Chủ đề này có 3 trả lời

[MathSpace001]

                       S₁₌ 1.2.3

                       S₂= 2.3.4

                       S₃=3.4.5

                       ...........

                       S_n = n(n+1)(n+2)

                       S= S₁+S₂+S₃+...+S_n

  Chứng minh 4S + 1 là 1 số chính phương

[congdaoduy9a]

$4S=1.2.3.(4-0)+2.3.4.(5-1)+3.4.5(6-2)+...+n(n+1)(n+2)(n+3-n-1)$

$4S=n(n+1)(n+2)(n+3)$

$4S+1=(n^2+3n+1)^{2}$

Suy ra đpcm

[hoctrocuaHolmes]

 

                       S₁₌ 1.2.3

                       S₂= 2.3.4

                       S₃=3.4.5

                       ...........

                       S_n = n(n+1)(n+2)

                       S= S₁+S₂+S₃+...+S_n

  Chứng minh 4S + 1 là 1 số chính phương

 

$\Leftrightarrow 4S=1.2.3.4+2.3.4.4+...+4n(n+1)(n+2)=1.2.3.4+2.3.4.(5-1)+...+n(n+1)(n+2)[(n+3)-(n-1)]=1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+...+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)$

$=n(n+1)(n+2)(n+3)\Leftrightarrow 4S+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^{2}+3n)(n^{2}+3n+2)+1$

Đặt $n^{2}+3n=t$ thì $4S+1=t(t+2)+1=(t+1)^{2}=(n^{2}+3n+1)^{2}$ là số chính phương (đpcm)

[the man]

 

                       S₁₌ 1.2.3

                       S₂= 2.3.4

                       S₃=3.4.5

                       ...........

                       S_n = n(n+1)(n+2)

                       S= S₁+S₂+S₃+...+S_n

  Chứng minh 4S + 1 là 1 số chính phương

 

Ta có công thức:

                 $S=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$  với mọi số nguyên dương   $n$   (1)

Ta sẽ chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học

Với  $n=1$, mệnh đề (1) đúng

Giả sử (1) đúng với $n=k$  ($k \in \mathbb{N}, k \geq 1$), nghĩa là:

                        $S=\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}$

Ta cần chứng minh (1) đúng với $n=k+1$

Thật vậy ta có:

      $S=S_1+S_2+...+S_{k}+S_{k+1}$

      $=\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}+(k+1)(k+2)(k+3)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}$

Vậy (1) đúng với $n=k+1$ nên (1) đúng với mọi $n$ nguyên dương

Do đó :

                            $4S+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2$

                              là số chính phương