cho các số thực dương a,b,c thỏa $a^2+b^2+c^2=3$
tìm giá trị nhỏ nhất của $P=3(a+b+c)+2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$
cho các số thực dương a,b,c thỏa $a^2+b^2+c^2=3$
tìm giá trị nhỏ nhất của $P=3(a+b+c)+2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$
Ta CM: $3a+\frac{2}{a}\geq \frac{1}{2}a^2+\frac{9}{2}\Leftrightarrow (a-1)^2(4-a)\geq 0$ (đúng do $a\leq \sqrt{3}$)
Lập 3 BĐT tương tự: $P\geq \frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+\frac{27}{2}=15$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Có: $P=3(a+b+c)+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\ge 3(a+b+c)+\frac{18}{a+b+c}=3t+\frac{18}{t}$
Đk t: $3(a^2+b^2+c^2 )\ge (a+b+c)^2 \Rightarrow -3\le t=a+b+c \le 3$
Xét $f(t)=3t+\frac{18}{t}$
$f'(t)=\frac{3t^2-18}{t^2}=0 \Rightarrow t=\pm \sqrt{6}$
Từ BBT $\Rightarrow Min f(t)= f(\sqrt{6})=6\sqrt{6}$
Dấu bằng có khi $(a;b;c)=(\frac{2\sqrt{6}}{3};\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{\sqrt{6}}{6})$ và các hoán vị
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TonnyMon97: 17-03-2014 - 19:48
Ta CM: $3a+\frac{2}{a}\geq \frac{1}{2}a^2+\frac{9}{2}\Leftrightarrow (a-1)^2(4-a)\geq 0$ (đúng do $a\leq \sqrt{3}$)
Lập 3 BĐT tương tự: $P\geq \frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+\frac{27}{2}=15$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
$6\sqrt{6} < 15 $
Có: $P=3(a+b+c)+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\ge 3(a+b+c)+\frac{18}{a+b+c}=3t+\frac{18}{t} (*)$
Đk t: $3(a^2+b^2+c^2 )\ge (a+b+c)^2 \Rightarrow -3\le t=a+b+c \le 3$
Xét $f(t)=3t+\frac{18}{t}$
$f'(t)=\frac{3t^2-18}{t^2}=0 \Rightarrow t=\pm \sqrt{6}$
Từ BBT $\Rightarrow Min f(t)= f(\sqrt{6})=6\sqrt{6}$
Dấu bằng có khi $(a;b;c)=(\frac{2\sqrt{6}}{3};\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{\sqrt{6}}{6})$ và các hoán vị
Điều kiện ở BĐT (*) là $a=b=c$
Có: $P=3(a+b+c)+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\ge 3(a+b+c)+\frac{18}{a+b+c}=3t+\frac{18}{t}$
Đk t: $3(a^2+b^2+c^2 )\ge (a+b+c)^2 \Rightarrow -3\le t=a+b+c \le 3$
Xét $f(t)=3t+\frac{18}{t}$
$f'(t)=\frac{3t^2-18}{t^2}=0 \Rightarrow t=\pm \sqrt{6}$
Từ BBT $\Rightarrow Min f(t)= f(\sqrt{6})=6\sqrt{6}$
Dấu bằng có khi $(a;b;c)=(\frac{2\sqrt{6}}{3};\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{\sqrt{6}}{6})$ và các hoán vị
chỗ kia bạn áp dụng cauchuy cho nên a=b=c mà đáp án bạn ra dấu bằng khí a#b#c kì quá
Ta CM: $3a+\frac{2}{a}\geq \frac{1}{2}a^2+\frac{9}{2}\Leftrightarrow (a-1)^2(4-a)\geq 0$ (đúng do $a\leq \sqrt{3}$)
Lập 3 BĐT tương tự: $P\geq \frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+\frac{27}{2}=15$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
anh cho e hỏi chỗ này sao mà a nghĩ ra zạ ???
ờ... hỳ hỳ..... Vừa gõ xong 2p sau nhìn lại.. ... Sai rồi ạ.. Sr các bác...
Ta CM: $3a+\frac{2}{a}\geq \frac{1}{2}a^2+\frac{9}{2}\Leftrightarrow (a-1)^2(4-a)\geq 0$ (đúng do $a\leq \sqrt{3}$)
Lập 3 BĐT tương tự: $P\geq \frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+\frac{27}{2}=15$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Phương pháp uct đó hả bạn phuocdinh1999
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
phương pháp gì zậy anh e hk biết
Trên kia là phương pháp dùng tiếp tuyến của hàm số để giải
Khá hay
Còn đây là lời giải của mình (xấu xí)
Đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$
Khi đó ta có ngay $q^2\geq 3pr$
$\Rightarrow \frac{q}{r}\geq \frac{3p}{q}$
Dự đoán $\min P=15$
Do đó ta cần chứng minh
$3(a+b+c)+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 15$
$\Leftrightarrow 3p+\frac{2q}{r}\geq 15\Leftrightarrow 3p+\frac{6p}{q}\geq 15$
Lại có $p^2-2q=3$
Thay vào và biến đổi 1 hồi sẽ ra đpcm
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
PP trên mạnh quá , em trình bày cách cổ điển thôi
$a^2+ b^2 +c^2=9$
=> $(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) =9 (1)$
$ab+bc+ca$ $\leqslant a^2+ b^2 +c^2=9$
$(1) \Rightarrow a+b+c \geq 3$
Bđt cần cm tương đương
$2a +\frac{2}{a} +2b +\frac{2}{b} +2c +\frac{2}{c} +a+b+c \geq 15$ (Điểm rơi ... em làm tắt)
Đã sửa lỗi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi songchiviuocmo2014: 21-03-2014 - 09:45
PP trên mạnh quá , em trình bày cách cổ điển thôi
$a^2+ b^2 +c^2=9$
=> $(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) =9 (1)$
$ab+bc+ca$ $\leqslant a^2+ b^2 +c^2=9$
$(1) \Rightarrow a+b+c \leq 3$
Bđt cần cm tương đương
$2a +\frac{2}{a} +2b +\frac{2}{b} +2c +\frac{2}{c} +a+b+c \leq 15$ (Điểm rơi ... em làm tắt)
Tìm min chứ có phải tìm max đâu :v .
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh