Chủ đề này có 3 trả lời

[bangbang1412]

Chứng minh không tồn tại hai số để tổng hai bình phương và hiệu hai bình phương đều là số chính phương 

( p/s : Nguyên nhé ^^ , không khó lắm  )

[nghiemthanhbach]

định lý fermat hả bạn?

[bangbang1412]

định lý fermat hả bạn?

dùng phương trình pitago bạn ạ 

[Juliel]

Chứng minh không tồn tại hai số để tổng hai bình phương và hiệu hai bình phương đều là số chính phương 

( p/s : Nguyên nhé ^^ , không khó lắm  )

Ta xét trên tập số nguyên dương.

Gọi hai số nguyên dương đó là $x,y$. Theo đề bài : $$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2} =e^{2}& & \\ x^{2}-y^{2}=f^{2}& & \end{matrix}\right.\qquad(e,f\in \mathbb{Z}^{+})$$

Do đó : $$x^{4}-y^{4}=(x^{2}+y^{2})(x^{2}-y^{2})=(ef)^{2}=z^{2}\qquad(z=ef\in \mathbb{Z}^{+})$$

Như vậy thì bài toán được giải quyết nếu như ta chứng minh được rằng phương trình $x^{4}-y^{4}=z^{2}\qquad(1)$ không có nghiệm nguyên dương.

Thật vậy, viết lại phương trình : $$z^{2}+(y^{2})^{2}=(x^{2})^{2}$$

Ta hoàn toàn có thể xét $gcd(x,y,z)=1\qquad(*)$ 

Trong các nghiệm của phương trình này, ta chọn ra nghiệm mà $x^{2}+y^{2}$ nhỏ nhất

Do điều kiện $(*)$ nên $\left ( z,y^{2},x^{2} \right )$ phải là một bộ $Pythagore$ nguyên thuỷ.

$\blacktriangledown$ Trường hợp 1 : Nếu $\left\{\begin{matrix} z=2pq & \\ y^{2}=p^{2}-q^{2} & \\ x^{2}=p^{2}+q^{2}& \end{matrix}\right.$

Trong đó $p,q\in \mathbb{Z}^{+},p>q,gcd(p,q)=1$ và $p,q$ khác tính chẵn lẻ.

Khi đó ta có $$x^{2}y^{2}=(p^{2}+q^{2})(p^{2}-q^{2})=p^{4}-q^{4}$$

Như vậy $\left ( p,q,xy \right )$ cũng là một nghiệm của $(1)$

Nhưng rõ ràng $p^{2}+q^{2}=x^{2}<x^2+y^2$. Mâu thuẫn với cách chọn nghiệm.

$\blacktriangledown$ Trường hợp 2 : Nếu $\left\{\begin{matrix} z=p^{2}-q^{2} & \\ y^{2}=2pq& \\ x^{2}=p^{2}+q^{2}& \end{matrix}\right.$

Trong đó $p,q\in \mathbb{Z}^{+},p>q,gcd(p,q)=1$ và $p,q$ khác tính chẵn lẻ.

Từ đó, do $gcd(x,p,q)=1$ nên ta được :

$$\left\{\begin{matrix} x=m^{2}+n^{2} & \\ p=m^{2}-n^{2} & \\ q=2mn & \end{matrix}\right.$$

Trong đó  $m,n\in \mathbb{Z}^{+},m>n,gcd(m,n)=1$ và $m,n$ khác tính chẵn lẻ.

Do đó $y^{2}=2pq=4mn(m^{2}-n^{2})$

Lại dễ thấy $gcd(mn,m^2-n^2)=1$ nên $mn=A^{2},m^{2}-n^{2}=B^{2}\qquad(A,B\in \mathbb{Z}^{+})$

Mà $gcd(m,n)=1$ nên $m=M^{2},n=N^{2}\qquad(M,N\in \mathbb{Z}^{+})$

Ta suy ra $M^{4}-N^{4}=m^{2}-n^{2}=B^{2}\Rightarrow \left ( M,N,B \right )$ là một nghiệm của $(1)$

Nhưng rõ ràng $M^{2}+N^{2}=m+n<m^{2}+n^{2}=x<x^{2}+y^{2}$.

Mâu thuẫn với cách chọn nghiệm

 

Như vậy phương trình $x^{4}-y^{4}=z^{2}$ không có nghiệm nguyên dương. Từ đó ta có điều phải chứng minh. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 11-09-2013 - 16:32