Chủ đề này có 12 trả lời

[baonhikt96]

cho các số thực dương a,b,c thỏa $a^2+b^2+c^2=3$

tìm giá trị nhỏ nhất của $P=3(a+b+c)+2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$

[phuocdinh1999]

Ta CM: $3a+\frac{2}{a}\geq \frac{1}{2}a^2+\frac{9}{2}\Leftrightarrow (a-1)^2(4-a)\geq 0$ (đúng do $a\leq \sqrt{3}$)

Lập 3 BĐT tương tự: $P\geq \frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+\frac{27}{2}=15$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[TonnyMon97]

Có: $P=3(a+b+c)+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\ge 3(a+b+c)+\frac{18}{a+b+c}=3t+\frac{18}{t}$

Đk t: $3(a^2+b^2+c^2 )\ge (a+b+c)^2 \Rightarrow -3\le t=a+b+c \le 3$

Xét $f(t)=3t+\frac{18}{t}$

$f'(t)=\frac{3t^2-18}{t^2}=0 \Rightarrow t=\pm \sqrt{6}$

Từ BBT $\Rightarrow Min f(t)= f(\sqrt{6})=6\sqrt{6}$

Dấu bằng có khi $(a;b;c)=(\frac{2\sqrt{6}}{3};\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{\sqrt{6}}{6})$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TonnyMon97: 17-03-2014 - 19:48

[TonnyMon97]

Ta CM: $3a+\frac{2}{a}\geq \frac{1}{2}a^2+\frac{9}{2}\Leftrightarrow (a-1)^2(4-a)\geq 0$ (đúng do $a\leq \sqrt{3}$)

Lập 3 BĐT tương tự: $P\geq \frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+\frac{27}{2}=15$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

$6\sqrt{6} < 15 $

[phuocdinh1999]

Có: $P=3(a+b+c)+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\ge 3(a+b+c)+\frac{18}{a+b+c}=3t+\frac{18}{t} (*)$

Đk t: $3(a^2+b^2+c^2 )\ge (a+b+c)^2 \Rightarrow -3\le t=a+b+c \le 3$

Xét $f(t)=3t+\frac{18}{t}$

$f'(t)=\frac{3t^2-18}{t^2}=0 \Rightarrow t=\pm \sqrt{6}$

Từ BBT $\Rightarrow Min f(t)= f(\sqrt{6})=6\sqrt{6}$

Dấu bằng có khi $(a;b;c)=(\frac{2\sqrt{6}}{3};\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{\sqrt{6}}{6})$ và các hoán vị

Điều kiện ở BĐT (*) là $a=b=c$

[baonhikt96]

Có: $P=3(a+b+c)+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\ge 3(a+b+c)+\frac{18}{a+b+c}=3t+\frac{18}{t}$

Đk t: $3(a^2+b^2+c^2 )\ge (a+b+c)^2 \Rightarrow -3\le t=a+b+c \le 3$

Xét $f(t)=3t+\frac{18}{t}$

$f'(t)=\frac{3t^2-18}{t^2}=0 \Rightarrow t=\pm \sqrt{6}$

Từ BBT $\Rightarrow Min f(t)= f(\sqrt{6})=6\sqrt{6}$

Dấu bằng có khi $(a;b;c)=(\frac{2\sqrt{6}}{3};\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{\sqrt{6}}{6})$ và các hoán vị

chỗ kia bạn áp dụng cauchuy cho nên a=b=c mà đáp án bạn ra dấu bằng khí a#b#c kì quá

[baonhikt96]

Ta CM: $3a+\frac{2}{a}\geq \frac{1}{2}a^2+\frac{9}{2}\Leftrightarrow (a-1)^2(4-a)\geq 0$ (đúng do $a\leq \sqrt{3}$)

Lập 3 BĐT tương tự: $P\geq \frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+\frac{27}{2}=15$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

anh cho e hỏi chỗ này sao mà a nghĩ ra zạ ???

[TonnyMon97]

ờ... hỳ hỳ..... Vừa gõ xong 2p sau nhìn lại.. ... Sai rồi ạ.. Sr các bác...

[nguyenhongsonk612]

Ta CM: $3a+\frac{2}{a}\geq \frac{1}{2}a^2+\frac{9}{2}\Leftrightarrow (a-1)^2(4-a)\geq 0$ (đúng do $a\leq \sqrt{3}$)

Lập 3 BĐT tương tự: $P\geq \frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+\frac{27}{2}=15$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Phương pháp uct đó hả bạn phuocdinh1999

[baonhikt96]

phương pháp gì zậy anh e hk biết

[barcavodich]

Trên kia là phương pháp dùng tiếp tuyến của hàm số để giải

Khá hay   

Còn đây là lời giải của mình (xấu xí)

Đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$

Khi đó ta có ngay $q^2\geq 3pr$

$\Rightarrow \frac{q}{r}\geq \frac{3p}{q}$

Dự đoán $\min P=15$ 

Do đó ta cần chứng minh 

$3(a+b+c)+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 15$

$\Leftrightarrow 3p+\frac{2q}{r}\geq 15\Leftrightarrow 3p+\frac{6p}{q}\geq 15$

Lại có $p^2-2q=3$

Thay vào và biến đổi 1 hồi sẽ ra đpcm   

[songchiviuocmo2014]

PP trên mạnh quá , em trình bày cách cổ điển thôi
$a^2+ b^2 +c^2=9$
=> $(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) =9 (1)$
$ab+bc+ca$ $\leqslant  a^2+ b^2 +c^2=9$
$(1) \Rightarrow  a+b+c \geq  3$

Bđt cần cm tương đương 
$2a +\frac{2}{a} +2b +\frac{2}{b} +2c +\frac{2}{c} +a+b+c  \geq  15$ (Điểm rơi ... em làm tắt)
Đã sửa lỗi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi songchiviuocmo2014: 21-03-2014 - 09:45

[Ispectorgadget]

PP trên mạnh quá , em trình bày cách cổ điển thôi
$a^2+ b^2 +c^2=9$
=> $(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) =9 (1)$
$ab+bc+ca$ $\leqslant  a^2+ b^2 +c^2=9$
$(1) \Rightarrow  a+b+c  \leq 3$
Bđt cần cm tương đương 
$2a +\frac{2}{a} +2b +\frac{2}{b} +2c +\frac{2}{c} +a+b+c  \leq 15$ (Điểm rơi ... em làm tắt)

Tìm min chứ có phải tìm max đâu :v .