Chủ đề này có 1 trả lời

[leduylinh1998]

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Tìm Max:

$P=\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}$

[25 minutes]

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Tìm Max:

$P=\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có $(a^2+b+c)(1+b+c)\geqslant (a+b+c)^2\Rightarrow \sqrt{a^2+b+c}\geqslant \frac{a+b+c}{\sqrt{1+b+c}}$

                     $\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}\leqslant \frac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại ta được

             $\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}\leqslant \frac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}$

Lại có $(a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b})^2\leqslant (a+b+c)(a+ab+ac+b+bc+ab+c+ca+cb)$

    $\Rightarrow \frac{(a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b})^2}{(a+b+c)^2}\leqslant \frac{2(ab+bc+ca)+a+b+c}{a+b+c}=\frac{2(ab+bc+ca)}{a+b+c}+1$

Ta sẽ chứng minh $2(ab+bc+ca)\leqslant 2(a+b+c)\Leftrightarrow (a+b+c)^2\leqslant 2(a+b+c)+3\Leftrightarrow (a+b+c+1)(a+b+c-3)\leqslant 0$

BĐT trên luôn đúng do $a+b+c\leqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3$

Từ đó $\frac{(a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b})^2}{(a+b+c)^2}\leqslant 3$

      $\Rightarrow \frac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b})}{a+b+c}\leqslant \sqrt{3}$

      $\Rightarrow \sum \frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}\leqslant \sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$