S1= 1.2.3
S2= 2.3.4
S3=3.4.5
...........
Sn = n(n+1)(n+2)
S= S1+S2+S3+...+Sn
Chứng minh 4S + 1 là 1 số chính phương
S1= 1.2.3
S2= 2.3.4
S3=3.4.5
...........
Sn = n(n+1)(n+2)
S= S1+S2+S3+...+Sn
Chứng minh 4S + 1 là 1 số chính phương
$4S=1.2.3.(4-0)+2.3.4.(5-1)+3.4.5(6-2)+...+n(n+1)(n+2)(n+3-n-1)$
$4S=n(n+1)(n+2)(n+3)$
$4S+1=(n^2+3n+1)^{2}$
Suy ra đpcm
S1= 1.2.3
S2= 2.3.4
S3=3.4.5
...........
Sn = n(n+1)(n+2)
S= S1+S2+S3+...+Sn
Chứng minh 4S + 1 là 1 số chính phương
$\Leftrightarrow 4S=1.2.3.4+2.3.4.4+...+4n(n+1)(n+2)=1.2.3.4+2.3.4.(5-1)+...+n(n+1)(n+2)[(n+3)-(n-1)]=1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+...+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)$
$=n(n+1)(n+2)(n+3)\Leftrightarrow 4S+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^{2}+3n)(n^{2}+3n+2)+1$
Đặt $n^{2}+3n=t$ thì $4S+1=t(t+2)+1=(t+1)^{2}=(n^{2}+3n+1)^{2}$ là số chính phương (đpcm)
S1= 1.2.3
S2= 2.3.4
S3=3.4.5
...........
Sn = n(n+1)(n+2)
S= S1+S2+S3+...+Sn
Chứng minh 4S + 1 là 1 số chính phương
Ta có công thức:
$S=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$ với mọi số nguyên dương $n$ (1)
Ta sẽ chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học
Với $n=1$, mệnh đề (1) đúng
Giả sử (1) đúng với $n=k$ ($k \in \mathbb{N}, k \geq 1$), nghĩa là:
$S=\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}$
Ta cần chứng minh (1) đúng với $n=k+1$
Thật vậy ta có:
$S=S_1+S_2+...+S_{k}+S_{k+1}$
$=\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}+(k+1)(k+2)(k+3)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}$
Vậy (1) đúng với $n=k+1$ nên (1) đúng với mọi $n$ nguyên dương
Do đó :
$4S+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2$
là số chính phương
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh