CMR: $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}\leq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}$
CMR: $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}\leq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}$
CMR: $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}\leq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}$
BĐT sai với $a=-1;b=-2;c=-3$
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
CMR: $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}\leq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}$
Sau đăng bài nhớ để ý điều kiện bài toán nhé không phải bài nào cũng tập $R+$ đâu. Với điều kiện $a,b,c$ không âm dùng $S.O.S$ chứng minh.
CMR: $\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}\leq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}$
BĐT cần chứng minh tương đương với
$\sum \frac{(a^2+b^2)(a+b+c)}{a+b} \leq 3(a^2+b^2+c^2 )$
$\Leftrightarrow \sum \left ( a^2+b^2+\frac{(a^2+b^2).c}{a+b} \right ) \leq 3(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(a^2+b^2)c}{a+b} \leq a^2+b^2+c^2$
$\Leftrightarrow \sum (a^2+b^2)c(b+c)(c+a) \leq (a^2+b^2+c^2)(a+b)(b+c)(c+a)$
$\Leftrightarrow 2\sum a^3(b^2+c^2)+2abc(a^2+b^2+c^2)+2abc(ab+bc+ca) \leq \sum a^4(b+c)+2abc(ab+bc+ca)+2\sum a^3(b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow \sum a^4(b+c) \geq 2abc(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow \sum ab(a^3+b^3) \geq 2abc(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow \sum a^3\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) \geq 2(a^2+b^2+c^2)$
Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ và $AM-GM$ ta có:
$\sum a^3 \left (\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right ) \geq \sum \frac{4a^3}{b+c} \geq \frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ca)} \geq 2(a^2+b^2+c^2)$
Từ đó bài toán được chứng minh.
Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=b,c=0$ và các hoán vị.
BĐT$\Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{-ab(a-b)^2}{(c+a)(b+c)}\leqslant 0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh