Chủ đề này có 1 trả lời

[thao phuong]

Chứng minh bất đẳng thức :

P=$\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{a^{2}+y^{2}+z^{2}}$ + $\frac{1}{2}\left ( \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc} - \frac{a^{2} + b^{2} +c^{2}}{ab +bc +ac}\right )$ $\geq 4$ với a, b , c >0

[dogsteven]

$$\Leftrightarrow \dfrac{-(b-c)^2-(c-a)^2-(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2} +\dfrac{(a+b+c)[(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2]}{4abc}-\dfrac{(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2}{2(ab+bc+ca)} \geqslant 0$$

$$\Leftrightarrow \left[\sum (b-c)^2\right]\left[\dfrac{a+b+c}{4abc}+\dfrac{1}{2(ab+bc+ca)}-\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2} \right] \geqslant 0$$

 

$2(ab+bc+ca)\leqslant 2(a^2+b^2+c^2)$ and $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \geqslant 9abc>8abc$

 

Q.E.D