Chủ đề này có 3 trả lời

[baonhikt96]

1) cho a,b,c không âm thỏa $a+b+c=1$ CMR:

$\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}\leq 2(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})$

2)cho các số thực dương x,y,z chứng minh rằng:

$\frac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^2+y^2+z^2})}{(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)}\leq \frac{3+\sqrt{3}}{9}$

3)cho 3 số thực x,y,z thuộc đoạn [0;1] tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}+(1-x)(1-y)(1-z)$

4)cho x,y,z là các số thực thỏa $x+y+z=0$;$x+1>0;y+1>0;z+4>0$

tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}$

5)cho x, y là các số thực thỏa mãn : $x^2+y^2-2x-4y+4=0$ CMR:

$\left | x^2-y^2+2\sqrt{3}xy-2(1+2\sqrt{3})x+(4-2\sqrt{3})y+4\sqrt{3}-3\right |\leq 2$

[Hoang Tung 126]

1) cho a,b,c không âm thỏa $a+b+c=1$ CMR:

$\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}\leq 2(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})$

2)cho các số thực dương x,y,z chứng minh rằng:

$\frac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^2+y^2+z^2})}{(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)}\leq \frac{3+\sqrt{3}}{9}$

3)cho 3 số thực x,y,z thuộc đoạn [0;1] tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}+(1-x)(1-y)(1-z)$

4)cho x,y,z là các số thực thỏa $x+y+z=0$;$x+1>0;y+1>0;z+4>0$

tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}$

5)cho x, y là các số thực thỏa mãn : $x^2+y^2-2x-4y+4=0$ CMR:

$\left | x^2-y^2+2\sqrt{3}xy-2(1+2\sqrt{3})x+(4-2\sqrt{3})y+4\sqrt{3}-3\right |\leq 2$

Bài 1: Thay $1=a+b+c$ ta được $\sum \frac{1+a}{1-a}\leq 2\sum \frac{a}{c}< = > \sum \frac{a+b+c+a}{a+b+c-a}\leq 2\sum \frac{a}{c}< = > \sum \frac{2a}{b+c}+3\leq 2\sum \frac{a}{c}< = > \sum \frac{a}{c}-\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}< = > \sum \frac{ab}{c(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

Nhưng bđt này đúng vì theo Cauchy-Swtach có :$\sum \frac{ab}{c(b+c)}=\sum \frac{(ab)^2}{ab^2c+abc^2}\geq \frac{(\sum ab)^2}{2abc(\sum a)}\geq \frac{(\sum ab)^2}{2.\frac{(\sum ab)^2}{3}}=\frac{3}{2}$

[baonhikt96]

Bài 1: Thay $1=a+b+c$ ta được $\sum \frac{1+a}{1-a}\leq 2\sum \frac{a}{c}< = > \sum \frac{a+b+c+a}{a+b+c-a}\leq 2\sum \frac{a}{c}< = > \sum \frac{2a}{b+c}+3\leq 2\sum \frac{a}{c}< = > \sum \frac{a}{c}-\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}< = > \sum \frac{ab}{c(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

Nhưng bđt này đúng vì theo Cauchy-Swtach có :$\sum \frac{ab}{c(b+c)}=\sum \frac{(ab)^2}{ab^2c+abc^2}\geq \frac{(\sum ab)^2}{2abc(\sum a)}\geq \frac{(\sum ab)^2}{2.\frac{(\sum ab)^2}{3}}=\frac{3}{2}$

chỗ tô đỏ làm s ra zậy giải thích rỗ hộ mình cái

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baonhikt96: 28-03-2014 - 14:22

[Hoang Tung 126]

1) cho a,b,c không âm thỏa $a+b+c=1$ CMR:

$\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}\leq 2(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})$

2)cho các số thực dương x,y,z chứng minh rằng:

$\frac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^2+y^2+z^2})}{(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)}\leq \frac{3+\sqrt{3}}{9}$

3)cho 3 số thực x,y,z thuộc đoạn [0;1] tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}+(1-x)(1-y)(1-z)$

4)cho x,y,z là các số thực thỏa $x+y+z=0$;$x+1>0;y+1>0;z+4>0$

tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}$

5)cho x, y là các số thực thỏa mãn : $x^2+y^2-2x-4y+4=0$ CMR:

$\left | x^2-y^2+2\sqrt{3}xy-2(1+2\sqrt{3})x+(4-2\sqrt{3})y+4\sqrt{3}-3\right |\leq 2$

Bài 3:Gỉa sử $x\geq y\geq z= > \frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}\leq \frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{y+z+1}+\frac{z}{y+z+1}=\frac{x+y+z}{y+z+1}=\frac{x-1+y+z+1}{y+z+1}=\frac{x-1}{y+z+1}+1$

Ta cần CM :$\frac{x-1}{y+z+1}+1+(1-x)(1-y)(1-z)=(1-x)\left [ (1-y)(1-z)-\frac{1}{y+z+1} \right ]+1=(1-x).\frac{(1-y)(1-z)(y+z+1)-1}{y+z+1}+1\leq (1-x).\frac{\frac{(1-y+1-z+y+z+1)^3}{27}-1}{y+z+1}+1=(1-x).\frac{1-1}{y+z+1}+1=0+1=1= > P\leq 1$