Chủ đề này có 2 trả lời

[dhdhn]

Cho x, y, z $\geq$ 1 thỏa mãn x+y+z=4.CMR

X²+y²+z²+$2\sqrt{3}\sqrt{(x-1)(y-1)(z-1)}\leq 6$

[dhdhn]

Cho x, y, z $\geq$ 1 thỏa mãn x+y+z=4.CMR

X²+y²+z²+$2\sqrt{3}\sqrt{(x-1)(y-1)(z-1)}\leq 6$

Ta có (x-1).(y-1)=xy-x-y+1=>xy=(x-1).(y-1)+x+y-1

Tương tự yz=....; zx=.....

Đpcm<=>x²+y²+z² +2(xy+yz+zx)+$2\sqrt{3}\sqrt{(x-1)(y-1)(z-1)}$$\leq $ 6+2.{(x-1).(y-1)+(y-1)(z-1)+(z-1)(x-1)} -2.(2x+2y+2z-3)

          <=>(x+y+z)²+$2\sqrt{3}\sqrt{(x-1)(y-1)(z-1)}$$\leq $16+2.{(x-1)(y-1)+(y-1)(z-1)+(z-1)(x-1)}(Vì x+y+z=4)

          <=>$\sqrt{3}.\sqrt{(x-1)(y-1)(z-1)}\leq (x-1).(y-1)+(y-1).(z-1)+(z-1)(x-1)$

      Mà {(x-1).(y-1)+(y-1)(z-1)+(z-1)(x-1)}²$\geq$3(x-1)(y-1)(z-1)(x+y+z-3)=3.(x-1)(y-1)(z-1) (Áp dụng bất đẳng thức (a+b+c)² $\geq$ 3(ab+bc+ca))

=> Đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dhdhn: 05-04-2014 - 21:43

[dhdhn]

Sorry mọi người ở cuối dòng thứ 3 phải là +2(2x+2y+2z-3)