Cho a,b,c không âm.Chứng minh rằng:
c.$(\frac{a}{b+c})^3+(\frac{b}{c+a})^3+(\frac{c}{a+b})^3+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} $
Ta có: $(\frac{a}{b+c})^{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{64}.(\frac{a}{b+c})^{3}}=\frac{3}{4}.\frac{a}{b+c}$
CMTT ta có: $(\frac{b}{c+a})^{3}+\frac{1}{4}\geq \frac{3}{4}.\frac{b}{c+a}$
$(\frac{c}{a+b})^{3}+\frac{1}{4}\geq \frac{3}{4}.\frac{c}{a+b}$
$\Rightarrow \sum (\frac{a}{b+c})^{3}+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}\sum \frac{a}{b+c}$
Nên: $\sum (\frac{a}{b+c})^{3}+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}\geq \frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{4}+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}=\frac{3}{4}(\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2})+(1-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca})+(\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{5}{8})=\frac{3}{4}\sum \frac{(a-b)^{2}}{2(b+c)(c+a)}+\frac{-\frac{1}{2}.\sum (a-b)^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{5}{8}.\frac{8abc-(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{3}{4}\sum \frac{(a-b)^{2}}{2(b+c)(c+a)}+\frac{-\frac{1}{2}.\sum (a-b)^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{5}{8}.\frac{-\sum a(a-b)^{2}}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\sum (a-b)^{2}(\frac{3}{8(b+c)(c+a)}-\frac{1}{2(ab+bc+ca)}-\frac{5}{8}\frac{a}{(a+b)(b+c)(c+a)}) $(*)$
Ta sẽ có: $S_{c}=\frac{3}{8(b+c)(c+a)}-\frac{1}{2(ab+bc+ca)}-\frac{5}{8}\frac{a}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
$S_{a}=\frac{3}{8(c+a)(a+b}-\frac{1}{2(ab+bc+ca)}-\frac{5}{8}\frac{b}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
$S_{b}=\frac{3}{8(a+b)(b+c)}-\frac{1}{2(ab+bc+ca)}-\frac{5}{8}\frac{c}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Không mất tính tổng quát giả sử $c\geq b\geq a$
Ta nhận thấy: $S_{c},S_{a}\geq 0$ nên theo tiêu chuẩn $S.O.S$ thì phải chứng minh: $a^{2}S_{a}+b^{2}S_{b}\geq 0$
http://www.wolframal...+b)(b+c)(c+a)))
Luôn đúng với $c\geq b\geq a$ nên $(*)$ đúng
Suy ra điều phải chứng minh