết |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh